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2012-2013第一学期高三期末考试文科数学试卷及答案



2012 学年度第一学期高三年级期末质量检测

文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在 答题卷上。 2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,划

掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh 3

(其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

第Ⅰ 卷

选择题(共 50 分)
1 2

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)
a 1.已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? { } ,则 A ? B 为(

) D. {?1,

A. { ,1, b}

1 2

B. {?1, }

1 2

C. {1, }

1 2

1 ,1} 2

2.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i 3.已知 sin ? ? A. B. 2 ? i

5i =( z
) C.

) D. ?2 ? i

C. ?2 ? i

7 9

1 ,则 cos(? ? 2? ) 的值为( 3 7 B. ? 9

2 9

D. ?

2 3


4.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 13 项和 S13 =( A.156 B.132 5.下列命题中的假命题是( ) A.?x ? R, x ? 0
3

C.110

D.100

B.“ a ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 D.“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件

C. ?x ? R, 2 ? 0
x

y 4 3 2 1 O A C

6.如图,函数 y ? f ( x) 的图象是折线段 ABC (包括端点) , 其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) , 则 f ( f (0)) ? ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

B 1 2 3 4 5 6

x

高三年级文科数学试卷

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7.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、 C1 截去两个角后所得的几何体, 则该几何体的主视图(或称正视图)为( )
N M B1 C1

D A B

C

A

B

C
2

D

8.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?

y2 ? 1 的离心率为( m
开始



A.

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

D.

3 或 5 2

9.在右程序框图中,当 n ?N ? (n>1)时,函数 f n( x) 表示函数
f n-1( x)的导函数.若输入函数 f1( x)? sinx ? cos x ,则输出的函

输入 f1(x) n=2

数 f n( x)可化为( ) π π A. 2 sin( x ? ) B. ? 2 sin( x ? ) 4 4 π π C. 2 sin( x ? ) D. ? 2 sin( x ? ) 4 4 10 . 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算 “ ? ” 如 下 : 对 任 意 的

fn(x)=f'n-1(x)

n=n+1 否

? ? ? ? a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令 a ? b ? mq ? np ,下面说法
错误的是( )

n ? ?013? 是

A. 若 a 与 b 共线, 则a? b ?0

?

?

?

?

B.a ? b ? b ? a

?

?

?

?

输出 fn(x)

C.对任意的 ? ? R ,有 (?a) ? b ? ? (a ? b ) D. (a ? b )2 ? (a ? b )2 ?| a |2 | b |2

?

?

?

?

结束 第 9 题图

?

?

? ?

?

?

第Ⅱ 卷 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. 直线ax ? my ? 2a ? 0(m ? 0)过点(1,1), 则该直线的倾斜角为
高三年级文科数学试卷 第 2 页(共 4 页)



12.为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育情况, 抽查了该校 100 名高中男生的体重情况。 根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据 此估计该校高中男生体重在 70~78kg 的人数为 13.若函数 f ( x) ? ln( x2 ? ax ? 1) 是偶函数,则函数的 定义域是 。
0.09 0.07

频率 组距

0.04 0.02 0.01 54 58 62 66 70 74 78 重量(kg)

第 12 题图 ★ (请考生在以下两个小题中任选一题作答,两题全答的以第 14 小题计分) 14. (坐标系与参数方程)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : 则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_______. 15. (几何证明选讲)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与△ABC 的两边
? 分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60 ,则 EF ?

1?2cos? ? xy? ?1?2sin?

, C E F

A .
第 15 题

B

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 图 骤,请在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的一系列对应值如下表:

x
y

?

?
4

0
1

? 6
1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

0

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , f ( A) ? ?

1 ,求 ?ABC 的面积. 2

17. (本题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图 所示的茎叶图表示 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; 甲 乙 (2)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (3)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场 5 7 4 1 2 31 的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率. (参考数据: 3 2 4 2 3 7 92 ? 82 ? 102 ? 22 ? 62 ? 102 ? 92 ? 466 , 2 3 1 0 7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236)
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18. (本题满分 14 分) 如图,己知?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=2, AB⊥平面 BCD,∠ADB=450,E、F 分别是 AC、AD 上 的动点,且 EF//CD (1)求证: EF⊥平面 ABC; (2)求此三棱锥 A—BCD 的表面积; (3)若 E、F 分别是 AC、AD 上的中点,求点 A 到 平面 BEF 的距离. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 2S n . (1)求 a 2 , a3 , a 4 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)设 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( x, y ? 4), b ? (kx, y ? 4) ( k ? R ) , a ? b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 T. (1)求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状; (2)当 k ? 1 时,已知 O (0, 0) 、 E (2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q : Q 是轨迹 T 内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,且△OEQ 的面积 S?OEQ ? 2 若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

?

?

?

?

21. (本题满分 14 分)

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图像过原点. 3 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数.
已知函数 f ( x) ?

高三年级文科数学试卷

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2012 学年度第一学期高三年级期末质量检测

文科数学参考答案
一、选择题 1.D 2.A 二、填空题 11. 135?(或 3.B 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

3? ) 4

12.240

13. (??, ?1) ? (1, ??)

14. 2 2 ? 2

15.2

三、解答题 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的一系列对应值如下表:

x
y

?

?
4

0
1

? 6
1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

0

(1)求 f ( x ) 的解析式;

1 ,求 ?ABC 的面积. 2 3? ? ? ?? , 解: (1)由题中表格给出的信息可知,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 4 2? ?2. 所以 ? ? ……………………………………………2 分
(2)若在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , f ( A) ? ?

?

?2 ? ( 注意到 sin(

?

??

?
2

4

? ?)

?), 也 0 即??

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) , 由 0 ? ? ? ? , 所 以

………………………………………………4 分

所以函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)∵ f ( A) ? cos 2 A ? ?

?
2

) (或者 f ( x) ? cos 2 x ) ……………………5 分

? 2? 1 ,∴ A ? 或 A ? ……………………………6 分 3 3 2 ? BC AC ? 当 A ? 时,在 ?ABC 中,由正弦定理得, , 3 sin A sin B 3 2? AC ? sin A 2 ? 3, ? ∴ sin B ? ……………………………………7 分 BC 3 3
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∵ BC ? AC ,∴ B ? A ?

?
3

,∴ cos B ?

6 , 3

………………………………8 分

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 6 1 3 3 2? 3 , …9 分 ? ? ? ? 2 3 2 3 6

∴ S?ABC ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 .…………………10 分 ? AC ? BC ? sin C ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 6 2
2? 时, 3
…………………12 分

同理可求得,当 A ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 S?ABC ? ? AC ? BC ? sin C ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 6 2

(注:本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和 ? 方法众多,只要言之有理并能 正确求出即给分). 17. (本题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图 所示的茎叶图表示 甲 乙 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; 57 4 1 2 31 (2)你认为哪位运动员的成绩更稳定? 3 2 4 2 3 7 (3) 如果从甲、 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的 2 3 1 0 得分,求甲的得分大于乙的得分的概率. (参考数据: 92 ? 82 ? 102 ? 22 ? 62 ? 102 ? 92 ? 466 , 7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236) 解: (1)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23……………………2 分 (2) ? x甲 ?

14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 ? 21 7 12 ? 13 ? 11 ? 23 ? 27 ? 31 ? 30 x乙 ? ? 21 7
2 2 2 2 2

……………………3 分 ………………………4 分

S

2 甲

? 21-14? ? ? 21-17 ? ? ? 21-15? ? ? 21-24? ? ? 21-22? ? ? 21-23? ? ? 21-32? ?
2

2

7

?

236 7

…………………………………………………………………5 分

S

2 乙

? 21-12? ? ? 21-13? ? ? 21-11? ? ? 21-23? ? ? 21-27 ? ? ? 21-31? ? ? 21-30? ?
2 2 2 2 2 2

2

7

?

466 7

……………………………………………………………6 分
高三年级文科数学答案 第 2 页(共 7 页)

2 2 ,从而甲运动员的成绩更稳定 ? S甲 ? S乙

………………………………7 分

( 3 )从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 ……………………………………………………………………………………8 分 其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3 场,甲得 24 分有 4 场,甲得 22 分有 3 场,甲得 23 分有 3 场,甲得 32 分有 7 场,共计 26 场 ……10 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?

26 49

………………………………12 分

18. (本题满分 14 分) 如图, 己知?BCD 中, ∠BCD = 900, BC=CD=2, 0 AB⊥平面 BCD,∠ADB=45 ,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 EF//CD (1)求证: EF⊥平面 ABC; (2)求此三棱锥 A—BCD 的表面积; (3)若 E、F 分别是 AC、AD 上的中点,求点 A 到平面 BEF 的距离. (1)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所以,CD⊥平面 ABC, 又因 EF / / CD ,所以 EF⊥平面 ABC 分 (2) 因 CD⊥平面 ABC, 所以 CD⊥AC, CD⊥BC; 又因 AB⊥平面 BCD, 所以 AB⊥BC、 AB⊥BD; 所以三棱锥 A-BCD 的四个面都是直角三角形。因 BC=CD=2,故 BD= 2 2 ; 又∠ADB = 450,故 BD=AB= 2 2 ,AC= ………………………………………………3 分 ………………………4

AB2 ? BC2 ? 8 ? 4 ? 2 3 ,所以:

1 1 1 1 AB ? BC ? BC ? CD ? AB ? BD ? AC ? CD 2 2 2 2 1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 3 ? 2 ? 6 ? 2 2 ? 2 3 ????8分 2 2 2 2 S表 ? S ?ABC ? S ?BCD ? S ?ABD ? S ?ACD ?
(3)解:因 EF⊥平面 ABC,BE 在面 BCD 内,所以,EF⊥BE, 又因 E,F 分别是 AC,CD 的中点,所以 EF ? 的中线, 所以 S ?ABE ?

1 CD ? 1 ,又 AB⊥BC,因此 BE 是△ABC 2

1 1 1 S ?ABC ? ? 2 2 ? 2 , BE ? AC ? 3 ,所以: 2 2 2

S?BEF ?

1 1 3 EF ? BE ? ?1? 3 ? ,设 A 到面 BEF 的距离为 h, 因 EF⊥平面 ABC, 2 2 2
高三年级文科数学答案 第 3 页(共 7 页)

根据 VA? BEF ? VF ? ABE ,所以 S ?BEF ? h ?

1 3

1 S ? EF S ?ABE ? EF , h ? ?ABE ? 3 S?BEF

2 ?1 2 6 ? 3 3 2

所以,A 到面 BEF 的距离为 19. (本小题满分 14 分)

2 6 3

……………………………14 分

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 2S n . (1)求 a 2 , a3 , a 4 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)设 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

a ? 2 S 2 ? 6 , a 4 ? 2 S 3 ? 18 , 解: (1)∵ a1 ? 1 ,∴ a 2 ? 2a1 ? 2 , 3
(2)∵ ∴

……3分

a n ?1 ? 2 S n ,∴ a n ? 2 S n ?1 (n ≥ 2) ,

a n ?1 ? a n ? 2a n , an ?1 ? 3 (n ≥ 2) an
a2 ? 2 ,∴数列 ?an ? 自第2项起是公比为3的等比数列, a1
…………………6分



∴ an ? ?

?1(n ? 1) ?2 ? 3
n?2

(n ≥ 2) ?1



………………………………………………………8分

(3)∵ bn ? nan ,∴ bn ? ?

(n ? 1)
n?2

? 2n ? 3

(n ≥ 2)



……………………………………10分



Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 30 ? 2 ? 3 ? 31 ? 2 ? 4 ? 32 ? ?? 2 ? n ? 3n?2 ,

① ② ………12分

3Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 31 ? 2 ? 3 ? 32 ? 2 ? 4 ? 33 ? ? ? 2 ? n ? 3n?1
①-②得

?2Tn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 30 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ?? 2 ? 3n?2 ? 2 ? n ? 3n?1
? 2 ? 2 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?2 ? ? 2n ? 3n?1 (1 ? 2n) ? 3n?1 ? 1 =


1 1 Tn ? (n ? ) ? 3n?1 ? 2 2.

………………………………………………………14 分
第 4 页(共 7 页)

高三年级文科数学答案

20. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( x, y ? 4), b ? (kx, y ? 4) ( k ? R ) , a ? b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 T. (1)求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状; (2)当 k ? 1 时,已知 O (0, 0) 、 E (2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q : Q 是轨迹 T 内部的整点 (平面内横、 纵坐标均为整数的点称为整点) , 且△OEQ 的面积 S?OEQ ? 2 ? 若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由. 解: (1)∵ a ? b ∴ a?b ? ( x, y ? 4)(kx, y ? 4) ? 0 得 kx2 ? y 2 ?16 ? 0 即 kx2 ? y 2 ? 16 …………………………………………2 分

?

?

?

?

?

?

?? ?

当 k ? 0 时,方程表示两条与 x 轴平行的直线; (答方程表示两条直线不扣 分) ……………………………………………………3 分 当 k ? 1 时,方程表示以原点为圆心,4 为半径的圆;(答方程表示圆不扣分) ……4 分 当 k ? 0 且 k ? 1 时,方程表示椭圆;…………………5 分 当 k ? 0 时,方程表示双曲线. ………………………6 分 (2) 由 (1) 知, 当 k ? 1 时, 轨迹 T 的方程为:x2 ? y 2 ? 42 . 连结 OE,易知轨迹 T 上有两个点 A (?4, 0) ,B (4, 0) 满足 B 作直线 OE 的两条平行线 l1 、 S?OEA ? S?OEB ? 2 ,分别过 A、 l2 . ∵同底等高的两个三角形的面积相等 ∴符合条件的点均在直线 l1 、 l2 上. …………………7 分 ∵ kOE ?

1 2

∴ 直 线 l1 、 l2 的 方 程 分 别 为 : y ?

1 ( x ? 4) 、 2

y?

1 ( x ? 4) 2

…………………………………………………………………8 分
2 2

设点 Q( x, y ) ( x, y ? Z )∵ Q 在轨迹 T 内,∴ x ? y ? 16 ……………………9 分

? x 2 ? y 2 ? 16 ? x 2 ? y 2 ? 16 ? 分别解 ? 与? ? 1 1 ? y ? ( x ? 4) ? y ? ( x ? 4) ? 2 ? 2

得 ?4 ? x ? 2

2 2 与 ?2 ? x ? 4 5 5

∵ x, y ? Z ∴ x 为偶数,在 ( ?4, 2 ) 上 x ? ?2,,0, 2 ,对应的 y ? 1, 2,3 在 ( ?2

2 5

2 , 4) 上 x ? ?2, 0, 2 ,对应的 y ? ?3, ?2, ?1 …………………………………13 分 5

∴满足条件的点 Q 存在,共有 6 个,它们的坐标分别为:

高三年级文科数学答案

第 5 页(共 7 页)

(?2,1),(0, 2),(2,3), (?2, ?3),(0, ?2),(2, ?1) .………………………………………14 分
21. (本题满分 14 分)

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图像过原点. 3 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数. 1 a ?1 2 解: f ( x) ? x3 ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? b 3 2 由 f ?(0) ? 0 得 b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .………………………………………………2 分 1 (1) 当 a ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3 所 以 函 数 f ( x) 的 图 像 在 x ? 3 处 的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 3( x ? 3) , 即 ……………………………………………………………………4 分 3x ? y ? 8 ? 0 (2)存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ?1) ? ?9 ,
已知函数 f ( x) ?

?a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? ( ? x ) ? ( ? ) ? 2 ( ? x) ? ( ? ) ? 6 , a ? ? 7 , x x x
………………9 分

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (3)当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(??, 0)

0
0
极大值

(??, a ? 1)

a ?1
0
极小值

(a ? 1, ??)

?
?

?
?

?
?

……………………………………………………………………………11 分

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 , f ( x) 的极小值

1 1? 1 1? f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? )2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ? a ?

14 3 1 ? 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 2 3 ? 2 ?
高三年级文科数学答案 第 6 页(共 7 页)

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, ( a ? 1)) 内各有一个零点, 故函数 f ( x) 共有三个零点。 ……………………………………………………14 分

3 2

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) 也可这样进行: 6 1 1 1 1 设 g (a) ? a ? (a ? 1)3 ? ? (a 3 ? 3a 2 ? 6a ? 1) , 则 g ?(a) ? ? (3a 2 ? 6a ? 6) ? ? (a ? 3)(a ? 1) 6 6 6 2
注:①证明 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? 当 0 ? a ? 1 时, g ?(a) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?(a) ? 0 ,函数 g (a ) 在区间 ? 0,1? 上是增函数,在 区 间 ?1, ?? ? 上 是 减 函 数 , 故 函 数 g (a ) 在 区 间

? 0, ???

上 的 最 大 值 为

1 1 1 g (1) ? 1 ? (1 ? 1)3 ? ? ? 0 ,从而 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) . 6 3 6
②证明函数 f ( x) 共有三个零点。也可这样进行:

1 1? 1 1? f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? )2 ? ? ? 0 , 6 6? 2 4?
当 x 无限减小时, f ( x) 无限趋于 ??; 当 x 无限增大时, f ( x) 无限趋于 ??. 故函数 f ( x) 在区间 ? ??,0? ,(0, a ?1),(a ?1, ??) 内各有一个零点, 故函数 f ( x) 共有三个零点。 ……………………………………………………14 分

高三年级文科数学答案

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