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烟台市2015届高三5月适应性练习模拟卷二数学理



高三理科适应性练习(二)答案
一、选择题:BABBA 二、填空题:11. 三、解答题: 16. (1)解: (1) f ( x) ? m ? n ? 1 ADBBB

29

12. 75

13.

9 2

14. ?? 1,0?

15.

①③④

? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos2 x ? 3 sin 2 x . ? ? 2 sin( 2 x ? ) …………………………4分 6 ? ? ? 2? ? ?? ? 1 ? ? ? ?? ? ∵ x ? ?? , ? ,? 2 x ? ? ?? , , sin ? 2 x ? ? ? ?? ,1? ? 6 ? 6 3 ? 6? ? 2 ? ? 6 4? ? ……………………6分 ? f ( x) 的值域为 ?? 1,2?
(2)∵ f ( A) ? 2 ,即 2 sin( 2 A ? 又 a ? 3,b ? c ? 4,

?
6

) ? 2 ,∵角 A 为锐角,得 A ?

?
6

, … 8分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ? ? 2bc ? 2bc cos
2

?
6

? 16 ? 2 ? 3 bc ? 9

?

?

?bc ? 7 2 ? 3
? S ?ABC ?

?

?
?

……………………10分

1 ? 7 2? 3 bc sin ? 2 6 4

?

…………………12分

17. ⑴ 由频率分布直方图知:

(0.05 ? x ? 0.1 ? 0.125? 0.15) ? 2 ? 1 ,解得: x ? 0.075 ………………2 分

, 102?中的频率为 0.3 ,根据题意概率为 0.3 ,记从这批 ⑵ 由⑴知,这批产品中净重在 ?100 , 102?中的产品件数为? , 产品中有放回地随机抽取 3 件时,净重在 ?100
则 ? ~ B?3,0.3? ,
2 3 故 P?? ? 2? ? P?? ? 2? ? P?? ? 3? ? C3 ? 0.32 ? 0.7 ? C3 ? 0.33 ? 0.216 ………5 分

⑶20 件抽样产品中不合格品的件数为 5 件,合格品件数为 15…………………6 分

? 的可能取值为 0,1, 2 三种情况
P?? ? 0? ?
2 1 1 C15 C5 C15 15 C52 21 1 ? ? ? ? ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? …9 分 2 2 2 38 C20 38 C20 C20 19

所以 ? 的

?
P

0

1

2

分布列为

21 38

15 38

1 19

E? ? 0 ?
频率 组距

21 15 1 1 ? 1? ? 2? ? ……………12 分 38 38 19 2

0.15 0.125 0.1

x
0.05

96 98 100 102 104 106



PA ? 底面 ABCD ,∴ PA ? CD . 18. (1)证:∵ ∵ AD ? CD , PA AD ? A ,∴ CD ? 平面 PAD .

取 PD 中点 E , PC 中点 Q .连接 AE, QE, BQ . ∵ AE ? 平面 PAD ,∴ CD ? AE . PA ? AD , E 为 PD 中点,∴ AE ? PD . ∵ ∵ CD PD ? D ,∴ AE ? 平面 PCD . BQ // AE ,∴ BQ ? 平面 PCD . ∵ ∵ BQ ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PCD . …………………6 分 (2)如图建立直角坐标系,设 PA ? AB ? AD ? 1, CD ? 2 ,则
A(0, 0, 0) , B(0,1,0), C (?1, 2,0), P(0,0,1) ,则 PB ? (0,1, ?1) , BC ? (?1,1,0) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?y ? z ? 0 由 n ? PB ? 0 及 n ? BC ? 0 所以 ? ? x? y ? z, ?? x ? y ? 0 取 n ? (1,1,1) ………………………………11 分 由 CD ? 平面 PAD , AB // CD ,知 AB ? 平面 PAD , ∴平面 PAD 的法向量为 AB ? (0,1,0) .
设所求锐二面角的大小为 ? ,由 | AB ? n | ?| AB | ? | n | cos ? .∴所求锐二面角的的余弦值为

3 ……………………12 分 3

19.解: (1)? S n ? n 2 ,? a1 ? S1 ? 1

当n ? 2时, a1 ? 1 S n?1 ? ?n ? 1? .? an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1, 当n ? 1时,
2

? an ? 2n ? 1

……………………4 分

(2)

因为 bn ?

1 1 ? ? an an?1 ?2n ? 1??2n ? 1?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

所以 Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? n ………………7 分 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

① 当 n 为 偶 数 时 , 要 使 不 等 式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n ( n ? N ? ) 恒 成 立 , 只 需 不 等 式

(n ? 8)( 2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立即可, n n 8 ∵ 2 n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得,∴ ? ? 25 …………9 分 n

??

② 当 n 为 奇 数 时 , 要 使 不 等 式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n ( n ? N ? ) 恒 成 立 , 只 需 不 等 式

8 (n ? 8)( 2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立即可,∵ 2 n ? 是随 n 的增大而增大, n n n 8 ∴ n ? 1 时, 2 n ? 取得最小值 ? 6 ,∴ ? ? ?21 ...............11 分 n

??

综合①②可得 ? 的取值范围是 (??,?21)

...............12 分

20.解:(1) 由已知得: e ?

c 2 , ? a 2

(?

2 2 3 ) ( )2 2 ? 22 ? 1 , 2 a b

结合 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可解得:

a 2 ? 2, b2 ? 1 ,

? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ………………… 4 分 2

2 2 (2)由题意可知直线 MN 存在斜率,设方程为 y ? kx ? m ,代入 x ? 2 y ? 2

整理得 2k 2 ? 1 x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 由题意 ? ? ?4km? ? 4 2k 2 ? 1 2m2 ? 2 ? 8 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0
2

?

?

?

??

? ?

?

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? .则 x1 ? x 2 ? ? 又 k F2 M ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? ……………………8 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

kx1 ? m kx ? m , k F2 N ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 得 k F2 M ? k F2 N ? 0, 即

kx1 ? m kx2 ? m ? ? 0. ………………10 分 x1 ? 1 x2 ? 1

化简,得 2kx1x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0

? 2k ?

2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
检验后符合题意

整理得 m ? ?2k .

直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) …………………13 分
21.解: (1)设 F ( x) ? e x ? ln( x ? 1)令F ' ( x) ? e x ?
'

1 ?0? x ?0 x ?1
'

当 x ? (?1, 0) , F ( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) , F ( x) ? 0 所以当 x ? (?1, 0) 时, F ( x) 单调递减,当 x ? (0, ??) 时, F ( x) 单调递增 当 x ? 0 时, F ( x) 取得的极小值 F (0) ? 1 ( 2 ) 证 明 : 令 ………3 分

G?x? ? f ?x? ? g ?x ? 1? ? e x ? l x ? n 2) ( ,
, 当

G ??x ? ? e x ?

1 e x ?x ? 2? ? 1 ? x?2 x?2

G ' ( x) ? e x ? 1

x ? (0, ?? )



e x ?x ? 2? ? 1 ? e 0 ?0 ? 2 ? 1? ? 0 , G ' ( x) ? 0
所以当 x ? ?0,??? 时 G ( x) 单调递增; G?x ? ? G?0? ? e 0 ? ln 2 ? 0 ; 所以 f ( x) ? g ( x ? 1) …………………………8 分

(3)令 h( x ) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax ,

h' ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? a ,令 h ' ( x) ? 0 解得 x ? e
(i)当 a 所以对所有 x

a ?1

? 1.

? 1 时, x ? e a ?1 ? 1 ? 0

? 0 , h' ( x) ? 0 ; h( x) 在 [0, ??) 上是增函数.

所以有 h( x ) 即当 a

? h(0) ? 0( x ? 0)

? 1 时,对于所有 x ? 0 ,都有 g ( x) ?

ax ………………11 分 x ?1

(ii)当 a ? 1时, 对于0 ? x ? e a ?1 ? 1, h ' ( x) ? 0, 所以h( x)在(0, e a ?1 ? 1)上是减函数 ,

从而对于0 ? x ? e a ?1 ? 1有h( x) ? h(0) ? 0 ,
即 g ( x) ?

ax ax 不成立.所以当 a ? 1 时,不是对所有的 x ? 0 都有 g ( x ) ? 成立. x ?1 x ?1

综上, a 的取值范围是 ?? ?, 1? …………14 分



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