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正弦余弦图像与性质


正弦、余弦函数的图象 一、复习引入: 1. 弧度定义: 2.正、余弦函数定义: 3.正弦线、余弦线: 二、讲解新课: (1)函数 y=sinx 的图象

(2)余弦函数 y=cosx 的图象
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx ●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 探究3. 如何利用 y=cos x,的图象,通过图形变换来得到 y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? ●探究4. 如何利用 y=cos x 的图象,通过图形变换来得到 y=2-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? ●探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标系中 画出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π /2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

正弦、余弦函数的性质(一) 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x
函数值

?2?
0

?

3? 2

??

?

? 2

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?
0

sin x

1

0

?1 y – 1

?5?

?2?

??

?

?
2

O ?1 –

?
2

?

2?

5?

x

结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时, 都有 f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6 , ② y ? sin 2 x (3)

x? R.
正弦、余弦函数的性质(二) 复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢? 二、讲解新课: 1 奇偶性 。2.单调性 3.对称性 练习 1。 (1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴;1 (2)

y ? sin( x ?

?

) 4 的一条对称轴是( )

4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性

f ( x) ?
(1)

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x );
2

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是

;对称中心是

.

例 3 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0;

sin( ?


?
18

) ? sin( ?

?
10

)


cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 3 的单调递增区间; 例 4 求函数

y ? sin(
思考:你能求

?
3

?

1 x) 2

x ? [?2? ,2? ]
的单调递增区间吗?

正切函数的性质与图象 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的?

2、练习:画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ?? ?? , ? y ? tan x , x? ? 2 2 ? 的 3.作
图象

y ? tan x x ? R ,且

x?

?
2

? k? ?k ? z ?

的图象,称“正切曲线” 。

y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

x ? k? ?
(3)正切曲线是由被相互平行的直线 4.正切函数的性质 (1)定义域: (2)值域:R 5.讲解范例:

?
2

?k ? Z ?

所隔开的无穷多支曲线组成的。

(3)周期性: (4)奇偶性: (5)单调性:

? 13? tan? ? ? 4 例 1 比较

? ? 17? ? tan? ? ?与 ? 5

? ? ? 的大小

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期:

?? ? y ? 3tan ? x ? ? 5? ? (1)

?? ? y ? tan ? 3x ? ? 6? ? (2)

?? ? y ? tan? 3x ? ? 3 ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, ? 例 3:求函数
?? ?? y ? tan? x ? ? 3 ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 ?2 练习 1:求函数
思考 2:你能用图象求函数

y ? tan x ? 3 的定义域吗?

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二) 一、复习

? 1. 如何由 y=sinx 的图象得到函数 y ? A sin( x ? ? )的图象.
2. A、 、 对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响. ? ?

二、函数 ? A sin( x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义: y ?
三、应用

y

例2.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .

2 1
?

? o
8

3? 8

7? 8

x

例3.右图所示的曲线是 ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, y 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

?2

y

2

o ?
12

5? 6

x

?2
思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.

y

3
N

o

M

?

?
3

3

5? x 6


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