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二次函数性质再研究讲义



二次函数讲解
1 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax +bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数.
2

(2)二次函数的三种表示形式: ①标准式: y ? ax2 ?bx ? c ? a ? 0 ? ; ②顶点式: y ? a ? x ?m? ? n ,顶点 ? m, n ? ? a ? 0 ? ;
2

③零点式: y ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? a ? 0 ? 。

点评:.求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或零点式中 的一种来求. ①已知三个点的坐标时,宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便.

2.二次函数的图象和性质

y=ax2+bx+c (a≠0) 定义域:R;

4ac ? b 2 4ac ? b 2 值域:( ,+∞)(a>0 时); (-∞, )(a<0 时). 4a 4a

图象是抛物线,其对称轴方程为 x ?? (3)二次函数的性质

b .当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下。 2a

2 ① a ? 0 时,单调递减区间 (??, ? b ] ;单调递增区间 [? b , ??) , ymin ? 4ac ?b 。 2a 2a 4a 2 ② a ? 0 时,单调递增区间 (??, ? b ] ;单调递减区间 [? b , ??) , ymax ? 4ac ?b 。 2a 2a 4a

1

3 二次函数在闭区间

?m, n? 上的最大、最小值问题探讨

①图象的开口方向;②顶点;③区间与对称轴的位置关系;④区间端点函数值。 设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??

b 2a

m??

b b ? n 即? ? ?m, n? 2a 2a

?

b ?m?n 2a

图 象

最 大 、 最 小 值

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ?

b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, 2a ?

? ? b ? f ? ? ?, f ?n?? , ? 2a ? ?

? ? ? b ? f ?x ?min ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; ? 2a ? ? ?
(2)若 ?

b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二 次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小。 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a 若 x ? [?2, 2] 时, f ( x ) ≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 解析:令 f(x)的最小值为 g(a),则 a (1)当- <-2,即 a>4 时 2 g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得 7 a≤ ,又 a>4,故此时 a 不存在; 3 a (2)当- ∈[-2,2],即-4≤a≤4 时, 2 a2 g(a)=3-a- ≥0,得-6≤a≤2, 4 又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;
2

a (3)当- >2,即 a<-4 时,g(a)=f(2)=7+a≥0, 2 得 a≥-7,又 a<-4,故-7≤a<-4. 综上,得-7≤a≤2.

4 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 ①当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴无交点 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 无实根

? ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 ? 或者是 R;
②当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴相切 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个相等的实根

? ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 ? 或者是 R;
2 2 ③当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax ? bx ? c ? 0 有两个不等的实

根 ? ax ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? ( ? , ??) 。
2

④二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0),当 Δ =b -4ac>0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0), |M1M2|=|x1-x2|= 5 Δ . |a|

2

2

一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 实根分布的条件
2 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论: 2 令 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) (同理讨论 a ? 0 的结论)

?? ? 0 ? (1) x1<α , x2<α ,则 ??b /(2a) ? ? ; ? f (? ) ? 0 ?
?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? (3) α <x1<?, α <x2<?,则 ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? ?b /(2a) ? ?

?? ? 0 ? (2) x1>α , x2>α ,则 ??b /(2a) ? ? ? f (? ) ? 0 ?
? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

(4) x1<α ,

x2>? (α <?),则 ?

(5)若 f(x)=0 在区间( α ,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 点评: (1)讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑: ①判别式; ②区间端点的函数值的符号; ③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中,注意应用数形结合的思想.

3



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