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2017届人教A版 几何概型 圆梦优化测试 (1)



2017 版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 第 3 讲 几何概型练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:35 分钟) 一、选择题 1.在区间?-

?

π π? 1 , 上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2? 2 B. 2 π 1 C. 2 2 D. 3

/>
)

1 A. 3 解析

1 π π π π 若 cos x ∈ ?0, ? , x ∈ ?- , ? ,利用三角函数性质解得 x∈ ?- ,- ? ∪ 2 2 2 2 3? ? ? ? ? ?

?π ,π ?,在?-π ,π ?上随机取一个数是等可能的,结合几何概型的概率公式可得所求概 ?3 2? ? 2 2?
π π? - ?2 3? 1 率为 P= = . π ? π? 3 - - 2 ? 2? 答案 A
2

2×?

2.(2016·东北三省三校联考)实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x -mx+4=0 有实 根的概率为( 1 A. 4 解析
2

) 1 B. 3
2

1 C. 2

2 D. 3

方程 x -mx+4=0 有实根,则 Δ =m -4×4≥0,∴m≥4 或 m≤-4,又 m∈[0,6],
2

∴4≤m≤6,∴关于 x 的方程 x -mx+4=0 有实根的概率为 答案 B

6 -4 1 = .故选 B. 6 -0 3

3.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该 矩形面积大于 20 cm 的概率为( 1 A. 6 解析 1 B. 3
2

) 2 C. 3 4 D. 5
2

设 AC=x cm,0<x<12,则 CB=(12-x)cm,要使矩形面积大于 20 cm ,只要 x(12- 10-2 2 = . 12 3

x)>20,则 x2-12x+20<0,解得 2<x<10,所求概率为 P=
答案 C

4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC =1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

1

π A. 2

π B. 4

π C. 6

D.

π 8

解析 答案

1 2 π ×1 2 阴影面积 π 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A,则 P(A)= = = . 长方形面积 1 ×2 4 B

5.(2016·武汉部分学校质检)如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角 三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛 撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( 1 A. 17 B. D. 解析 2 17 4 17 C. ) 3 17

∵大正方形的面积是 34,∴大正方形的边长是 34,由直角三角形的较短边长为 3,

得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3,则小正方形边长为 2,面积为 4,∴小花朵落 在小正方形内的概率为 P= 答案 B 4 2 = .故选 B. 34 17

二、填空题 6.如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部 分,据此估计阴影部分的面积为________. 解析 设阴影部分的面积为 S,由题意知 答案 0.18 5 7.在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m=________. 6 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 当 m≤2 时,由题意得 2m 5 = ,解得 m=2.5,矛盾,舍去. 6 6

S

S正方形



180 ,解得 S=0.18. 1 000

当 2<m<4 时,由题意得 即 m 的值为 3. 答案 3

m-(-2) 5
6

= ,解得 m=3. 6

8.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的 椭圆的概率是________. 解析 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴影部分
2

x2 y2 m n

x2 y2 m n

1 的概率即为所求的概率,易知直线 m=n 恰好将矩形平分,∴所求的概率为 P= . 2 答案 1 2

9.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率为________. 解析 ∵y=e 与 y=ln x 互为反函数,故直线 y=x 两侧的阴影部分面 积相等,只需计算其中一部分即可.
1

x

如图,S1=? e dx=e
1

x

x

?0

| 0=e1-e0=e-1.

∴S 总阴影=2S 阴影=2(e×1-S1)=2[e-(e-1)]=2, 2 故所求概率为 P= 2. e 答案 2 2 e

三、解答题 10.设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0.若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间 [0,2]任取的一个数,求方程有实根的概率. 解 设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”.当 a≥0,b≥0 时,方程 x +2ax+b =0 有实 根的充要条件为 a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事 件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根据条件画出构成的区域(略),可得所求 1 2 3×2- ×2 2 2 的概率为 P(A)= = . 3×2 3 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
2 2 2 2 2 2

x 11.(2016·辽宁五校联考)设 k 是一个正整数,已知?1+ ? 的展开式中 ? k?
第四项的系数为 1 2 ,函数 y=x 与 y=kx 的图象所围成的区域如图中阴 16

k

影部分所示,任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好落在阴 影部分内的概率为( 17 A. 96 解析 ) B. 5 32 1 C. 6 7 D. 48

1 31 由题意得 Ck 3= ,解得 k=4. k 16
4 2

? 2 阴影部分的面积 S1=? (4x-x )dx=?2x - ? ?0

1 3?? 32 x 0= ,∵任取 x∈[0,4],y∈[0,16], 3 ?? ? 3
3

4

∴以 x、y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积 S2=4×16=64,所以所求概率 P= 1 = ,故选 C. 6 答案 12. C

S1 S2

如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. )

在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( 1 1 A. - 2 π 2 C.1- π 解析 如图,设 OA=2,S B. D. 1 π 2 π 1 1 =π ,S△OCD= ×1×1= ,S 2 2

扇形 AOB

扇形 OCD



π ,∴在 4

以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= 为π -2.故所求概率

π 1 π -2? - ?=1,所有阴影面积 2 ? 4 2?

P=

π -2 2 =1- . π π C

答案

13.张先生订了一份报纸,送报人在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到他家,张先生离开家去 上 班 的 时 间 在 早 上 7 : 00 ~ 8 : 00 之 间 , 则 张 先 生在 离 开 家 之 前 能 得 到 报 纸 的 概 率 是 ________. 解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间,以纵坐标 y 表示张先生离家时

间,建立平面直角坐标系,因为随机试验落在正方形区域内任何一点是 等可能的,所以符合几何概型的条件 . 根据题意只要点落到阴影部分, 就表示张先生在离开家前能得到报纸,即所求事件 A 发生,所以 P(A)= 1 1 1 1×1- × × 2 2 2 7 = . 1×1 8 答案 7 8

14.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a·b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a·b<0 的概率. 解 (1) 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=

36(个);由 a·b =-1 有-2x+y=-1,所以满足 a·b =-1 的基本事件为(1,1),(2, 3),(3,5),共 3 个;故满足 a·b=-1 的概率为 3 1 = . 36 12
4

(2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω = {(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且- 2x+y<0};画出图形如图,正方形的面积为 S 正方形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 故满足 a·b<0 的概率为 21 . 25

5



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