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【优化课堂】2012高中数学 第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1



2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程

1.经历抛物线标准方程的推导过程. 2.能根据条件熟练求出抛物线的标准方程、焦点坐标和准 线方程.

3.掌握抛物线的定义,标准方程及其中 p 的几何意义.

1.抛物线定义. 我们把平面内___________________________________

____ 与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 焦点 _________的点的轨迹叫做抛物线;点 F 叫做抛物线的______; 准线 直线 l 叫做抛物线的____________.

2.抛物线的四种标准形式. 图形 标准方程 y2=2px(p>0)

焦点坐标
?p ? F?2,0? ? ?

准线方程
p x=-2 p x=2 p y=-2 p y=2

y2=-2px(p>0)

? p ? F?-2,0? __________ ? ? ? p? F?0,2? __________ ? ?
? p? F?0,-2? ? ?

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

【要点1】如何理解抛物线的定义?
【剖析】(1)抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个

动点 M”、“一个定点 F”、“一条定直线 l”、“一个定值”.其

“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线, “定值”
点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l(准线)的距离之比等于 1. (2)F?l,否则动点 M 的轨迹不是抛物线,而是过点 F 且垂 直于直线 l 的一条直线.

【要点2】二次函数的图象都是抛物线,那么抛物线的方 程都是二次函数吗?写出 y=ax2(a≠0)的焦点坐标,准线方程.
【剖析】抛物线的方程不都是二次函数,张口向左的抛物 线的方程 y2=-2px(p>0)对任一个 x 的值,y 的值不唯一,所以 1 不是二次函数.y=ax2 可变为 x2= y,不论是 a>0 还是 a<0, a 1 0, 焦点坐标都为 4a , 1 准线方程都为 y=- . 4a

题型1 抛物线定义的应用 例1:(2011 年辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为( 3 A.4 )
B.1 5 C.4 7 D.4

思维突破:根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线 的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方 答案:C

程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离.

【变式与拓展】

1.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,
则 C 的圆心轨迹为( A )

A.抛物线
C.椭圆

B.双曲线
D.圆

题型2 求抛物线的标准方程 例2:求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应的 准线方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

思维突破:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定 一个待定系数 p;从实际分析,一般需确定 p 和确定开口方向 两个条件,否则,应展开相应的讨论.

自主解答:(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2px 或 x2= 2py(p>0), ∵抛物线过点(-3,2), ∴4=-2p(-3)或 9=2p· 2. 2 9 ∴p=3或 p=4. 4 9 2 ∴所求的抛物线方程为 y =-3x 或 x =2y,前者的准线方
2

1 9 程是 x=3,后者的准线方程是 y=-8.

(2)令 x=0,得 y=-2;令 y=0,得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时,2=4, ∴p=8.此时抛物线方程 y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时,2=2, ∴p=4.此时抛物线方程为 x2=-8y. ∴所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y,对应的准 线方程分别是 x=-4,y=2.

【变式与拓展】 2.(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( B ) A.y2=-8x B.y2=8x D.y2=4x

C.y2=-4x

3.若抛物线经过点 M(1,4),求其标准方程.
解:∵点 M(1,4)在第一象限,且抛物线开口方向不定, ∴设两个方程为 y2=2p1x,x2=2p2y.把 M(1,4)分别代入,求得 1 y 2 2 p1=8,p2=8,∴标准方程为 y =16x 或 x =4.

题型 3 最值问题 例3:已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点, 点P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4, 求|PA | +|PO|的最小值. 思维突破:利用抛物线的定义,由|AF|=4 得到 A 到准线的

距离为 4,即可求出点 A 的坐标,根据:“|PA |+|PO|”相当于
在准线上找一点,使得它到两个定点的距离之和最小,最后利

用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值.

自主解答:∵|AF|=4,并由抛物线的定义,得 A 到准线的 距离为 4,即点 A 的横坐标为-2. 又点 A 在抛物线上,∴点 A 的坐标 A(-2,4). 坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0), 则|PA|+|PO|的最小值为: |AB|= ?4+2?2+?0-4?2=2 13.

【变式与拓展】
4.已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的 射影是 M,点 A
?7 ? 的坐标是?2,4?,求|PA|+|PM|的最小值. ? ?

解:将点 A 的横坐标代入 y =2x 知 如图 D6,焦点
?1 ? F?2,0?,显然,当 ? ?

2

?7 ? A?2,4?在抛物线外部, ? ?

P,A,F 三点共线时,|PA|

1 1 +|PM|才有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-2=|AF|-2=
?7 1? 1 9 ? - ?2+42- = . 2 2 ?2 2?

图D6



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