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吉林省实验中学2018届高三上学期第五次月考(一模)数学(理)试题


吉林省实验中学 2018 届高三年级第一次模拟(第五次月考)考试

数 学 试 题(理科)
第Ⅰ卷
一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,
只有 一项是符合题目要求的. ) (1)若集合 M ? ? x y ? lg

? ?

2? x? ?, N ? ?x x ? 1?,则 M ? N ? x ?
(C) ?1,2 ? (D) ? ??,1?

(A) (0,2)

(B) ? 0,1?

(2)在复平面内,复数 z ? (A)

2 5 5 (3)下列命题中,为真命题的是

2i 的共轭复数的模为 ?1 ? 2i 5 (B) (C) 5 (D) 2 5 5
x0

(A) ?x0 ? R ,使得 e (B) sin x ?

? 0.

1 ? 2(x ? k ? , k ? Z) . sin x

(C) ?x ? R, 2x ? x2 . (D)若命题 p :?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,
2
2 则 ? p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 .

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 T= (A)29 (B)44 (C)52

(D)62

(5)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 8, S8 ? 20 ,则 a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? (A)12
0.3

(B)8
?0.9

(C) 20

(D)16

?1? (6)已知 a ? 4 , b ? ? ? ?2?
(A) a ? b ? c (7)若 S1 ?

, c ? 2 log6 2 则 a, b, c 的大小关系是 (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

(B) c ? a ? b
2

?

2

1

x 2 dx, S 2 ? ?

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1 , S 2 , S3 的大小关系 1 x

(A) S1 ? S 2 ? S3 (C) S 2 ? S3 ? S1

(B) S 2 ? S1 ? S3 (D) S3 ? S 2 ? S1

-1-

?x ? 2 ? 0 ? (8)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3 (B)4
2

(C)18

(D)40

(9)设函数 f (x) ? e x ? (A) ? ,1?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 x ?2

?1 ? ?3 ?

(B) ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

(C) ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

(D) ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

(10)若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,准线是 l ,点 M ( 4,m) 是抛物线上一点,则经过点 F 、 M 且与 l 相切的圆共 (A ) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 4 个

( 11 )在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , AA 1 ? 4, AB ? BC ? 2 ,动点 P, Q 分别在线段

C1D, AC 上,则线段 PQ 长度的最小值是
(A )
(12) 已知

2 2 3

(B)

2 3 3

(C)

4 3

(D)

2 5 3

f (x) ? e x ? ax 有两个零点 x1 ? x2 ,下列说法正确的是
(B) x1 ? x2 ? 2 (D)有极小值 x0 且 x1 ? x2 ? 2 x0

(A) a ? e (C) x1 ? x2 ? 1

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
(13) 若双曲线 等于 (14)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ?

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线上, 且 PF 则 PF2 ? ? 1 的左、 1 ? 3, 25 16

?
4

)?

1 ,则 2 sin ? ? cos ? ? ________ 2

(15) ? ?2,2? 上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆 ( x - 5)2 + y 2 = 9 相交”发生的概 率为

-2-

(16)已知 O 是 ?ABC 外心,若 AO ? 则 cos ?BAC ?

????

? 1 ???? 2 ??? AB ? AC , 5 4

三、解答题: (本大题共 6 小题,其中 17-21 小题为必考题,每小题 12 分;第 22—23 题为
选考题,考生根据要求做答,每题 10 分) (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S, 已知 a cos2
C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

(Ⅰ)求证:a、b、c 成等差数列; (Ⅱ)若 B ?

?
3

, S ? 8 3 ,求 b.

(18) (本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上, AB / / EF ,矩形 ABCD 和 圆 O 所在的平面互相垂直,已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ? .

-3-

(19) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)数列 ?bn ? 满足 bn ? 3n ? 1 ? 若不等式 ? ?1? ? ? Tn ?
n

an n? N* . an ? 3

?

?

?

?

n ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 2n

n 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围. 2n ?1

(20) (本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) 的离心率为 , 过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 2 a b 2

2.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A, B ,点 P 是直线 x ? 2 上的动点,直线 PA 与椭 圆另一交点为 M ,直线 PB 与椭圆另一交点为 N .求证:直线 MN 经过一定点.

-4-

(21) (本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? lnx ? ax .

(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当函数 f (x) 有两个不相等的零点 x1 ,x2 时,证明:

x1 ? x2 ? e2 .

请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? 在极坐标系中,设圆 C1 : ?=4 cos? 与直线 l :?=4 (?∈R)交于 A, B 两点. (Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 任取一点 M ,在圆 C2 上任取一点 N ,求 MN 的最大值. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ?1 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 3t ? 2t 在 0,1 上无解,求实数 t 的取值范围.
2

? ?

-5-

吉林省实验中学 2018 届高三年级第一次模拟(第五次月考)考试

数 学 试 题(理科)答案
一. BADA,CBBC, ADCB 二.13. 13 14.
? 10 10

15.

3 8

16.

1 2

三.17. 【解】 (Ⅰ)由正弦定理得: sin A cos2
C A 3 ? sin C cos2 ? sin B 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3 即 sin A ? sin C ? sin B 2 2 2 ∴ sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3sin B 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∵ sin( A ? C ) ? sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 即 a ? c ? 2b ∴ a , b, c 成等差数列。

1 3 ac ? 8 3 (Ⅱ)∵ S ? ac sin B ? ∴ ac ? 32 2 4 又 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ? ac ? (a+c)2 ? 3ac 由(Ⅰ)得: a ? c ? 2b

∴b ? 4 2 18. (Ⅰ)∵平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB ,∴ CB ? 平面 ABEF , ∵ AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ? CB , 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AF ? BF ,∴ AF ? 平面 CBF , ∵ AF ? 平面 ADF ,∴平面 DAF ? 平面 CBF

(Ⅱ) 设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA、OG、AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立 空间直角坐标系(如图) .设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 ?1,0, t ? ,则 C ? ?1, 0,t ? ,又

?1 3 ? A ?1, 0, 0 ? , B ? ?1, 0, 0 ? , F ? ? 2 , 2 ,0? ? ,∴ ? ?



-6-

设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则

2x ? 0
,即 {

?

, 3 y ? tz ? 0 2

令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t . ∴ n1 ? 0, 2t , 3 . 由(1)可知 AF ? 平面 CFB ,取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? ? ? ?

?

?

? 1 3 ? , ,0? ?, 2 2 ? ?

∴ cos600 ?

n1· n2 n1 n2

,即

1 ? 2

3t 4t ? 3
2

,解得 t ?

6 , 4

因此,当 AD 的长为

6 时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60°。 4 an ? n ? N *? , an ? 3

19. (Ⅰ)证明:由 an ?1 ?



a ?3 3 1 ? n ? ?1, an ?1 an an

?

? 1 1? 1 1 ? ? 3? ? ? an ?1 2 ? an 2 ?
? 1 1? 3 ? 1 1? ? ? 是以 3 为公比,以 ? ? ? ? 为首项的等比数列, ? a1 2 ? 2 ? an 2 ?

所以数列 ?

从而

1 1 3 n?1 2 ; ? ? ? 3 ? an ? n an 2 2 3 ?1
n 2 n ?1

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 两式相减得 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n ?1 2 2 n ? ? ?1? ? ? 4 ? n ?1 2 Tn ? 1?

-7-

2 ,? ? ? 3 2n ?1 2 若 n 为奇数,则??? ? 4 ? n ?1 ,??? 2,? ? ? 2 2 ??2 ? ? ? 3
若 n 为偶数,则? ? ? 4 ?

20. (Ⅰ)

x2 y 2 ? ?1 16 4

(Ⅱ)过定点 ?8,0 ? 21. (Ⅰ)当 a ? 0 时, f (x) 在 ? 0,?? ? 单调递增;
? 1? ?1 ? 当 a ? 0 时, f (x) 在 ? 0, ? 单调递减; f (x) 在 ? , ?? ? 单调递增; ? a? ?a ?
? ln x ? ax1 (Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ? 0 ,由题意得 ? 1 ?ln x2 ? ax2
ln x1 ? ln x2 ,要证 x1 x2 ? e2 ,只需证 ln x1 ? ln x2 ? 2 x1 ? x2
ln x1 ? ln x2 2(x ? x ) (x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证 ln x1 ? ln x2 ? 1 2 x1 ? x2 x1 ? x2

相加,相减得: a ?

ln x1 ? ln x2 = a(x1 ? x2 ) =

只需证 ln

x1 ? x2

2(

x1 ?1) x x2 2(t ? 1 ) ,设 1 ? t (t ? 1 ) ,只需证 lnt ? ?0 x1 x2 t ?1 ?1 x2

设 g(t) ? lnt ?

(t ? 1 )2 2(t ? 1 ) ? 0 , g(t) ? g( 1 ) ? 0 ,所以原命题成立。 ,则 g ' (t) ? t(t ? 1 )2 t ?1

22. (Ⅰ) 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得 圆 C1 的直角坐标方程 x2+y2-4x=0, 直线 l 的直角坐标方程 y=x. ?x2+y2-4x=0, ?x=0, ?x=2, 由? 解得? 或 ? ?y=x, ?y=0, ?y=2. 所以 A(0,0),B(2,2). 从而圆 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即 x2+y2=2x+2y.

-8-

将其化为极坐标方程为:?2-2?(cos?+sin?)=0,即?=2(cos?+sin?). (Ⅱ)∵ C1 (2,0), r1 ? 2, C2 (1,1), r2 ? 2, ∴ | MN |最大值 ?| C1C2 | ?2 ? 2 ? 2 2 ? 2 . 23. (Ⅰ) ? ??,0? ? ? 2,?? ?
1? ? (Ⅱ) ? ?? , ? ? ?1, ?? ? 2? ?

-9-


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