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高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第5节 对数函数的应用



第 5 节 对数函数的应用 【基础知识】 1.比较同底数的对数值的大小,考虑应用函数的单调性; 2.比较同真数对数值的大小,注意借助对数函数的图象; 3.比较大小的常用方法:直接法;作商法(注意正负) ;作差法;搭桥法(引入-1,0,1 等) ; 图象法. 4.对数的真数恒大于 0. 【规律技巧】 1. 比较两个对数值的大小,若同底数,考虑应用函数的单调性;若底数不同,首先化同底

数. 2.对数函数的定义域、值域问题,要考虑底数大于零且不为 1,真数大于零. 3.数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用,是本节的一突出特点. 【典例讲解】 例 1、已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如 果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 【探究提高】 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定 义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 【变式探究】 已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a>0 且 a≠1). (1)若 f(2)=2,求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 【针对训练】

1、已知函数 f ( x) ? log a x( a ? 0 且 a ? 1) 满足 f ( ) ? f ( ) ,则 f (1 ? ) ? 0 的解为 ( ) B. x ? 1 C. x ? 1 D. x ? 0

2 a

3 a

1 x

A. 0 ? x ? 1 【答案】C

2、函数 f ( x) ? log 2 【答案】 ?

x ? log 2 (2 x) 的最小值为_________.

1 4


3、若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是(

33 2 A. 2
【答案】A

23 3 B. 3

3 C. 2

3

2 D. 3

2

4、已知函数 A. (0,1) 【答案】C

y ? log a (2 ? ax)

在[0,1]上是 的减函数,则 的取值范围是( C. (1,2) D.[2,+

x

a



B. (0,2)

?



【练习巩固】 1、已知定义在 R 上 的 函 数 f ? x? ? 2
x?m

?1 ( m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记
)

a ? f (log 0.5 3), b ? f ? log 2 5? , c ? f ? 2m ? ,则 a, b, c 的大小关系为(
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 2、已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 x +1 y +1
2

)

B. ln(x2+1)>ln(y2+1) D. x3>y3

C. sin x>sin y 【答案】D

1 【解析】 因为 ax<ay(0<a<1), 所以 x>y, 所以 sin x>sin y, ln(x2+1)>ln(y2+1), 2 x +1 > 1 都不一定正确,故选 D. y2+1

3、函数 f(x)= 1 0, ? A.? ? 2?

1 的定义域为( (log2x)2-1

)

B.(2,+∞)

1? ? 1? C. ? ?0,2?∪(2,+∞) D. ?0,2?∪[2,+∞) 【答案】C

? ? ? ?x>0, ? 【解析】根据题意得, 解得? 1 故选 C. 2 ?(log2) -1>0, ? ?x>2或x< .
x>0,

?

2

4、若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 11 所示,则下列函数图像正确的是(

)

图 11

A

B

C 【答案】B

D

1?x 【解析】由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3.选项 A 中的函数为 y=? ?3? ,则其 函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x3,则其函数图像正确;选项 C 中的函数为 y=(- x)3,则其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(-x),则其函数图像不正确. 5、若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln a20 =________. 【答案】50 1 1 6、已知 a=2- , b=log2 , 3 3

11 c=log ,则( 23

)

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】C 1 1 11 11 【解析】因为 0<a=2- <1,b=log2 <0,c=log >log =1,所以 c>a>b. 3 3 23 22 1 7、函数 f(x)=log (x2-4)的单调递增区间为( 2 A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 【答案】D
2 ? ?x -4>0, ? 【解析】要使 f(x)单调递增,需有 解得 x<-2. ?x<0, ?

)

8、在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是(

)

A

B

C 【答案】D

D

【解析】 只有选项 D 符合, 此时 0<a<1, 幂函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且当 x∈(0, 1)时,f(x)的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选 D. 9、函数 f(x)=log2 x· log 1 【答案】- 4
2(2x)的最小值为________.

10、已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 x A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 【答案】D

? 1 ?)x<-1 或 x>2,则 f(10x)>0 的解集为( ?

)

1 1 【解析】根据已知可得不等式 f(x)>0 的解是-1<x< ,故-1<10x< ,解得 x<-lg 2. 2 2



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