2014年自主招生培训讲义10讲第五讲 等式与不等式

第五讲．等式与不等式
知识要求
1.研究等式成立的条件，并进行求值； 2.掌握不等式的解法 3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等

典型例题
1..已知 abc ? ?1 ，

a2 b ? 2 ? 1 ， a2b ? b2c ? c2a ? t ，求 ab5 ? bc5 ? ca5 的值. c c
（2013 年清华大学保送生试题）

相关习题 （1）已知 x2 ? 2 y ? 5 ， y 2 ? 2 x ? 5 ，求 x3 ? 2 x2 y 2 ? y3 的值. （2013 年北约）

2 2 2 2. 若 ? 、 ? 、 ? ? (0, ) ，且 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1.

π 2

求证： tan ? ? tan ? ? tan ? ? 2 2. 相关习题 （1）有小于 1 的正数： x1, x2 , 求证：

（2013 年中国科技大学夏令营）

, xn 满足 x1 ? x2 ?
1 ? 4. 3 xn ? xn

? xn ? 1.
（2010 年浙江大学）

1 1 ? ? 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2

?

2 2 3. 求证：对任意的 x, y ? R ，不等式 x ? xy ? y ? 3( x ? y ? 1) 总成立.

（2009 年中国科技大学） 4.. 设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 ，且 x2 ? x3 ? x4 ? x1. 求证：( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 4x1x2 x3 x4 .
2

（2013 年清华大学夏令营）

相关习题
* （1）. 已知 n ? N ， n ? 2. 求证： (1 ? ) ? 3.
n

1 n

（2013 年中国科技大学夏令营）

5. （1）求证：对于任何实数 a ， b ，三个数 | a ? b | 、 | a ? b | 、 |1 ? a | 中至少有一个不小

1

于 .

1 2

（2004 年同济大学） ）

（2）若对一切实数 x 都有 | x ? 5 | ? | x ? 7 |? a ，则实数 a 的取值范围是（ A. a ? 12 相关习题 B. a ? 7 C. a ? 5 D. a ? 2

（2008 年复旦大学）

（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最 小， 应该选在哪里最合适？如果在 P 的地方增加了一个村庄， 并且沿着地图的虚线修了一条 小路，那么这时车站设在什么地方好？
A1

A2

A3

B

C

D

E

F

P
A4 A6 A5

（2010 年浙江大学） （2）. 求 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| ?

? | 2011x ?1| 的最小值.

（2011 年北约）

3.. 若正数 a, b, c a ? b ? c ? 1 .求证： (a ? )(b ? ) ? (c ? ) ? 相关习题

1 a

1 b

1 c

1000 . （2008 年南京大学） 27

1 n?1 ) . （2008 年山东大学） n ?1 1 2 1 2 1 2 ? （2）设 a, b, c ? R ，且 a ? b ? c ? 1 ，求证： (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) 的最小值. a b c
（1） . 设 n 为正整数， 求证：(1 ? ) ? (1 ?
n

1 n

（2008 年南开大学） 4. 设 P 为 ?ABC 内一点，它到三边 BC , CA, AB 的距离分别为 d1, d 2 , d3 , S 为 ?ABC 的面

a b c (a ? b ? c) 2 积，求证： ? ? ? . d1 d 2 d3 2S

（2009 年南京大学）

? 2 2 2 9 ?x ? y ? z ? , （1） .在实数范围内求满足方程组 ? 的实数 x, y , z 的值（ . 2008 年同济大学） 4 ? ??8 x ? 6 y ? 24 z ? 39.

2

（2） .设实数 a, b, c a ? 2b ? 3c ?
2 2 2

3 . 求证：3? a ? 9?b ? 27? c ? 1.（2008 年西安交通大学） 2

（3）求函数 f ( x) ?

1 ( 36 ? x 2 ? 64 ? x 2 ) x (0 ? x ? 6) 的最大值. 2
（2013 年中国科技大学夏令营）

5. 已知 x, y, z ? 0 ， x ? y ? z ? 3 ，求证：

x y z ? 3 2 ? 3 ? 1. 2 x ? y ? z y ? z ? x z ? x2 ? y
3

（2013 年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营） 相关习题 （1） .已知 A, B, C 是锐角三角形 ?ABC 的三个内角， 求 tan A ? tan B ? tan C 的最小值. （2010 年北京科技大学）
2 2 2 （2）. 已知 A 、 B 、 C ? (0, ) ，且 sin A ? sin B ? sin C ? 1 .求 A ? B ? C 的最大值.

π 2

（2013 年清华大学夏令营） 6.求实数 k 的最大值，使得对于任意正实数 x ， y ， z ，均有

x3 ? y3 ? z3 ? 3xyz ? k | ( x ? y)( y ? z)( z ? x) | .

（2013 年北京大学单独招生）

7.

求证：在 ?ABC 中， cos A ? cos B ? cos C ?

3 . 2

（2013 年中国科技大学夏令营）

3