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3.1.1方程的根与函数的零点 同步训练(附答案)



第三章

函数的应用 3.1

函数与方程

3.1.1

方程的根与函数的零点

1.已知某函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)有零点的区间大致是 …( A.(0,0.5) B.(0.5,1) C.(1,1.5) D.(1.5,2) 5 2.函数 f(x)=x -x-1 的一个零点所在的区间可能是( )

)

A.[0,1] B.[1,2] C.[2,3] D.[3,4] 3.已知 f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下列命题错误的是( A.函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 2 4.已知 y=x +ax+3 有一个零点为 2,则 a 的值是__________.

)

课堂巩固
1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的 是( ) A.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 2 2.二次函数 y=ax +bx+c 中,ac<0,则函数的零点个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 2 3. 若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2, 那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是( ) 1 1 1 A.0,- B.0, C.0,2 D.2,- 2 2 2 1 x 1 4.方程( ) =x 有解 x0,则 x0 在下列哪个区间( ) 2 3 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 5.(2009 福建泉州毕业班质检,理 11)函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间

1

(

) 1 1 A.( , ) 8 4 1 1 B.( , ) 4 2 1 C.( ,1) D.(1,2) 2

6.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则对于 f(x)=0 的解叙述正确的序号为__________. ①有三个实根 ②当 x>1 时恰有一实根 ③当 0<x<1 时恰有一实根 ④当-1<x<0 时恰有一实根 ⑤当 x<-1 时恰有一实根 7.观察下面的四个函数图象,指出在区间(-∞,0)内,方程 fi(x)=0(i=1,2,3,4) 哪个有解?请说明理由.

8. 已知函数 f(x)=3 -x .问: 方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?

x

2

1.若函数 f(x)的图象是连续不断的,且 f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则增加下列哪个条 件可确定 f(x)有唯一零点.( ) A.f(3)<0 B.f(-1)>0 C.函数在定义域内为增函数 D.函数在定义域内为减函数 1 x-2 3 2.设函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) 2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2

?x +bx+c,x≤0, ? 3.设函数 f(x)=? ?2, x>0, ?

2

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程 f(x)

=x 的解的个数是(

)

A.1 B.2 C.3 D.4 x 4.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 006 +log2 006x,则在 R 上方程 f(x)=0 的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.2 006 5.(2008 辽宁高考,理 12)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 x+3 f(x)=f( )的所有 x 之和为( ) x+4 A.-3 B.3 C.-8 D.8 6.函数 f(x)=lnx-x+2 的零点个数为__________. 2 2 7. (2008 湖北高考, 理 13)已知函数 f(x)=x +2x+a, f(bx)=9x -6x+2, 其中 x∈R, a,b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解集为__________. 1 1 1 8.判断方程 +1=0 在[- , ]内是否有实数解,并说明理由. x 2 2

9.证明方程 x -4x-2=0 在区间[-1,2]内至少有两个实数解.

4

10.判定方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异的实数解,且一个大于 5,一个小于 2.

3 3 2 11.已知函数 y=2x +bx+c 在(-∞,- )上是减函数,在(- ,+∞)上是增函数, 2 2 且两个零点 x1、x2 满足|x1-x2|=2,求这个二次函数的解析式.

3

答案与解析

第三章
3.1

函数的应用

函数与方程 方程的根与函数的零点

3.1.1
课前预习

1.B 2.B 因为 f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 所以存在一个零点 x∈[1,2]. 3.C 7 7 2 4.- 由题意可知 x=2 是方程 x +ax+3=0 的一个根,代入可得 a=- . 2 2

课堂巩固
1.C 对于选项 A,可能存在偶数个根;对于选项 B,必存在但不一定唯一;选项 D 显 然不成立. 2 2.B ∵ac<0,∴a≠0,于是判别式 Δ =b -4ac>0,即二次函数图象与 x 轴相交,有 2 个零点. 3.A ∵a≠0,2a+b=0, a 1 ∴b≠0, =- . b 2 a 1 2 令 bx -ax=0,得 x=0,x= =- . b 2 1 x 1 4.B 令 f(x)=( ) -x . 2 3 1 ∵f(-1)=2+1>0,f(0)=1-0>0,f(1)= -1<0, 2 ∴该函数在(0,1)内有解. 5.C 该函数是单调增函数, 1 ∵f( )=-1+1-1=-1<0,f(1)=0+2-1=1>0, 2 1 ∴其零点必落在( ,1)内. 2 6.①⑤ 将原函数图象向上平移 0.01 个单位就可得到 f(x)的图象.由 f(x)的图象知 f(x)=0 的解有三个.一个小于-1,另外两个都在(0,1)内.所以正确序号为①⑤. 7. 解: 方程 f1(x)=0, f2(x)=0 有解. 理由是观察 fi(x)的图象在(-∞, 0)内只有 f1(x)、 f2(x)与 x 轴有交点, 所以 f1(x)=0,f2(x)=0 在(-∞,0)内有解. 点评:对于任意函数 y=f(x),如果它的图象是连续不间断的,那么它通过零点(不是 二重零点)时的函数值必然变号.函数的零点分为变号零点和不变号零点两类.函数图象在 变号零点处与 x 轴相交,在不变号零点处与 x 轴相切.
4

2 -1 2 8.解:因为 f(-1)=3 -(-1) =- <0, 3 0 2 f(0)=3 -(0) =1>0, x 2 函数 f(x)=3 -x 的图象是连续曲线,所以 f(x)在区间[-1,0]内有零点,即 f(x)=0 在区间[-1,0]内有实数解.

课后检测
1.D 根据 f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,可画出函数 f(x)的图象草图,由图可知 f(x)在 区间(1,2)上必有一零点,而题中要求 f(x)只有唯一零点,因此函数在定义域内可以单调递 减. 3 2-x 2.B 令 g(x)=x -2 ,可求得 g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,易知 x0∈(1,2). 3.C 由已知条件求出 f(x)的解析式,再解方程确定根的情况. ?16-4b+c=c, ? 由已知? ? ?4-2b+c=-2,
?b=4, ? 得? ? ?c=2. ?x +4x+2, ? ∴f(x)=? ?2, x>0. ?
2 2

x≤0,

当 x≤0 时,方程为 x +4x+2=x, 2 即 x +3x+2=0, ∴x=-1 或 x=-2; 当 x>0 时,方程为 x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 4.C ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0. ∵x>0 时 f(x)是增函数,且 x 趋于 0 时 f(x)<0, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上有 1 个零点. 又∵其图象关于原点对称, ∴在(-∞,0)上也有 1 个零点. 5.C 因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f(x) x+3 x+3 x+3 =f( ),只有两种情况:①x= ;②x+ =0. x+4 x+4 x+4 2 由①知 x +3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 2 由②知 x +5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 6.2 该函数零点的个数就是函数 y=lnx 与 y=x-2 图象的交点个数.在同一坐标系 中作出 y=lnx 与 y=x-2 的图象如下图:

由图象可知,两个函数图象有 2 个交点,即函数 f(x)=lnx-x+2 有 2 个零点. 2 7.? ∵f(x)=x +2x+a, 2 2 2 2 ∴f(bx)=(bx) +2bx+a=b x +2bx+a=9x -6x+2.

5

b =9, ? ? 则有?2b=-6, ? ?a=2,

2

? ?b=-3, 即? ?a=2. ?
2 2

∴f(2x-3)=(2x-3) +2(2x-3)+2=4x -8x+5=0. ∵Δ =64-80<0, ∴方程 f(ax+b)=0 无实根. 1 8.解:设函数 f(x)= +1 是定义在非零实数集上的函数,且在(-∞,0)内是减函数, x 1 1 1 在(0,+∞)内也是减函数.而 f(- )=-1<0,所以方程 +1=0 在区间(- ,0)内没有实 2 x 2 1 1 1 数解;又 f( )=3>0,所以方程 +1=0 在区间(0, )内也没有实数解. 2 x 2 4 9.证明:设 f(x)=x -4x-2,其图象是连续曲线. 因为 f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0,f(0)=-2<0, 所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解. 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解. 10.解:设函数 f(x)=(x-2)(x-5)-1, 有 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1, f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1. 又因为 f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图所示),所以抛物线与横轴在(5,+∞)内 有一个交点,在(-∞,2)内也有一个交点.

所以方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异的实数解,且一个大于 5,一个小于 2. 点评:对于一元二次方程根的判断,通常借助于判别式、对称轴和区间端点值的符号来 判断. b 3 11.解:由题意 x=- =- ,∴b=6. 2×2 2 c 2 故 y=2x +6x+c.又 x1+x2=-3,x1x2= , 2 ∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= 9-2c=2. 5 5 2 ∴c= .经检验 Δ =6 -4×2× >0,符合题意. 2 2 5 2 ∴所求二次函数为 y=2x +6x+ . 2
2

6



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