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函数的单调性与导数



判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法

y ? x3 ? 3 x ?
2 y ? x 比如:判断函数 的单调性。

如图: 减 函数, 函数在 ( ?? , 0) 上为____ 增 函数。 在 (0, ?? ) 上为____

y

y ? x2

r />o

x

问题1:函数单调性的定义怎样描述的? 1、一般地,对于给定区间D上的函数f(x),若 对于属于区间D的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,有 (1)若f(x1)<f (x2) ,那么f(x)在这个区间上 是增函数. (2)若f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上 是减函数.

2.用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)任取x1、x2∈D,且x1< x2. (2)作差f(x1)-f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较) (5)结论

练习:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
图象法 定义法

单增区间:(2,+∞).
单减区间:(-∞,2).

再观察函数y=x2-4x+3的图象: y

0

. . . . . ..
2

总结: 该函数在区 间(-∞,2)上单 减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间(2,+∞) 上单增,切线斜率大 于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.

x

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系. 3
y
y=x

y

y=

x2

y

y=x

y

y?
O x x O

1 x
x

O

x

O

结论:在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x )在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x ) ? 0,那么

函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f?(x)=0,则f(x)为常数函数

结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f?(x)>0, 如果f?(x)<0,

则f(x)为增函数;
则f(x)为减函数.

注意:如果在某个区间内恒有f?(x)=0,
则f(x)为常数函数

增函数时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x 减函数时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 0也即 ?0 x1 ? x2 ?x

这表明:导数的正、负与函数的单调性密 切相关

题型:应用导数信息确定函数大致图象 例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区
y

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x


y

是函数

的导函数,

的图象如
y

右图所示,则

的图象最有可能的是(
y

C

)

y ? f ( x)
1 2
x o

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

练习
2.函数 的大致形状 的图象如图所示, 试画出导函数 图象

y

y? ? f ? ? x ?

O

a

b

c

x

[例 1]

(1)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所 ( )

示,则导函数 y=f′(x)的图像可能为

(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图像 如图所示,则 f(x)的图像只可能是 ( )

[解析]

(1)由函数的图像可知: 当 x<0 时, 函数单调递增,

导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即导数先正后 负再正,对照选项,应选 D. (2)从
? a+b? ? ? f′(x)的图像可以看出,在区间?a, 内,导数单 2 ? ? ?

?a+b ? ? ? 调递增;在区间? ,b?内,导数单调递减.即函数 ? 2 ?

f(x)的图

? ?a+b ? a+ b ? ? ? ? ? 像在?a, 内越来越陡,在? ,b?内越来越平缓,由此可 2 ? ? ? ? 2 ?

知,只有选项 D 符合.
[答案] (1)D (2)D

理解训练:

2 y ? 3 x ? 3 x 的单调区间。 求函数

1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 注意:单调区间不可以并起来 . 2 2 1 ? y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ??, ) 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。 2

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3 2 3 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( ?? , 0),( , ?? )
3

巩固提高:
变2:求函数 y ? 3e x ? 3 x 的单调区间。
x ? y ' ? 3 e ?3 解:

令y ' ? 0得e x ? 1 ? e 0 ? x ? 0
令y ' ? 0得e ? 1 ? e ? x ? 0
x 0

? y ? 3e x ? 3 x的单调递增区间为(0, ??) 单调递减区间为(??,0)

变3:求函数

1 y? x

的单调区间。

1 解: ? y ' ? ? 2 ? 0, x

但x ? 0,

1 ? y ? 的单调递减区间为( ??, 0), (0, ?? ) x

在某个区间(a, b)内, f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递减

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?

例4、如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相 同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出 与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。

练习
函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

解: y ' ? x 'cos x ? x(cos x )'? (sin x )'
? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x
y o
2? 3?

y ? sin x
x

?

如图,当x ? (? , 2? )时, sin x ? 0,?? x sin x ? 0,

即:y ' ? 0

?该函数在(? , 2? )上为增函数。

函数f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 其中a , b, c为常数,
3 2

当a 2 ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数

利用导数求函数的单调区间
【例1】已知

y ? 2x2 ? ln x

求f(x)的单调区间. 【审题指导】要求f(x)的单调区间,可确定定义域后,再讨论使 f′(x)>0 和f′(x)<0的x的范围,即得f(x)的单调区间,

解:由对数的性质可知定义域为(0 , ? ?) 1 4 x 2 ? 1 (2 x ? 1)(2 x ? 1) y? ? 4 x ? ? = x x x 1 1 由y? ? 0得x ? (0 , ), 函数的单调减区间(0 , ), 2 2 1 1 由y? ? 0得x ? ( , ? ?), 函数的单调增区间( , ? ?) 2 2

已知单调性求参数

由单调性求参数范围时的注意事项:

若函数f(x)可导,其导数与函数的单调性的关系如下:以增
函数为例来说明:

①f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.
即f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. ②f′(x)≠0时,f′(x)>0是f(x)为增函数的充分必要条件. ③f(x)为增函数,一定可以推出f′(x)≥0,但反之不一定, 即f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.

已知单调性求参数 【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围. 【审题指导】f(x)是减函数,则必有f′(x)≤0, 可从f′(x)≤0入手,再检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.

已知单调性求参数 【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围 【解析】≧ f′(x)=3ax2+6x-1, ?当f(x)是单调增函数时,由f′(x)≥0得 ? ?a∈ ? ,当f(x)是单调减函数时,
?a>0 , ?? ? 0

由例3得a∈(-≦,-3],
?函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是单调函数,则实数a的取值

范围是(-≦,-3].

已知单调性求参数 【变式训练】设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0) 上是增函数,求a的取值范围. 【解析】≧f′(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式Δ=4a2-12a2 +12=12-8a2.
6 (1)若Δ=12-8a2≤0,即 a ? (??, ? 6 ][ ? , ??) 时恒有f′(x) 2 2

≥0,又f′(x)不恒等于0,

?f(x)在(-≦,+≦)为增函数.

已知单调性求参数 【变式训练】设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0) 上是增函数,求a的取值范围.

(2)若Δ=12-8a2>0,
?f ? ? 0 ? ? 0 即 ? 6 ? a ? 6 , 只需 ? , ? ?2a 2 2 >0 ?? 2 ? 3 ? 即 1 ? a< 6 时在区间(-≦,0)上恒有f′(x)>0, 2

即在(-≦,0)上是增函数, 综上所述 a ? (-?, ? 6 ][ ? 1, ??).
2

题型:根据函数的单调性求参数的取值范围
例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a的取值范围
解:f ( x ) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

? f '( x ) ? 3ax - 2x ? 1 ? 0在(-?,+?)上恒成立。
2

?a ? 0 ?? ?? ? 4 ? 12a ? 0
1 ?a ? 3

1 例2:已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若( f x)在 x x ?(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
2 解:f '(x) ? 2a ? 3 x

∵函数在(0,1]上单调递增 ? f '(x)? 0,

1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x 3 (? g'(x) ? 4 >0在(0, 1]上恒成立) x ? g(x)max ? g(1)=-1 ? a ? -1

1 即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x

所以a的范围是[-1,+?)

f '(x)>0(或<0) ,f(x)在 注: 在某个区间上, 这个区间上单调递增(递减);

但由f(x)在这个区间上单调递增(递减) 而仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
本题用到一个重要的转化:

m≥f(x)恒成立 ? m ? f (x)max m ? f (x)恒成立 ? m ? f (x )min

练习2 若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取值范围。

已知函数f (x)= 2ax - x 3,x ?(0, 1],a ? 0,

解:f (x)=2ax - x3在( 0, 1]上是增函数, ? f '(x)=2a - 3x ? 0在( 0, 1]上恒成立, 3 2 即:a ? x 在(0, 1]上恒成立, 2 3 2 3 而g( x ) ? x 在(0, 1]上的最大值为 , 2 2 3 ?a ? 。 3 2 [ , ?? )
2

2

练习:
已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。 解:f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, ∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立, ∴a<0且△=36+12a≤0, ∴a ≤-3

例3:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 解:f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 ? f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f ( x )在(? ?, ? ?)上是单调函数,

而当x ? 0时,( f x) =0
1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2



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