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数学归纳法上课



人教B版高中数学选修2-2第二章2.3.1

数学归纳法(1)
山东菏泽第一中学 刘松波

情境创设
多米诺骨牌游戏 生活中的多米诺现象 多米诺规则:某个同学回答问题后, 将话筒传递给下一位同学回答问题。 提问方式 1
答!

2
答!

3
答!

4
答!


答!

引例
1 ?an ?:a1 ? 1, an?1 ? 2 ? , 求证an ? 1.(1 ? n ? 5) 已知数列 an
证明:n ? 1 时,a1 ? 1, 成立。
n ? 2时,a2 ? 2 ? 1 ? 1, 成立; a1

问题:

1 n ? 3时,a3 ? 2 ? ? 1, 成立; a2 1 n ? 4时,a4 ? 2 ? ? 1, 成立; a3 n ? 5时,a5 ? 2 ? 1 ? 1成立。 a4

引例
1 ?an ?:a1 ? 1, an?1 ? 2 ? , 求证an ? 1.(n ? N *) 已知数列 an

n=1

n=2

n=3

n=4



验证的过程是无限的!

例析
1 ?an ?:a1 ? 1, an?1 ? 2 ? , 求证an ? 1.(1 ? n ? 5) 已知数列 an
n=1真 证明:n ? 1 时,a1 ? 1, 成立。 1 它 n ? 2时,a2 ? 2 ? ? 1, 成立; n=2真 a1 们 推 1 n ? 3时,a3 ? 2 ? ? 1, 成立; n=3真 导 a2 的 方 1 n ? 4时,a4 ? 2 ? ? 1, 成立;n=4真 法 a3 一 1 样 n ? 5时,a5 ? 2 ? ? 1成立。 n=5真 吗 a4 ?

问题:

例析
那如果n ? k时ak ? 1(k ? N )成立,
*

能否推出n ? k ? 1时也成立呢?

ak ?1
n=1


1 ? 2? ? 2 ?1 ? 1 ak
n=2


n=3


n=4





传递?

n=k


n=k+1


无 穷 !

叙你 述能 清否 楚用 呢数 ?学 的 语 言 把 这 个 过 程

小试牛刀
试写出此命题的证明: ?an ? 已知数列 :a1 ? 1, an?1 ? 2 ?

证明:( 1 )当n ? 1 时,a1 ? 1, 所以结论成立。
(2)假设当n ? k (k ? N *)时结论成立,即 ak ? 1, 则当n ? k ? 1时

1 , 求证 : an ?( 1 n ? N *) . an

1 ak ?1 ? 2 ? (已知) ak 1 ? 2 - (代入假设) 1 ?(目标) 1

数学归纳法

即n ? k ? 1时结论也成立。
由( 1 )、( 2)可得,对任意的正整 数n都有an ? 1 。(结论)

知识形成
你能否总结数学归纳法的一般模式?

一般地,证明一个与正 整数n有关的命题 P(n),可按下列步骤进行: ( 1 )证明当n ? 1时命题成立;

(2)假设当n ? k (k ? N *)时命题成立,证明当 n ? k ? 1时也成立。

则P(1)真 ? P(2)真 ? P(3)真 ? P(4)真 ? ?? 那么,对任意的正整数 n, 命题P(n)都成立。

这种解决问题的思想方法在生活中有应用吗? 你能举出一些例子吗?

学以致用
例1 用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数 列,公差为d,那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N+ 都成立。
例2 用数学归纳法证明:

1 ? 3 ? 5 ?? ? ??(2n ? 1) ? n2

讨论:1、在证明的过程中,从n=k到n=k+1有什么变化?
2、变化的根据是什么? 3、他是如何利用假设的? 4、他这样用的目的是什么?

学以致用
练习1 用数学归纳法证明:如果{an}是一个等比数 列,公比为q,那么an=a1qn-1对一切n∈N+都成立。 练习2 用数学归纳法证明: 13+23+33+……+n3=
1 4

n2(n+1)2。

深化
数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么? (1)是推理的基础,(2)是递推的依据
数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步 骤的证明和判断,由此可进行无限的循环,其结构如下: k=1
命题正确 k=k+1 命题正确

明辨是非
例( 31 ): 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n2 ? n ? 1吗?(n ? N *)
证明:假设n ? k(k ? N *)时结论成立,即 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2k ? k 2 ? k ? 1 则当n ? k ? 1时,左边 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2k ? 2(k ? 1)
利用假设

? k 2 ? k ? 1 ? 2(k ? 1)
? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 1,即n ? k时结论也成立。 所以原命题成立。

步骤(1)不可以忽略!

例3(2):例2可以这样证明吗?
证明:( 1 )当n ? 1时,左边 ? 1 ,右边 ? 1 ,等式成立。 (2)假设当n ? k时等式成立,即 1? 3 ? 5 ?? ? (2k ? 1 ) ? k2 则当n ? k ? 1时,左边 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1 ) ? (2k ? 1)
(k ? 1 ) (1 ? 2k ? 1) (k ? 1)(2k ? 2) ? ? ? (k ? 1) 2 ? 右边。 2 2 由( 1 )、(2)得,等式对任何 n ? N * 都成立。

归纳假设要用上!

综合应用
1 ?an ?:a1 ? 2, an?1 ? 2 ? , 猜想an的通项, 已知数列 an 并用数学归纳法证明你 的结论.

小结:
1、数学归纳法能解决哪些问题?

与正整数有关的命题的证明
2、数学归纳法的步骤是什么?

两步骤一结论
3、在应用数学归纳法时需要注意哪些问题?

两步骤缺一不可

长 风 破 浪 会 有 时

两个步骤一结论; 递推基础不可少; 归纳假设要用到; 结论写明莫忘掉。

直 挂 云 帆 济 沧 海

想飞的蜗牛如何才能 扶着天梯登上云端呢?

渴望飞翔, 上帝却忘了给我装上翅膀。 我只能, 只能依靠坚实的脚步 支撑厚重的脊梁。 每一步迈出, 都浸透我意志的刚强! 云端的苍鹰啊, 是你点燃我飞翔的梦想, 梦想有一天, 能借着你的风, 极目无限风光!

作业
巩固性作业 课本P73:习题2-3A 2,3 发展性作业 课本P73:习题2-3B 1
思考:如果要证明命题P(n)(n? 3,n ? N * ) 根据数学归纳法的思想,应如何证明?

开放性作业
如果要证明命题P(n)(n是正偶数)成 立,根据数学归纳法的思想,应如何证明?



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