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函数表达式的求法


第四讲 函数解析式的求法
重 点:求解析式的方法. 难 点:求复合函数的解析式. 教学目标:掌握求解析式的几种常用方法 教学过程:
一、导入新课 复习函数定义(重点是构成函数的三要素) . 二、新课 1.求解析式的常用方法: (1)待定系数法: 例1.若 f (x) 是二次函数,其图象过原点,且 f (1) ? 1, f (?1) ? 5. 求: f (x). 练习:1.若一次函数 f (x) 满足 f ? f ? f ? x ??? ? 8 x ? 7. 求: f (x). 小结:①待定系数法适用于:已知所求函数解析式的一般形式; ②解法是:根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组,解出系数的值,代回所设解 析式. (2)换元法: (配凑) 例2.⑴ f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x ? 1)
2

⑵ f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 2 ,求 f ( x)
2

练习: f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x)
2

例3. f ( x ? 2) ? x ? 5 x ,求 f ( x)
2

练习:1. f ( x ? 1) ? x ? 2

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f (x). x x 1 1 1 2 2 2 解法二: f ( x ? ) ? x ? 2 ? ( x ? ) ? 2,? f ( x) ? x ? 2. x x x
2.已知: f ( x ? 小结:①应用换元法求解析式的题型特征是:题中没有给出函数最简的解析式 ②解法是:通过换元,找出原函数的解析式. (还可以用配凑) (3)函数方程法(消元法) 例4.已知: f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x. 求: f (x). 小结:①例4的解法相当于消元法. ②消元法的特点是在所给解析式中 f (x) 与 f (? x) 中的自变量互为相反的数,或 f (x) 与 f ( ) 中的自变量互为倒数;得到相当于两个未知数的两个方程,求解。

1 x

(4)特殊值法: (选讲) 例5.对于一切实数 x, y 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? (2 x ? y ? 1) x 都成立,且 f (0) ? 1. 求 f (x). 小结:此类型题的特点是:条件是:对于一切实数 x, y 都成立. 课后作业: 求下列函数的解析式: 1. 已知 f (x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 6 ,求 f (x) . ( f (x) ? 2 x ? 2或f ( x) ? ?2 x ? 6 )

x 1 ) , 求 f (x) . ( f (x) ? 1? x x ?1 1 1 2 2 3.若 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求 f ( x) . ( f ( x) ? x ? 2 ) x x
2. 若 f ( ) ?

1 x

2x 2 ? 1 1 4.若 f ( ) ? 2 f ( x) ? x, 求 f (x) .( f (x) ? ) 3x x

4 ) 9 1 6.已知 f ( x) ? 3 f (? x) ? 2 x ? 6, 求 f ( x) . f (x) ? x ? 3 ) ( 2
5.若 f (3x ? 2) ? x ? x ,求 f (2) . ( f (2) =
2

7.已知 3f (x5) + f (–x5) = 4x,求 f (x)的解析式.(f (x) = 2 5 x .)

函数表达式的求法 一,函数的迭代特征 (1) f ( x), f n ( x) ? f n ?1 [ f ( x)] ; (3) f ( x) ? ax ? ?b, f n ? a x ?
2

(2) f ( x) ? x ? a, f n ( x) ? x ? na ;

1? a2 b 1? a

(4) f ( x) ? x , f n ? x
2

2n



(5) f

?1

[ f ( x)] ? f [ f

?1

( x) ? x ;

x2 1 ; f ( x) ? f ( ) ? 1 ; (6) f ( x) ? 2 x 1? x

(7) f ( x) ?

ax ax ? a

, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ;

二,函数表达式的求法 (1) 拼凑成等号两端相同的形式 已知 f( x +1)= x ? 2 x 。求 f(x)。

( ) 解:f( x +1)= x ? 2 x +1-1= x ? 1 -1;f(x)=
2

-1。

(2)引入新的字母进行转化

x?3 )=9x+8,求f(x)。 x x?3 3 3 8x ? 19 解:设t= , ,x ? , f(t) 9 ? ? 8,f(t) ? x t ?1 t -1 t -1 8x ? 19 f(x)= x -1
已知f( (3)用多项式相等的法则确定系数 已知f{f[f(x)]}=27x+26,求 f(x)。 解:设 f(x)=ax+b,f{f[f(x)]}= a x ? a b ? ab ? b ? 27 x ? 26 ,
3 2

a=3,b=2,f(x)=3x+2。 另:f{f[f(x)]}= f 3 ( x) = a x ?
3

1 ? a3 b ? 27 x ? 26 , 1? a

a=3,b=2,f(x)=3x+2。 (4)设制方程,消元求解 (a)利用互为倒数关系,一般模式如: ㈠已知 af(x)+bf(

1 2 2 )=cx,(a,b,c≠0, a ? b ),求 f(x)。 x

1 af ( x) ? bf ( ) ? cx 1 x 解:用 代替 x 后与原等式联立方程组得,{ 1 x x af ( ) ? bf ( x) ? x c

c b (ax ? ) 。 2 x a ?b 1 ㈡,已知 2f( )+f(x)=x,(x≠0),求 f(x)。 x 1 解:2f( )+f(x)=x?⑴ x
解得,f(x)=
2

2 f(x)+ f(

2 ? x2 1 1 )= ?⑵ 解得 f(x)= 3x x x

(b)利用互为相反数(或倒置)关系,一般模式如: ㈠,已知 af(4x-3)+bf(3-4x)=5x, a ? b 求 f(x)。
2 2

解:设 t=4x+3,则 3-4x=-t,5x=

5t ? 15 5t ? 15 ;将它们代入原式得 af(t)+bf(-t)= ;用-t 代替 t,与上式联立方程 4 4

5t ? 15 4 组得,{ 15 ? 5t af (?t ) ? bf (t ) ? 4 af (t ) ? bf (?t ) ?
(1)×a-(2)×b 得,( a ? b )f(t)=a(
2 2

5t ? 15 15 ? 5t )-b( ) 4 4

f(t)=

15(a ? b) 15(a ? b) 15t 15 15 x 15 ? ? ? = ;f(x)= 。 2 2 2 2 4(a ? b) 4(a ? b) 4(a ? b ) 4(a ? b ) 4(a ? b) 4(a ? b)

㈡,已知 3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求 f(x)。 解:设 t=x-1,-t=1-x,则,3f(t)+2f(-t)=2(t+1) 3f(t)+2f(-t)=2(t+1)?⑴ 3f(-t)+2f(t)=2(1-t)?⑵ 解得 f(t)=2t+ f(x)=2x+

2 5

2 。 5

(5)根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系,进行字母代换。 (一)若 f(x)=x+1,求 f(x+1)关于直线 x=2 对称的直线方程。 解:f(x)=x+1,则 f(x+1)=x+2,
0 0 0

设点 A (x, 在所求直线的图像上, A ( x , y ) 在 f y) 点 (x+1) 的图像上, 两点关于直线 x=2 对称, 则有 x =4-x,y =y 将 x , y 代入得:y=6-x。
0
0

0

0

(二)在 x ? R 上,函数 f(x)关于直线 x=2 对称,并且[0,2]上的解析式为 f(x)=2x-1,求 f(x)在[2,4]的解析式。
0 0 0

解:设点 A(x,y)在所求函数的图像上,点 A ( x , y ) 为 A 关于 x=2 的对称点,则有 x =4-x, y =y。因 y =2 x 将 x , y 代入得:y=7-2x。
0
0

0

0

0

0

(6)利用所含字母的“+”“-”号的变化以改变定义域,再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号,进行等条件 转化。 如,已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x/x-2/,求当 x<0 时,函数 f(x)的表达式。 解:设 x<0,则-x>0; 又因 f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x), 因 x>0 时,f(x)=x/x-2/, f(-x)=-f(x)=-x/x+2/, f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/ f(x)=x/x+2/。 若 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)= 解:由已知可得,f(-x)+g(-x)= 则有 f(x)-g(x)=

1 , ? x ?1

1 ?① , ? x ?1 1 又有已知 f(x)+g(x)= ?②, x ?1

1 ,求函数 f(x),g(x)的表达式。 x ?1 1 ①+②得:f(x)= 2 (奇函数); x ?1 x ①-②得:g(x)= 2 (偶函数)。 x ?1

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

例 1 设 f (x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x)

解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3

?a ? 2 ?a ? ?2  或   ?? ? ? b?3 ?b ? 1

? f ( x) ? 2 x ? 1  或  f ( x) ? ?2 x ? 3

二、

配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成

g ( x) 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。

1 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x2 1 1 2 1 解:? f ( x ? ) ? ( x ? ) ? 2 , x ? ? 2 x x x
例 2 已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

? f ( x) ? x 2 ? 2

( x ? 2)

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,
要注意所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x
? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)

四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g (x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g (x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? 2 ? ?2 ? x? ? ? x ? 4 则? ,解得: ? , y? ? y ? y? ? 6 ? y ? ?3 ? 2

?点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g (x) 上

? y ? ? x? 2 ? x?
把?

? x? ? ? x ? 4 代入得: ? y? ? 6 ? y

6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4)
整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6
2

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6
五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,
通过解方程组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f (x) 解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x 显然 x ? 0, 将 x 换成

1 x

1 x



1 ,得: x


1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x 2 f ( x) ? ? ? 3 3x

解① ②联立的方程组,得:

例 6 设 f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ? 解 ? f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

? f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x)
又 f ( x) ? g ( x) ?

1 ① , x ?1 1 x ?1

用 ? x 替换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? ? 即 f ( x) ? g ( x) ? ?

1 ② x ?1

解① ②联立的方程组,得

1 1 , g ( x) ? 2 x ?1 x ?x 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进 f ( x) ?
2

行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f (x) 解?对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y ) ? f (0) ? y (? y ? 1) ? 1 ? y ( y ? 1) ? y ? y ? 1
2

再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1
2

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘
或者迭代等运算求得函数解析式。 例 8 设 f (x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a, b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f (x)
解? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? ,

?不妨令 a ? x, b ? 1 ,得: f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,
又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 分别令①式中的 x ? 1, 2? n ? 1 得: ①

f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 3, ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n,
将上述各式相加得: f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n ,

? f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? f ( x) ? 1 2 1 x ? x, x ? N ? 2 2

n(n ? 1) 2



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