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2015理科数学暑假作业 含答案



2015 理科数学暑假作业 1 一. 复数 1.已知集合 M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数 z=
A.-2i
【答案】C

( D.4i



B.2i

C.-4i

2.若复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为
A. 2 ? i
【答案】D





B. 2 ? i

C. 5 ? i

D. 5 ? i

3. 若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是
A.

( D.



? 2, 4 ?
1 模为 i ?1

B.

? 2, ?4?

C.

? 4, ?2?

? 4, 2 ?
( )

【答案】C

4. 复数的 Z ?
A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】B

5. 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是
x

A B
A. A
【答案】B

C O
y

D
( B. B C. C D. D )

6. 1+ 3i ?
A. ? 8
【答案】A

?

?

3

( B. 8 C. ? 8 i D. 8i



7. 设 m ? R , m2 ? m ? 2 ? (m2 ?1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________
【答案】 m ? ?2 .

8. 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = ______. 【答案】 1 ? 2i

二. 线性规划

?x ? y ? 2 ? 0 ? 1. 设变量 x 、y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小 ?y ?1 ?

值为 A. 2 【答案】B

B. 3

C. 4
? ?x+y-2=0, ?y=1, ?

D. 5
? ?x=1, ?y=1, ?

【解析】画出可行域,如图所示.解方程组? 即点 A(1,1).

得?

当目标函数线过可行域内 A 点时,目标函数有最小值,即 zmin=1 ×1+2×1=3.
?x ? y ? 2 ? 0 ? 2. x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

唯一,则实数 a 的值为 (A) 或 ?1 【答案】D 【解析】可行域如右图所示,z ? y ? ax 可化为 y ? ax ? z ,由题意知 a ? 2 或 ?1 3. 已 知 x,y 满 足 的 约 束 条 件 ?
?x - y - 1 ? 0, 当 目 标 函 数 ?2x - y - 3 ? 0,
1 2

(B) 2 或

1 2

(C) 2 或1

(D) 2 或 ? 1

z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约束条件下取得最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小

值为 (A) 5 【答案】B
?x ? y ?1 ? 0 求得交点为 ? 2,1? ,则 2a ? b ? 2 5 ,即圆心 ? 0, 0 ? 到 ? 2x ? y ? 3 ? 0 ? 【解析】

(B) 4

(C) 5

(D) 2

直线 2a ? b ? 2 5 ? 0 的距

?2 5? 2 离的平方 ? ? 5 ? ? ? 2 ? 4。 ? ?

2

? x? y?2?0 ? 4. 若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为-4, 则 k 的值为 ( ? y?0 ?
A.2 B. ? 2



C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】D 【解析】由约束条件 作出可行域如图,

由 kx﹣y+2=0,得 x=

,∴B(﹣

) .由 z=y﹣x 得 y=x+z. )时直线在 y 轴上的截距最小,

由图可知,当直线 y=x+z 过 B(﹣ 即 z 最小. 此时

,解得:k=﹣ .故选:D

三.计数原理
1.有 6 名男医生 5 名女医生,从中选出 2 名男医生 1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的 选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种

【答案】C
2. 把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不
同的摆法有________种.

【答案】 .36
3.在 8 张奖券中有一二三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答)

【答案】 .60 5 1 2 3 ? 4. ? ?2x-2y? 的展开式中 x y 的系数是( A.-20 B.-5 C.5 D.20 【答案】 .A

)

a 7 1 2x+ ? 的展开式中 3的系数是 84,则实数 a=( 5. 若二项式? x? ? x 5 A.2 B. 4 C.1 D. 2 4

)

【答案】 .C
6.在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)
+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210

【答案】 .C
四. 三视图 1. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
1
2 2
正视图 侧视图

1 1
俯视图 第 1 题图





A. 4
【答案】B

14 B. 3

16 C. 3

D. 6

2. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. 16 ? 8? 【答案】A

B. 8 ? 8?

C. 16 ? 16?

D. 8 ? 16?

3. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm 2 .
4 3 2 正视图 3 俯视图 (第 3 题图) 侧视图 3

【答案】24

4. 已知某一多面体内接于一个简单组合体 ,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图
所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_______________

【答案】 12?

五.立方体几何
1. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直 线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

D A D1 B

C C1 B1

A1

【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 ,

故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平 面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? DC ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 1 2 2 1 3 1 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 3 2 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 2. 如图 , 在四面体 A ? BCD 中 , AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是

AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC .
0 (1) 证明 : PQ // 平面 BCD ;(2) 若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 , 求 ?BDC 的大

小.
A

M P Q B C (第 20 题图) D

【 答 案 】 解 : 证 明 (Ⅰ) 方法 一 : 如 图 6, 取 MD 的 中 点 F , 且 M 是 AD 中 点 , 所 以

AF ? 3 FD . 因 为 P 是 BM 中 点 , 所 以 PF / / BD ; 又 因 为 (Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD , 所 以 QF / / BD , 所 以 面 PQF / / 面 BDC , 且 PQ ? 面 BDC , 所 以

PQ / / 面 BDC ;

1 MD ;取 CD 的三等 2 1 1 分 点 H , 使 DH ? 3CH , 且 AQ ? 3QC , 所 以 QH / / AD / / MD , 所 以 4 2
方法二:如图 7 所示,取 BD 中点 O ,且 P 是 BM 中点,所以 PO / /

PO / /QH ?

OH ? BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ; 且H PQ / / , O

(Ⅱ) 如 图 8 所 示 , 由 已 知 得 到 面 ADB ? 面 BDC , 过 C 作 CG ? BD 于 G , 所 以 CG ? BMD,过 G 作 GH ? BM 于 H ,连接 CH ,所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的 二面角;由已知得到 BM ? 8 ? 1 ? 3 ,设 ?BDC ? ? ,所以

CD CG CB ? cos ? ,sin ? ? ? ? CD ? 2 2 cos ? , CG ? 2 2 cos ? sin ? , BC ? 2 2 sin ? , BD CD BD
, 在 RT ?BCG 中 , ?BCG ? ? ? sin ? ?

BG ? BG ? 2 2 sin 2 ? , 所以在 RT ?BHG BC

中,

1 2 2 sin 2 ? ,所以在 RT ?CHG 中 ? ? HG ? 3 2 2 sin 2 ? 3 HG

tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3

? tan ? ? 3 ?? ? (0,90? ) ?? ? 60? ??BDC ? 60? ;

3. 如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值.

【答案】



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