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江苏省数学竞赛提优教案:第08讲 几个基本初等函数(新)



第 8 讲 几个基本初等函数 本节主要内容有指数和对数的运算,幂函数 y= x 、指数函数 y ? a ( a ? 0, a ? 1 )和 n x 对数函数 y ? log a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,指数方程和对数方程,指数不等式和对数不等式等. A 类例题 例1 解不等式 1 3 ?2 ? . log 1 x 2 2 解 1 3 1 3 1 3 ?

2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 log 1 x 2 2 2 2 即 1 1 1 7 ?? 或 ?? , log 1 x 2 log 1 x 2 2 2 所以 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ? 2 2 2 ? log 1 x ? 0 . 2 7 所以 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即不等式 2 1 3 ? 2 ? 的解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . log 1 x 2 2 2 例 2 设 log2log1log x=log3log1log x=log5log1log z=0,则( 2 3 5 2 3 5 A.x<y<z B.z<x<y C.y<z<x D.z<y<x ) (1998 年江苏省数学夏令营数学竞赛) 分析 通过解三个对数方程,求出 x、y、z,再比较三个数得大小。 解 log2log1log x=0,? log1log x=1, 2 2 2 2 ? log 2 x= ,?x= 1 2 4 2= 60 2 ; 15 log3log1log x=0,? log1log x=1, 3 3 3 3 ? log 3 x= ,?y= 3= 1 3 6 60 3 ; 10 log5log1log z=0,? log1log z=1, 5 5 5 5 ? log 5 z= ,?z= 1 5 10 5= 60 5, 6 ∵ 2 <3 ,?2 <3 .?x<y. 3 2 15 10 ∵ 2 >5 ,?2 >5 ,?z<x. 5 2 15 6 ∴ z<x<y,选 B. 说明 涉及到指数和对数的大小比较, 常用的方法: 一是通过转化为同底、 同指数或同真数, 利用函数得单调性加以判断;二是利用中间量加以传递。 例 3 已知函数 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 )的反函数是 y ? f x ?1 ?1 ( x) ,而且函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称. (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若函数 F ( x) ? f ?1 ( x) ? g (? x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,求 a 的取值范围. (2004 年天津数学竞赛) 解 (1)由 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 ) ,得 f x ?1 ( x) ? log a ( x ? 3a ) 又 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? f ?1 ( x) 的 图 象 关 于 点 (a,0) 对 称 , 则 g (a ? x) ? ? f ?1 (a ? x) ,于是, ?1 g ( x) ? ? f ( x ? ?a ) (2a ? x) ? ? log a (? x ? a ) . ?1 (2)由(1)


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