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有关导数与积分的经典考试题


数学选修 2~2 第一章《导数及其应用》测试题
姓名
一、选择题: 1.已知函数 f ( x) 在区间(a,b)内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim
h ?0

成绩
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) = ( h
D. 0 ( D.y=4x-5 ( B.极大值一定是最大值 D.最大值一定大于极小值 ) ) )

A. f ' ( x0 )
3 2

B. 2 f ' ( x 0 )

C. ? 2 f ' ( x0 )

2.曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3

3.函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上 A.极大值一定比极小值大 C.最大值一定是极大值 4.设 f ( x) ? x ? x ,则
3

?

2 ?2

f ( x) dx 的值等于
2 0 2 0





A. 0
2

B. 8

C.

?

f ( x)dx

D. 2

?

f ( x)dx
( )

5. 由抛物线 y ? x 和直线 x=1 所围成的图形的面积等于

A.1

B.

4 3

C.

2 3

D.

1 3
( )

6. 如图,阴影部分的面积是 A. 2 3 C.
a

B. 9 ? 2 3 D.

32 3
x

35 3
第6题

7. 若 ? (2 x ? 1 )dx ? 3 ? ln 2 ,且 a>1,则 a 的值为
1





A.6 8.

B.4

C.3

D.2 ( )

? ?e
1 0

x

? e -x dx ?

?

A. e ?

1 e

B.2e

C.

2 e

D. e ?

1 e
( )

7.由曲线 y ? e x , x ? 0, y ? 2 所围成的曲边梯形的面积为 A.

?

2 1

ln ydy

B.

?

e2 0

e x dy

C.

?

ln 2 1

ln ydy

D.

? ?2 ? e ?dx
2 x 1

8.设函数 f ( x) 在定义域内可导,f ( x) 的图象如图 1 所示, 则导函数 af ' ( x)(a ? 0) 可能为 ( y y y y y

) .

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1
9.设 f ( x ) ? ? A.

A

B

C

D

? x2

(0 ? x ? 1)

? 2 ? x (1 ? x ? 2)



?

2 0

f ( x ) dx =





3 4 5 B. C. D.不存在 4 5 6 10.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10cm , 为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm , 则力所做的功为 (
A. 0.28 J B. 0.26 J C. 0.18 J D. 0.12 J

) .

11. 求由 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积时, 若选择x为积分变量, 则积分区间为 (



A. [0, e 2 ] B. [0,2] C. [1,2] D. [0,1] 12. f ( x) , g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ' ( x) g ( x) - f ( x) g ' ( x) ? 0 , 且 g (?3) ? 0 , 则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(0,3) ( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 由 y ? cos x 及 x 轴 围 成 的 介 于 0 与 2 π 之 间 的 平 面 图 形 的 面 积 , 利 用 定 积 分 应 表 达 为 .
2

14. 某物体做直线运动,其运动规律是 s=t + 瞬时速度为 15. 设函数 y ? 16. 若 S1 ? .

3 ( t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在 4 秒末的 t

?

x 0

(1 ? t )dt 有极值,则极值点为
2

.

?

2

1

x 2 dx , S 2 ? ?
2

1

2 1 dx , S 3 ? ? e x dx ,则 S1,S2,S3 的大小关系是 1 x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.求由两抛物线 y ? 8 ? x , y ? x 所围成的图形的面积.
2

18. 求定积分: (1)

?

3

?3

| 3 ? 2 x |dx ;

(2)

?

2

?2

max{ x, x 2 }dx

19.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,在 x ? 1与 x ? ?2 时,都取得极值.
3 2

(1)求 a , b 的值; (2)若 x ?[-3,2]都有 f ( x) >

1 1 ? 恒成立,求 c 的取值范围. c 2

20. 一辆作变速直线运动的汽车开始以速度 (1)t=4s 时的位移(2)t=4s 时的运动路程。

V(t)= t - 4t ? 3 运动,求
2

21.一列火车在平直的铁轨上匀速行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度 v(t ) ? 5 ? t ? 位: m / s )紧急刹车至停止.求: (1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了多少米?

55 (单 1? t

22. 若函数 f ( x) , g ( x) 在定义域 (?1,1) 内皆可导, g ( x) 为偶函数, f ( x) ? x ? g ( x) ,又当

0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 且 g ' ( x) ? 0 .
(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性和单调性; (2)解不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 .
2

数学选修 2~2 第一章《导数及其应用》测试题 参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

题号 答案

1 B

2 B

3 D

4 A

5 D

6 D

7 A

8 C

9 C

10 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 3x ? y ? 11 ? 0

125 12. 16

13. x ? 1

14.

2?

2 0

( 2 x ? x 3 )dx

,2

?

2 2 0

(3 y ?

1 y )dy 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
3 2 2

∵ f ( x) 在 x ? 1与 x ? ?2 时,都取得极值, ∴ f ' (1) ? f ' (?2) ? 0 从而有 ?

?3 ? 2a ? b ? 0, ?3 ? (?2) ? 2a ? (?2) ? b ? 0,
2

解得 a ?

3 , b ? ?6 . 2

(2)由(1)得, f ( x) ? x ?
3

3 2 x ? 6 x ? c , f ' ( x) ? 3 x 2 ? 3 x ? 6 . 2

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? 1.

7 9 f (?2) ? 10 ? c , f (1) ? ? ? c , f (?3) ? ? c , f (2) ? 2 ? c , 2 2 7 ∴ f ( x) min ? f (1) ? ? ? c , 2
∴?

3 ? 13 3 ? 13 7 1 1 ? c ? 0 或c ? . ? c ? ? , 解得 2 2 2 c 2

21.(本小题满分 12 分) 解: (1)当火车的速度 v ? 0 时火车完全停止,即 5 ? t ? ∴ t ? 4t ? 60 ? 0 ,
2

55 ? 0, 1? t

解得 t ? 10( s) 或 t ? ?6( s) (舍去).

即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为 10s . (2)由(1)知从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为 10s ,

又由火车的速度 v(t ) ? 5 ? t ?

55 得,火车正常行驶的速度 v ? v(0) ? 60(m / s) . 1? t

∴火车正常运行的路程与紧急刹车后火车运行的路程之差为

60 ? 10 ? ?

10 0

(5 ? t ?

55 t2 )dt ? 600 ? [5t ? ? 55 ln(t ? 1)]10 0 ? 600 ? 55 ln 11 , 1? t 2

即紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了 600 ? 55 ln 11 米. 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ g ( x) 为偶函数, 又∵ f ( x) ? x ? g ( x) , ∴ f (? x) ? (? x) ? g (? x) ? ? x ? g ( x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 为奇函数. ∵ f ( x) ? x ? g ( x ) , ∴ f ' ( x) ? g ( x) ? xg' ( x) . ∵当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 且 g ' ( x) ? 0 , ∴ f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数. 又 f ( x) 为奇函数,且 f (0) ? 0 , ∴ f ( x) 在区间 (?1,1) 上为增函数. (2)∵ f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 ,且 f ( x) 为奇函数,
2

∴ g (? x) ? g ( x) .

∴ f (1 ? m) ? ? f (1 ? m ) ? f (m ? 1) ,
2 2

又∵ f ( x) 在区间 (?1,1) 上为增函数,

?? 1 ? 1 ? m ? 1, ? ∴ ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1, ? 2 ?1 ? m ? m ? 1,
∴ 0 ? m ? 1.

?0 ? m ? 2, ? 即 ?0 ? m 2 ? 2, ? 2 ?m ? m ? 2 ? 0,

?0 ? m ? 2, ? 即 ?? 2 ? m ? 2且m ? 0, ?? 2 ? m ? 1, ?


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