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2016年安徽数学竞赛试题(初赛)



2016 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2016 年 7 月 2 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 设 3a 2 + (a + b + c) 2 ,则 sin3 x + cos3 x = 2. 设 i 是

虚数单位,化简(i+1)2016+(i-1)2016= 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器. 一 二 9 10 11 12 总分

. .

3. 已知等差数列 a1,a2,…,a100 的前 100 项之和为 100,最后 100 项之和为 1000,则 a1 = .

4. 集合 { 其中[x]表示不超过 [ x] + [2x] + [3x]| x ? R}I { 1,2,…,100}共有_______个元素, x 的最大整数. 5. 若关于 x 的方程 x=aex 恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是_____________. 6. 如图所示的单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 设 O 是正方形
1 ABCD 的中心,点 M,N 分别在棱 A1D1,CC1 上,A1M= , 2

M A1

D1

C1 B1 N

2 CN= ,则四面体 OMNB1 的体积等于 3

. A

D

O B

C

7. 已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心点为焦点,P 经过 E 的两个焦点,并且 P 与 E 恰有 三个交点,则的离心率等于________________. 8. 等可能地随机产生一个正整数 x 渭 1,2, ,2016},则 x 在二进制下的各位数字之和 { 不超过 8 的概率等于 .

二、解答题(第 9—10 题 20 分,每题 21 分,第 11—12 题,每题 22 分,共 86 分) 9. 已知数列 an 满足设正实数 a , b 满足
2 2an - 1 - 3an- 1 - 9 a0 = 1, a1 = 5, an = , n ≥2. 2an- 2

用数学归纳法证明: a0 = 2n+ 2 - 3 .
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10. ΔABC 的内切圆与三边相切于点 D,E,F.证明:ΔABC 与 ΔDEF 相似当且仅当 ΔABC 是正三角形.

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11. 证明:对任意实数 a,b,c 都有

a2 + ab + b2 + a2 + ac + c2 ≥ 3a 2 + (a + b + c) 2 .
并求等号成立的充分必要条件.

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12. 求满足 1≤mn-nm≤mn 的所有正整数对(m,n).

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