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前三题限时训练



前三道大题限时训练(1)
1、设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,且 Tn ? 2 ? 2an ( n ? N ).
*

? 3、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 ,?ABC ? 90 ,平面PAB ? 平面ABC ,

D 、 E 分别为 AB 、 A

C 中点.
(1)求证: DE / / 平面PBC ; (2)求证: AB ? PE ; (3)求二面角 A ? PB ? E 的大小.

?1? (1)求证数列 ? ? 是等差数列; ? Tn ?
(2)设 bn ? (1 ? an )(1 ? an?1 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

2、 “你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解 这则广告的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄段在 [10, 20) , [20,30) ,?, [50,60) 的市民进行问卷调查, 由此得到样本的频率分布直方图如图所示. (1)求随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数; (2)从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人, 求 [50,60) 年龄段抽取的人数; (3)从按(2)中方式得到的 8 人中再抽取 3 人作为本次活动的获奖者, 记 X 为 [50,60) 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.

前三道大题限时训练(1)答案
1、

3、

2、

前三道大题限时训练(2)
17.已知等差数列 {an } , Sn 为其前 n 项和, a5 ? 10 , S7 ? 56 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? ( 3) n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

19.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? CD , PA ? 1 , PD ? (1)求证: PA ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 D ? AC ? F 的正切值.

2 , PF ? 2 FD .

18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取 了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损 的频率分布表和频率分布直方图(如图 5 所示)解决下列问题:

(1)写出 a、b、x、y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识 的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率; (3)在(2)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列及其数学期望.

前三道大题限时训练(2)答案
17、解:(1)由 S7 ? 7a4 ? 56 ? a4 ? 8 .公差 d ? a5 ? a4 ? 2, …………3 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分

19、解:(I)? PA ? AD ? 1 , PD ?

2,

? PA 2 ? AD 2 ? PD 2 ,即 PA ? AD . ……2 分
又 PA ? CD , AD ? CD ? D ,

a1 ? 2
故 an ? 2n (2) Tn ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? (3 ? 32 ? ? ? 3n )

? PA ? 平面 ABCD .

……5 分

(II)方法一:过 F 作 FH // PA 交 AD 于 H ,从而 FH ? 平面 ABCD , 连接 BD 交 AC 于 O ,过 H 作 HN // OD 交 AC 于 N ,由于 AC ? BD , 所以 HN ? AC ,连 FN ,根据三垂线定理可得, FN ? AC , …………7 分

?

n(2 ? 2n) 3(3n ? 1) ? 2 3 ?1

……10 分

从而 ?FNH 为二面角 D ? AC ? F 的平面角, 因为 AH ? 2 HD , FH ?

…………9 分

? n2 ? n ?

3n ?1 ? 3 . 2

……………12 分

1 1 2 1 2 PA ? . 且 AN ? 2 NO , HN ? OD ? BD ? . 3 3 3 3 3

18、(I)由题意可知, a ? 16 , b ? 0.04 , x ? 0.032 , y ? 0.004 . (II)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人.

……4 分 ……5 分

1 2 不妨设为 O ,则 tan? ? 3 ? . 2 2 3
所以二面角 D ? AC ? F 的正切值为

2 从竞赛成绩是 80 分以上: (含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有 C6 ? 15 种情况,

2 . 2

……12 分

方法二:以 A 为原点,建立如图所示的坐标系. 则 A(0,0,0) , C (1,1,0) , D(0,1,0) , P(0,0,1) . 由于 PF ? 2FD ,所以 AF ? AP ? 即 F (0, , ).

每种情况都是等可能的.
2 4

……6 分
2 2

设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 A ,则事件 A 包含的情况有 C ? C ? 7 种,所以 P( A) ?
2 2 C4 ? C2 7 ? 2 C6 15

2 2 2 2 1 PD ? (0,0,1) ? (0, ,? ) ? (0, , ). 3 3 3 3 3

……7 分

2 1 3 3

…………6 分

(III)由(II)可知, ? 的可能取值为 0、1、2.

……8 分

易知 AP ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量.

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C4 C2 8 C2 1 C4 6 2 P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? . ? ? , , 2 2 2 C6 15 5 C6 C6 15 15

……10 分

所以, ? 的分布列为

?x ? y ? 0 ? ?n ? AC ? 0 ? 设平面 AFC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,即 ? 2 , 1 y? z?0 ? ? ?n ? AF ? 0 3 ?3
令 z ? 2 ,则 x ? 1 , y ? ?1 ,即 n ? (1,?1,2) …………10 分

?
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
……11 分

二面角 D ? AC ? F 的平面角为 ? ,则 cos? ?

n ? AP n AP

?

2 2 6 ,所以 tan ? ? .…………12 分 ? 2 3 6

所以,数学期望为 E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 5

……l2 分



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