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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.1.3第1课时并集与交集课件 新人教A版必修1



1.1.3 集合的基本运算 第 1 课时 并集与交集
【学习要求】 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集 和交集; 2.能使用 Venn 图表示集合的并集和交集运算结果,体会直观图 对理解抽象概念的作用; 3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的并集与交 集运算. 【学法指导】 通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的并集及交集运算,

培 养数形结合的思想;体会类比的作用;感受集合作为一种语言在 表示数学内容时的简洁和准确.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.并集 (1)定义:一般地, 由所有属于集合A或属于集合B 的元 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B . (2)并集的符号语言表示为 A∪B= {x|x∈A,或x∈B} . (3)性质:A∪B= B∪A ,A∪A= A , A∪?= A ,A∪B =A? B?A ,A ? A∪B.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.交集 (1)定义:一般地,由 属于集合A且属于集合B的所有 元 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B . (2)交集的符号语言表示为 A∩B= {x|x∈A,且x∈B} .

(3)性质:A∩B= B∩A ,A∩A= A ,A∩?= ? ,A∩B= A? A?B ,A∩B ? A∪B,A∩B ? A,A∩B ? B.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题情境:两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减 法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否 也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题.

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探究点一 并集 问题 1 请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、 B 之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x 是有理数},B={x|x 是无理数},C={x|x 是实数}.

答 集合 A 和集合 B 的元素放在一起即为集合 C 的元素.

问题 2 在问题 1 中,我们称集合 C 为集合 A、B 的并集,那么如 何定义两个集合的并集?
答 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成

的集合,称为集合 A 与 B 的并集. 记作:A∪B.读作“A 并 B”.其含义用符号表示为:A∪B= {x|x∈A,或 x∈B}.

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问题 3 集合 A∪B 如何用 Venn 图来表示?


问题 4

用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之间的关系是

什么?

答 A∪B=C.

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例1 (1)设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B.

(2)设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B.

解 (1)A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

(2)A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 还可以在数轴上表示 A∪B,如图.
小结 两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B

的所有元素组成的集合,它们的公共元素在并集中只能出现一 次.对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.

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跟踪训练 1 已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=

{1,2,4,6} ________________.
解析 A∪B 是由 A,B 的所有元素组成的.
A∪B={1,2,4,6}.

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探究点二 问题 1 交集 请同学们考察下面的问题,集合 A、B 与集合 C 之间有

什么关系? ①A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}; ②A={x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级女同学}, B={x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级同学},C= {x|x 是国兴中学 2011 年 9 月入学的高一年级女同学}. 答 集合 C 是由集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合. 问题 2 在问题 1 中,我们称集合 C 为集合 A、B 的交集,那么

如何定义两个集合的交集? 答 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集
合,称为 A 与 B 的交集. 记作:A∩B.读作:“A 交 B”.其含义用符号表示为:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B}.

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问题 3

如何用 Venn 图表示交集运算?

答 如图中的阴影部分表示的为 A∩B.

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例2 (1)新华中学开运动会,设 A={x|x 是新华中学高一年级参加

百米赛跑的同学},B={x|x 是新华中学高一年级参加跳高比赛 的同学},求 A∩B. (2)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2, 试用集合的运算表示 l1,l2 的位置关系. 解 (1)A∩B 就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又

参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以 A∩B={x|x 是新华中学 高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. (2)平面内直线 l1,l2 可能有三种位置关系,即相交于一点,平 行或重合.

①直线 l1,l2 相交于一点 P 可表示为:L1∩L2={点 P};

②直线 l1,l2 平行可表示为 L1∩L2=?; ③直线 l1,l2 重合可表示为 L1∩L2=L1=L2.

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小结 两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合,当两个集合没有公共元素时,两个集 合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.

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跟踪训练 2

设集合 P={1,2,3,4,5},集合 Q={x∈R|2≤x≤5},那 ( C ) B.P∩Q? Q D.P∩Q=Q

么下列结论正确的是 A.P∩Q=P C.P∩Q? P

解析 ∵P∩Q={2,3,4,5},

∴P∩Q? P.因此,选 C.

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探究点三 并集与交集的性质

问题 1 你能用 Venn 图表示出两个非空集合的所有关系吗?
答 所有关系如下图所示:

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问题 2 你能从问题 1 中所画的图中发现哪些重要的结论?

答 发现的结论如下: 由 Venn 图,我们观察到:
(1)

A∩B?A,A∩B?B;A?A∪B,B?A∪B,A∩B?A∪B.
(2)如果集合 A 本身是集合 B 的子集:

A?B?A∩B=A?A∪B=B.
如果集合 B 本身是集合 A 的子集:

B?A?A∩B=B?A∪B=A. (3)如果集合 A,B 没有公共元素:

A∩B=?.

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问题 3 如果集合 A, B 没有公共元素, 那么它们就没有交集吗?

答 不是,它们有交集,交集为空集.
例 3 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若

A∪B=A,求实数 a 的值.

解 ∵A={1,2},A∪B=A,∴B?A, ∴B=?或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 当 B=?时,Δ<0,a 不存在,
当 当
? ?Δ=0 B={1}时,? ? ?1-a+a-1=0 ? ?Δ=0 B={2}时,? ? ?4-2a+a-1=0

,∴a=2. ,∴a 不存在.

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? ?1+2=a B={1,2}时,? ? ?1×2=a-1

,∴a=3.

综上所述,a=2 或 a=3.
小结 在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现

A∪B=A,或 A∩B=B,解答时常转化为 B?A,然后用集合间 的关系解决问题,运算时要考虑 B=?的情况,切记不可漏掉.

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跟踪训练 3 设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2 -1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值. 解 由题意得 A={-4,0},因为 A∩B=B,所以 B?A.
当 B=?时, 即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实数解, 则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1.

当 B≠?时,若集合 B 中仅含一个元素,
则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得 a=-1, 此时,B={x|x2=0}={0}?A,即 a=-1 符合题意. 若集合 B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0, 即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的解是-4,0,
? ?-4+0=-2?a+1?, 则有? 2 ? ?-4×0=a -1,

解得 a=1,则 a=1 符合题意.

综上所述,a=1 或 a≤-1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.设集合 A={x|x∈Z 且-15≤x≤-2},B={x|x∈Z 且|x|<5}, 则 A∪B 中的元素个数是 A.10
解析

( C ) C.20 D.21

B.11

∵A∪B={x|x∈Z 且-15≤x<5}={-15, -14, -13, ?,

1,2,3,4},

∴A∪B 中共 20 个元素.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.若集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∩N 等于 ( A ) A.{0,1} C.{0,1,2} B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

解析 M∩N={0,1},故选 A.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值

[-1,1] . 范围为________
解析 由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}. 由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},∴-1≤a≤1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.对并集、交集概念的理解 (1)对于并集,要注意其中 “或”的意义,“或 ”与通常所说的 “非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A,或 x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A 但 x?B;x∈B 但 x ?A;x∈A 且 x∈B.因此,A∪B 是由所有至少属于 A、B 两者之 一的元素组成的集合. (2)A∩B 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集合 B 的元素, 而不是部分,特别地,当集合 A 和集合 B 没有公共元素时,不 能说 A 与 B 没有交集,而是 A∩B=?. 2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合, 可直接根据集合的“交”、 “ 并” 定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴, 利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否.



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