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指数与指数幂的运算



2.1.1

指数与指数幂的运算

1.n 次方根 定义

一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n ? N*. 正数的 n 次方根是一 个正数 n n 是奇数 a 的 n 次方根用符号 a表示 负数的 n 次方根是一 个负数 正数的 n 次方根有两 个, 这两个数互为相反 数 负

数没有偶次方根 正数 a 的正的 n 次方根用符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示. 正的 n 次方根与负的

性质 及表 示

n

n 是偶数

n

n n 次方根可以合并写成± a(a>0).

n 0 的任何次方根都是 0,记作 0=0. 谈重点 对“n 次方根”的理解 “n 次方根”的定义及性质是平方根、立方根定义及性质的推广, 根式记号是平方根、立方根记号的推广,可以通过类比进行理解. 【例 1】已知 m10=2,则 m 等于( ) A. 10 2 B. ?10 2 C. 210 解析:∵m10=2,∴m 是 2 的 10 次方根. D. ?10 2

又∵10 是偶数,∴2 的 10 次方根有两个,且互为相反数.∴m= ?10 2 . 答案:D 2.根式 定义 n 式子 a叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. n ( a)n=a 性质 n 当 n 为奇数时, an=a;

?a, a ? 0, n 当 n 为偶数时, an=|a|= ?
点技巧 根式的记忆口诀 正数开方要分清,根指奇偶大不同, 根指为奇根一个,根指为偶双胞生. 负数只有奇次根,算术方根零或正, 正数若求偶次根,符号相反值相同. 负数开方要慎重,根指为奇才可行, 根指为偶无意义,零取方根仍为零. 【例 2-1】求下列各式的值:
2 4 (1) ( 5)2 ;(2) ( 3 ?2)3 ;(3) 4 (?2) ;(4) (3 ? π) .

??a, a ? 0.

2 4 解:(1) ( 5)2 =5.(2) ( 3 ?2)3 =-2.(3) 4 (?2) = 4 24 =2.(4) (3 ? π) ?

( π ? 3) 2 =π-3.

【例 2-2】化简:(1) 3 (1 ? 2) ? 4 (1 ? 2) ;
3 4
n (2) n ( x ? π ) (x<π,n ? N*).

解:(1)
1

错解 错解 原因 正解

3

(1 ? 2)3 ? 4 (1 ? 2) 4 =(1+ 2 )+(1- 2 )=2.
4 4

因为 4 (1 ? 2) >0 ,而 1- 2 <0,所以 4 (1 ? 2) ≠1- 2 .
3

(1 ? 2)3 ? 4 (1 ? 2) 4 =(1+ 2 )+ 1 ? 2 =1+ 2 + 2 -1= 2 2 .

(2)∵x<π,∴x-π<0,
n 当 n 为偶数时, n ( x ? π ) =|x-π|=π-x;

n 当 n 为奇数时, n ( x ? π ) =x-π.

辨误区 n an 的错误应用 (1) n an 表示 an 的 n 次方根,对任意 a ? R 都有意义,但等式 n an =a 不 一定成立.当 n 的值不确定时,应注意分 n 为奇数和偶数两种情况对 n 进行讨论. (2) n an 与( n a )n 的区别:①当 n 为奇数,且 a ? R 时,有 n an =( n a )n=a;②当 n 为偶数,且 a≥0 时,有 n an =( n a )n=a. 3.分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 正数的正分数指 数幂 正数的负分数指 数幂

a ? n a m (a>0,m,n ? N*,且 n>1)

m n

a

?

m n

?

1 a
m n

(a>0,m,n ? N*,且 n>1)

0 的正分数指数幂等于 0; 0 的负分数指数幂没有意义 谈重点 对分数指数幂的理解 (1)规定了分数指数幂的意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数;
m

(2)指数幂 a n 不可以理解为

m 个 a 相乘,它是根式的一种新写法.在定义的规定下,根式与分数指数 n
1

幂是表示相同意义的量,只是形式上不同而已,这种写法更便于指数运算,所以分数指数幂与根式可以相 互转化; (3)通常规定分数指数幂的底数 a>0,但要注意在像 (?a) 4 ? 【例 3-1】用根式的形式表示下列各式(a>0):
1 3

4

?a 中的 a,则需要 a≤0.

a5 , a4 , a 5 , a 3 .
解: a 5 ?
1 5

?

3

?

2

a , a 4 ? 4 a3 , a

3

?

3 5

?

1 a
3 5

?

1
5

a3

,a

?

2 3

?

1 a
2 3

?

1
3

a2


n

谈重点 分数指数幂与根式互化的易错点 (1)分不清分子、分母的位置,如 a 写成 a m ;

n

m

? ?a 或者 a ? a . (2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置,如 a (2)有理数指数幂的运算性质 符号表示 文字叙述 + aras=ar s(a>0,r,s ? Q) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加 (ar)s=ars(a>0,r,s ? Q) 幂的幂,底数不变,指数相乘 r r r (ab) =a b (a>0,b>0,r ? Q) 积的幂等于幂的积 点技巧 巧记有理数指数幂的运算性质 有理数指数幂在运算中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相 减,幂相乘.
n m



m n

m n

?

m n

【例 3-2】求值:(1) 8

?

4 3

3

;(2) 814 ;
2

? 27 ? 3 ?2? (3) ? ? ;(4) ? ? . ? 125 ? ?3?
解:(1) 8
3
? 4 3

?3

?

2

? (2 )
3

?

4 3

?2
3 4

? 4? 3?? ? ? ? 3?

? 2?4 ?

1 . 16

(2) 814 ? (34 ) 4 ? 3
?3 3

3

4?

=33=27.

?2? ? 3 ? 27 (3) ? ? ? ? ? ? . 8 ?3? ? 2?
? 27 ? (4) ? ? ? 125 ?
?2
? 2 3

?? 3 ? 3 ? ? ?? ? ? ?? 5 ? ? ? ?

?

2 3

? 3? ?? ? ?5?

? 2? 3?? ? ? ? 3?

25 ? 3? =? ? ? . 9 ?5?
【例 3-3】用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0):
4 (1) 3 a · a ;(2) a a a ;

(3) 3 a2 ? a3 ;(4) ( 3 a )2 ? ab3 . 分析:解决本题的关键是理解分数指数幂的意义,先将根式化为分数指数幂的形式,再运用分数指数 幂的运算性质进行化简. 解:(1)原式= a 3 ? a 4 ? a 3 (2)原式= a 2 ? a 4 ? a 8 ? a 2 (3)原式= a 3 ? a 2 ? a 3
1 2 3
2 3 2 3 ? 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 4

? a12 . ? a8 .
1 3 2 1 ? 3 7 3
7 13

7

1 1 1 ? ? 4 8

?a6 .
2
m

(4)原式= (a 3 ) ? (ab ) 2 ? a 3 ? a 2 b 2 ? a 3 2 b 2 ? a 6 b 2 . 根式化为分数指数幂的方法 将根式化为分数指数幂的依据是 a ? a n (a>0, m, n ? N*, 且 n>1). 当 要变化的根式含有多重根号时, 要搞清被开方数, 由里向外用分数指数幂写出, 然后再利用性质进行合并. 4.无理数指数幂 (1)一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数; + (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂,即:①aα· aβ=aα β(a>0,α,β 是无理数); β ②(aα)β=aα· (a>0,α,β 是无理数); α α α ③(ab) =a b (a>0,b>0,α 是无理数).
n m

1

【例 4】求值:(1) 4 (2) (5
2

2 ?1

?2

3? 2

2

?8 ;
? 2 3

?

2 3

) ?2
2
3?2

1? 3

?2
2 ?1
?2

3


3? 2
2

解:(1)原式= (2 ) =2
2 2 ?2

2

?2

2

? (2 )
3

?2

2

?2 ? 2

2 ? 2?3?2

2 ?2

=23=8.

(2)原式= 5

2? 2

? 21?

3? 3

=52+21=27.

5.指数幂(根式)的化简与计算 化简、计算指数幂(根式)时,应注意以下几点: (1)运算顺序:先进行幂的运算,再进行乘除运算,最后进行加减运算,有括号的先算括号内的. (2)如果指数是小数, 那么通常化为分数指数, 这样可以随时检验运算的正确性, 是常用的化简技巧. 比
3

10 如,(-3)2.1= ( ? 3)10 = (-3)21,由于(-3) 21 是一个负数,所以(-3)2.1 无意义,这说明化简中出现了错 误. (3)将其中的根式化为分数指数幂,利用指数幂的运算性质进行计算.比如,化简 a a,如果不将根式

21

a =a =a . a化为指数幂,就很难完成化简:a a=a· (4)计算或化简的结果尽量最简,对于根式计算结果,并不强求统一的表示形式,一般用分数指数幂的 形式来表示.如果有特殊要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既 有分母又含有负指数,即结果必须化为最简形式. 综上所述:进行指数幂运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时 兼顾运算的顺序. 【例 5-1】计算下列各式:

1 2

1?

1 2

3 2

? 1? 2 ? 3? - (1) ? 2 ? +2 2× ? 2 ? -(0.01)0.5; ? 4? ? 5?
37 ? 10 ? 3 ? 7? - 0 (2) ? 2 ? +(0.1) 2+ ? 2 ? -3π + 48 ; ? 27 ? ? 9?
1 ? ? 7? - 3 (3) (0.064) - ? ? ? + [( ? 2) ] 3 +16 0.75+ | ? 0.01| 2 . ? 8? ? 1 3

0

?

1

0.5

?

2

0

4

1 ? 4 ?2 解:(1)原式=1+ ? ? ? 4 ?9?
1

1

1 1 16 ? 1 ?2 ?? ? ? 1? ? ? . 6 10 15 ? 100 ?
? 2 3

1

1 ? 64 ? ? 25 ? 2 (2)原式= ? ? ? 2 ?? ? ? 9 ? 0.1 ? 27 ?

37 5 9 37 ? ? 100 ? ? 3 ? =100. 48 3 16 48 5 1 1 1 143 - - - ? ? ? (3)原式=0.4 1-1+(-2) 4+2 3+0.1= ? 1 ? . 2 16 8 10 80 ?3?
【例 5-2】化简: (1)

a3
5

b2
1

?

5 3 4

b3

a ?1 ? b ?1 (a>0,b>0);(2) ?1 ?1 (ab≠0); a ?b a3

1 ? 3 2 b ?1 ? (3) 2 ? 1 1 2 1 ? ? 3 3 3 3 4b ? 2a b ? a ? a3

a 3 (a ? 8b)

? 1 ? ? a 3 (a· b≠0,且 a≠8b). ? ? ?

3

1

1 1 3 1 5 ? ? a 2 b5 0 解:(1)原式= 1 ? 1 ? a 2 4 ? b 5 5 ? a 4 b ? a 4 a . b5 a 4 1 1 a?b ? a b ? ab =a+b. (2)原式= 1 1 ab ab

(3)原式=

a (a ? 8b) 4b ? 2a b ? a
2 3 1 3 1 3 2 3

1 3

?

a
1 3

1 3 1 3

? a =a.

1 3

a ? 2b

6.条件求值问题 利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题,一般有三种思路: (1)将条件用结论表示,直接解出结论;
4

(2)有些时候,直接代入求值不方便,可以从总体上把握已知式和所求式的特点,常用整体代入法来求 值.要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式,如 a+b= (a 3 ? b 3 )(a 3 ? a 3b 3 ? b 3 ) ,a -b= (a ? b ) ? (a ? b ) 等等,运用这些公式的变形,可快速巧妙求解. (3)有时适当地选用换元法,能使公式的使用更清晰,过程更简洁.所以在解题时要先审题,比较各种 思路的优劣,然后再动手做题,养成良好的思维习惯. - - 例如:已知 2x+2 x=a(常数),求 8x+8 x 的值. - - - - - - - - 解:(方法一)8x+8 x=23x+2 3x=(2x)3+(2 x)3=(2x+2 x)[(2x)2-2x· 2 x+(2 x)2]=(2x+2 x)[(2x+2 x)2- -x -x 2 x -x x x 2 3 3· 2· 2 ]=(2 +2 )[(2 +2 ) -3]=a(a -3)=a -3a. - - - - - - (方法二)令 2x=t,则 2 x=t 1,所以 t+t 1=a,两边平方整理得 t2+t 2=a2-2,则 8x+8 x=t3+t 3 - - - =(t+t 1)(t2-t· t 1+t 2)=a3-3a. 【例 6】(1)已知 x ?
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2

x? y x? y 1 2 , y ? ,求 的值; ? 2 3 x? y x? y

a? b 的值. a? b x? y x ? y ( x ? y )2 ( x ? y )2 4 xy 解:(1) , ? ? ? ? x? y x? y x? y x? y x? y 1 2 将 x ? , y ? 代入, 2 3 1 2 1 4 ? 4 2 3 ? 3 得原式= 1 2 1 ? ? 2 3 6 1 = ?24 ? ?8 3 . 3
(2)已知 a,b 是方程 x2-6x+4=0 的两根,且 a>b>0,求 (2)∵a,b 是方程 x2-6x+4=0 的根, ∴由根与系数关系得 ?

?a ? b ? 6, ?ab ? 4.

又∵a>b>0,∴ a > b .

? a? b? a ? b ? 2 ab 6 ? 2 4 2 1 ∵? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 2 ab ? 6 ? 2 4 ? 10 ? 5 , ? ?


2

a? b 1 5 . ? ? 5 5 a? b

析规律 条件求值问题的处理方法 对于条件求值问题,常采用“整体代换”或“求值后代换”的方 法求解.要注意运用恰当的变形,如分解因式等.用乘法公式时,还要注意开方时正负号的选取,如本题 第(2)小题.

7.二次根式与完全平方公式的综合问题 由于乘方和开方互为逆运算,则完全平方公式 (m± n)2 = m2± 2mn + n2 与二次根式的关系也是互逆运 2 2 ?x +y =a, 算.在化简 a± k b时,可设? 解得 x,y,则 a± k b= x2± 2xy+y2= (x± y)2=|x± y|. ?2xy=k b, 因此,只要把 a± k b凑成完全平方公式的形式,利用 c2=|c|即可完成化简.
5

【例 7】化简 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =__________. 解析:原式= ( 2 ? 3) ? ( 2 ? 3)
2 2

= | 2 ? 3|?| 2 ? 3| = 2? 3? 3? 2 =2 3. 答案: 2 3 点技巧 a± k b的处理有技巧 将 a± k b化为 a± 2 c· d的形式,然后观察求出满足( c)2+( d)2=a 的 c,d 的值,则 a± k b=( c± d)2.例如本题中的 5+2 6=5+2 2· 3,则 5+2 6=( 2+ 3)2.

6



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