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人教B版 选修1-1 直线与椭圆的位置关系(上课用)



椭圆的简单几 何性质
直线与椭圆的位置关系

回顾:直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法 几何法 代数法 联立直线与圆的方程 消元得到一元二次方程 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

回顾:点与圆的位置关系
(1)在圆上 (2)在圆内 (3)在圆外

通法

知识点1.点与椭圆的位置关系
x2 y 2 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系 a b
点 P 在椭圆上
2 2 x0 y0 ? 2 ? 2 ?1 a b 2 2 x0 y0 ? 2 ? 2 ?1 a b

点 P 在椭圆内部

点 P 在椭圆外部

x y ? ? ?1 a b

2 0 2

2 0 2

知识点2、直线与椭圆的位置关系
相交(二个交点) 相切(一个交点)

相离(没有交点)

种类:

相离(没有交点)
相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

通法

? mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0)

△=n2 ? 4mp

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △? 0

直线与椭圆的位置关系
x2 y2 ? ? 1 的位置关 例1:判断直线y=x+1与椭圆 5 4 系

相交

x y 例2、已知椭圆 ? ? 1, 直线l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 25 9 椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?距离最 小是多少?

2

2

15 41 41
F1

l
m

F2

m

65 41 最大距离是多少? 41

知识点3.弦长问题
x2 y 2 若直线 l : y ? kx ? m与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。

弦长公式:

AB ?

?x2 ? x1 ?
2

2

? ( y 2 ? y1 )
2

2

AB ? (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? (1 ? k ) x 2 ? x1
2

1 1 2 AB ? (1 ? 2 )( y 2 ? y1 ) ? (1 ? 2 ) y 2 ? y1 k k

x2 y2 1 例1、椭圆 ? ? 1, 设直线y ? ? x ? 1与椭圆交于 16 4 2 A、B两点,求线段 AB的弦长和它的中点坐标 。

35

1 (1, ) 2

知识点4.中点弦问题
x y 1 例、椭圆 ? ? 1, 设直线y ? ? x ? 1与椭圆交于 16 4 2 A、B两点,求线段AB的中点坐标。
2 2

2 2 x y 已知椭圆 ? ? 1,过点P(2,1)引一弦,使 16 4

弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程。

x ? 2y ? 4 ? 0



从椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 上一点 2 a b

M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,

且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线

2 2 (2) 若Q是椭圆上任意一点, F2是右焦点,
求∠ F1QF2 的取值范围.

AB∥OM.(O是坐标原点). (1) 求椭圆的离心率;

?0,90 ?
?

(3) 过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点, 2 2 x y 若|CD|=3,求椭圆的方程. ? ?1 6 3

x2 y2 1 例2、 椭 圆 ? ? 1, 设 直 线 y ? ? x ? 1与 椭 圆 交 于 16 4 2 A、B两 点 , 求 线 段 AB的 中 点 坐 标 。

变式一:求弦长AB.

35

2 x 变式二:已知椭圆 ? y 2 ? 1 ,设直线 y =2x+b与椭圆 2

1 4 4 y ? ? x(? ? x ? ) 4 3 3 x2 y2 变式三:过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条直线,

交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

16 4 交椭圆于 A,B 两点且 AB 被点 M 平分,求这条弦所在的 1 直线方程.
y?? 2 x?2



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