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(新高一)巧用图像搞定对数函数


巧用图像搞定对数函数
哈尔滨工业大学 马传周

第一课时

一、复习引入
小学到初中,我们对数的运算有了深入的了解, 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经 成为我们所熟知的了。我们知道:加法与减法、乘 法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。 进入高中我们对指数运算也有了一个全新的认 识,对于指数运算推广到了指数幂为实数的形式了。 指数运算的逆运算又是什么呢?

一、问题:
1、庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取5次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺?

抽象出:1.

??

1 5 2

?

1 32

;

?1? ? ? ? 0.125 ?2?

x

?

x=?

2 、假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果

每年平均增长 8% ,那么经过多少年国民生产总值
是2002年的2倍?

抽象出:

?1 ? 8% ?

x

?2 ?

x=?

由前面的学习我们知道:有一种细胞分裂时,由1 个分裂成2个,2个分裂成4个,··· 1个这样的细胞 分裂x次会得到多少个细胞? x

y?2

如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x 呢 由对数式与指数式的互化可知:

x? ? log2 y
上式可以看作以y自变量的函数表达式吗

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

1、对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1) 的b次幂等于N, 就是ab=N 那么数 b叫做以 a 为底 N的对数, 记作 log N ? b ,a叫做对 a 数的底数,N叫做真数。
说 明 ① .注意底数的限制, a>0且 a ≠ 1; b N a ? N ? log ②. a ?b ③. 注意对数的书写格式. log a N

对数式与指数式的互化:

负数和零没有对数;

例1:将下列指数式写成对数式:

(1) 2 ? 16 ;
4

(3) 5 ? 20 ;
a

1 (2) 3 ? ; 27 1 b (4) ( ) ? 0.45; 2
?3

例2:将下列对数式写成指数式:

(1) log5 125 ? 3 ; (3) log10 a ? ?1.069 .

(2) log 1 3 ? ?2 ;
3

例3:求下列各式的值:

(1)log2 64 ;
思考:

(2) log9 27 ;

① .为什么对数的定义中要求底数a>0且 a≠1 ; ②.是否是所有的实数都有对数呢?

课堂练习 ? ? ? ?
将下列指数式写成对数式: (1) (3) 26.2=73.5167; 0.53=0.125 ;
1 (2) 10 ? ; 1000
?3

(4) ? ? 1 ;
0

二.对数函数的图象:

1.描点画图.
注意只要把指数函数y=ax (a>0,且a≠1) 的变量x,y的对应值对调即可得到

y=logax(a>0,且a≠1)
1/ 2

我们取函数

y=log2 x 和y=log x 作图

y 3

y=log2x

o -1 -2
-3

2 1

1

2
x

3 4 5 6 7

8

x

…1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … …
-3 -2 -1 0 1 2 3

y=log2x



y 3 … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y=log1/2x… 3 2 1 0 -1 -2 -3 … x 2

o -1 -2
-3

1

1

2 3 4 5 6 7

8

x

y=log1/2x

探索研究:
y 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (1) y ? log x

..........

2

(2)y (3) y (4) y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

? log3 x
? log1 x
3

2

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数 y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x

对称.

Y 5

Y= 2
● ●

x

Y=X

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

函数 :

y ? log a , y ? log b ,
x x

y ? log c , y ? log d
x

x

的图象如下,则a,b,c,d的大小关系为 ___________

Y

b>a>d>c

Y=logax Y=logb x

O

1 Y=logdx 规律:在第一象限内,底数越 大,图像按顺时针方向旋转。

y ? logc X

X

一、对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=?log0.5(4x-3)

解:

(1)

(2)

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

(4)因为

4x-3>0
log0.5(4x-3)?0

例2:比较大小
1、log4 5和log4 8

log0.5 0.4和log0.5 0.7 2、
4、 loga 0.4和loga 0.7

3、 log0.5 0.4和log2 0.7

两个重要对数: ①.常用对数(common logarithm):以10 为底的对数log10N, 简记为: lgN . ②. 自然对数(natural logarithm):以无理 数e=2.71828… 为底的对数的对数logeN ;简记 为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的 对数)

课堂练习 ? ? ? ?
将下列对数式写成指数式:

(1) log2 6 ? 2.5850 ; (2) log3 0.8 ? ?0.2031 ;
(3) lg 3 ? 0.4771 ; (4) ln 3 ? 1.0986 ;

探索与发现:
求下列各式的值:

(1) log31= 0

(2) lg1= 0

(3) log0.51= 0 (4) ln1= 0

你发现了什 么?

“1”的对数等于零,即loga1=0

探索与发现: 求下列各式的值: (1) log33= 1 (2) lg10=1

(3) log0.50.5= 1 (4) lne= 1

你发现了什 么?

底数的对数等于“1”,即logaa=1

探索与发现:
求下列各式的值:

(1) 2

log 2 3

?

3

(2) 7

log7 0.6

? 0.6

(3) 0.4

log0.4 89

? 89
loga N

你发现了什 么?

对数恒等式:

a

?N

探索与发现:
求下列各式的值:

(1) log3 3 ?
4

4
5

(2) log0.9 0.9 ?
(3) ln e ?
8

5

你发现了什 么?

8

对数恒等式:

loga a ? n
n

对数的基本性质
1.负数和零没有对数; 2.“1”的对数等于零,即loga1=0 3.底数的对数等于“1”,即logaa=1

4. 对数恒等式:a log a N 5.

?N n 对数恒等式: loga a ? n

思考题:
(1)已知x满足等式

log5[log3 (log2 x)] ? 0, 求log16x的值. 1 ? ln e (2)求值:log 2.5 6.25 ? lg 100 3x+2y 的值. (3)已知 loga 2 ? x,loga 3 ? y, 求 a

(4) 求下列各式的值 2
2log 2 5

2

? log 2 3

3

2log9 5

3

1? 2log3 4

三、归纳小结,强化思想
1、 引入对数的必要性;

2 、指数与对数的关系;
3、 对数的基本性质.

第二课时

定义: 一般地,如果
的b次幂等于N, 就是
b

a ? a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N

以a为底 N的对数,记作 log a N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )



loga 1 ? 0,

loga a ? 1,
log a N

⑶对数恒等式 练习: ⑴ ⑵ ⑶

a

? N , loga a ? n
n

log3 1 ? log3 3 ? log 3 27 ? 4 ln e ? lg100 ? 3 lg 2 ? lg 5 ? ?

对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N ⑵ N n loga M ? n loga M (n ? R) ⑶
语言表达: 积的对数等于对数的和 商的对数等于对数的差

n次方的对数等于对数的n倍

对数的运算性质
说明:

1) 有时可逆向运用公式 2)真数的取值必须是(0,+∞)
3)注意

loga (MN ) ≠ loga M ? loga N

loga (M ? N ) ≠ loga M ? loga N

讲解范例
例1 计算 (1) log2 (25 ? 47 )

(2) lg 5 100 解 :

解 :

讲解范例

例2 用

log a x, log a y, loga z 表示下列各式:
xy (1)log a ; z (2) log a x2 y
3

z

解(1)

解(2)

解法一:

7 例3计算: (1) lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3
解法二:

提高练习:

1 ⑴ 若 lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则

x ? ______

⑵ ⑶

1 log 6 12 ? log 6 2 2

的值为______

log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ? _____________

log4 (3x ?1) ? log4 ( x ?1) ? log4 ( x ? 3).
解:原方程可化为

2.解方程

log m N 3.对数换底公式: log a N ? log m a
( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0) 证明:
王新敞
奎屯 新疆

log a N ? x
x

, 则

a ?N
x

王新敞
奎屯

新疆

logm a ? logm N ? x logm a ? logm N
两边取以m 为底的对数:
log m N 从而得: x ? log m a log m N log a N ? ∴ log m a

王新敞
奎屯

新疆

2.两个常用的推论:
① ②

loga b ? logb a ? 1 , loga b ? logb c ? logc a ? 1
n log a m b ? log a b( a, b > 0且均不为1) m
n

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

证:①

lg b lg a log a b ? logb a ? ? ?1 lg a lg b
log am
n lg b n lg b n n b ? ? ? log a b m lg a m lg a m



三、讲解范例: 例1 求log89.log2732的值. 分析:利用换底公式统一底数:

一般情况下,可换成常用对数,也可根据真、 底数的特征,换成其它合适的底数.

例2.已知 log 3 ? a,log 7 ? b ,用 a, b 表示 log42 56 2 3
1 解:因为 则 log2 3 ? a , ? log 3 2 又∵ log3 7 ? b , a log3 56 log3 7 ? 3 ? log 3 2 ab ? 3 log 56 ? ? ? 42 ∴ log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1

例3计算:① 解:

5

1? log 0.2 3

4 log 3 ? log 2 ? log ② 4 9 1 32 2

课堂小结:

对数的运算性质

1 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

M log a ? log a M ? log a N ⑵ Nn loga M ? n loga M (n ? R) ⑶

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

2 对数运算性质的功能主要有两个: 一是化复杂的真数(积或商的形式)为简单的真 数;二是将多个同底对数式的和差合为一个对数 式。



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