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三角形的外角

兰青中心校

刘力

三角形的外角
?定义:

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角, 叫做三角形的外角。 A
?特征:

(1) 顶点在三角形的一个顶点上. C B (2) 一条边是三角形的一边. (3) 另一条边是三角形某条边的延长线.

D

证明:三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和. A 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 2 求证: ∠1= ∠2+ ∠3 证明:∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° 3 41 (三角形内角和定理) C B 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) D

证明:三角形的一个外角大于任何一个 和它不相邻的内角. A 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证: ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
3
2

1

B

C

D

证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 (三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和) ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3

想一想
已知:∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角. 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. F 证明:∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°) A 1 ∠2 +∠CBD=180° ∠3 +∠ACE=180° 3 C E B 2 又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180° D (三角形内角和定理) ∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180° ∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°

想一想
已知:D是直线AB上一点,E是直线AC上一点, 直线BE与直线CD相交于F,∠A=62°,若 ∠ACD=35°,∠ABE=20°. 求: (1)∠BDC度数; C (2)∠BFD度数. F E
D A B

如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其 A 它角有什么关系?
?能证明你的结论吗?
3

2
4 1 C

B

D

证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),

∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ?在这里,我们通过三角形 内角和定理直接推导出两 个新定理.像这样,由一个 公理或定理直接推出的定 理,叫做这个公理或定理 的推论.
A 2 3 4 1 C

B

D

?推论可以当作定理使用.

?三角形内角和定理的推论: ?推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. ?推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角.
A

?△ABC中: ?∠1=∠2+∠3; ?∠1>∠2,∠1>∠3.
B

2
3 4 1 C

D

?这个结论以后可以直接运用.

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.

A

B

· C ·

D

证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 例题是运 1 用了定理 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). “内错角 2 相等,两直 方 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 线平行” 法 1 得到了证 一 ∴∠DAC=2 ∠EAC(角平分线的定义). 实. ∴∠DAC=∠C(等量代换).

∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).

还有其它方法吗?

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.

A

·D
C

B

·

证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),

方 法 二

∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).

这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得: ∠DAC=∠C (已证),

A

B

· ·C

D

∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).

∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.

方 法 三

例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延长 BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),

D 2
5

E 4

3

C

∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于 A 任何一个和 它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何 一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质).

1 B

F

已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), B ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质). C D

B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. C D E

A

证明(1):延长BD与AC相交于E ∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和 它不相邻的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角).

∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).

B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. D E

A

C 证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),

∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).

A
?已知:国旗上的正五角星形如图所示. ?求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. B H
2 1F

E

解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和). C D

又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).

三角形内角和定理 : 三角形三个内角的和等于1800。 ? 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和. ? 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角. ? 推论3: 直角三角形的两锐角互余.

作业 1、书P17.第8,9,11题 2、课时练

3、预习:多边形

作业 1、书P17.第8,9,11题 2、课时练

3、预习:多边形


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