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第7讲 解三角形

第7讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 2008宁夏、海南卷第3题(A) 考点1 正弦定理 与余弦定理的应用

选择(1)
填空(2) 解答(1)

2010课程标准卷第16题(C)
2011课程标准卷第16题(C) 2012课程标准卷

第17题 (1)(B) 2012课程标准卷第17题 (2)(B) 2009宁夏、海南卷第17题(B)

考点2 三角形面 积

解答(1)

考点3 解三角形 的

解答(1)

第7讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题围绕三点展开.第一个点是围绕 正弦定理、余弦定理解三角形展开,目的是考查使用这两个定 理解一般的斜三角形,通常是选择题或者填空题;第二个点是 围绕解三角形在实际问题中的应用展开,考查使用正弦定理、 余弦定理以及三角函数的知识解决实际应用问题的能力,一般 以解答题的方式进行考查;第三个点是三角函数、三角恒等变 换和解三角形的交汇,目的是考查综合运用知识解决问题的能 力,一般以解答题的方式进行考查.解三角形是高考中的一个 重要命题点.

第7讲 │ 二轮复习建议

?

预计2013年对该部分的考查会延续前几年的命 题方向,幵有适度的创新,如把平面向量、三角恒 等变换等结合起来进行考查. ? 复习建议:该部分的知识点不多,但可以与三 角函数、平面向量、实际应用题等问题相互交汇, 具有较为广阔的命题背景.从五年来全国课标的考 查情况看,该部分出现过一个实际应用题、一个解 三角形与三角变换交汇的解答题,出现过两个难度 为C级的解三角形的试题,因此复习该部分时要重 在引导学生提高使用正弦定理、余弦定理解一般的 斜三角形的能力(实际应用题也是解一般的斜三角形 ).

第7讲 │ 主干知识整合

主干知识整合
1.正弦定理 a b c = = =2R(R 外接圆半径), 变形: a=2RsinA, sinA sinB sinC b=2RsinB,c=2RsinC. 2.余弦定理 b2+c2-a2 a2 = b2 + c2 - 2bccosA , 变 形 : cosA = = 2bc ?b+c?2-a2 -1. 2bc BC 为钝角三角形可得相应结

第7讲 │ 主干知识整合

3.面积公式 1 abc 1 S= absinC.导出公式 S= (R 外接圆半径);S= (a+b 2 4R 2 +c)r(r 内切圆半径). 4.常用技巧 (1)利用正弦定理实现边角互化; π (2)若三角形 ABC 为锐角三角形, A+B> , 则 sinA>cosB, 2 cosA<sinB,a2+b2>c2.类比三角形 ABC 为钝角三角形可得相 应结论.

第7讲 │ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 正弦定理与余弦定理的应用 )

例1

(1)[2012· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对

的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cosC 的最小值为( 3 A. 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

(2)[2012· 陕西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别

第7讲 │ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求 cosC 只要求出 cos2B ? (推理)只 要求出 cosB ? (结论)在 8b=5c,C=2B 下使用正弦定理即得; (2)(分析)欲求 cosC 的最小值建立 cosC 关于边 a,b,c 的关 系式 ? (推理)代入 a2+b2=2c2 消去 c 得关于 a,b 的关系式 ? (结论)使用重要 a2+b2≥2ab 即得.

第7讲 │ 要点热点探究

[答案] (1)A

(2)C

[解析] (1)本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理, 考查运算求解能力,中档题. 4 由正弦定理得 8sinB=5sinC, ∵C=2B, ∴cosB= , ∴cosC 5 ?4? 7 2 ? ?2-1= . =cos2B=2cos B-1=2 5 25 ? ? a2+b2-c2 a2+b2 2ab 1 (2)由余弦定理知 cosC= = ≥ = .故选 2ab 4ab 4ab 2 C.

第7讲 │ 要点热点探究

?

[点评] 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理 得出方程进行的.当已知三角形边长的比时使用正 弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值,本例第 一题就是在这种思想指导下求解的;当已知三角形 三边之间的关系式,特别是边的二次关系式时要考 虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式, 再考虑问题的下一步解决方法.

第7讲 │ 要点热点探究

变试题

(1)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC

的最大值为________. (2) 在△ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC).判 断△ABC 的形状为________.

[答案] (1)2 7

(2)(2)直角三角形

第7讲 │ 要点热点探究
BC [解析] (1)A+C=120° ?C=120° -A,A∈(0,120° ), = sinA AC AB AC =2?BC=2sinA = =2?AB=2sinC=2sin(120° -A) sinB sinC sinB = 3cosA+sinA, ∴AB+2BC= 3cosA+5sinA= 28sin(A+φ)=2 7sin(A+ φ),故最大值是 2 7. (2)设 A,B,C 对边分别为 a,b,c,由已知等式利用正、余 弦定理得 b+c=a
? 2 2 2? c)??b +c -a ??=0.

?a2+c2-b2 a2+b2-c2? ? ? + ? 2ac 2ab ? ? ?

, 整 理 得 (b +

∴b2+c2=a2.∴△ABC 为直角三角形,且∠A=90° .

第7讲 │ 要点热点探究

? 探究点二 三角形的面积问题 例 2 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知向量 m=(cosA,cosB),n=(2c+b,a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.

第7讲 │ 要点热点探究
解:(1)∵m⊥n,∴m· n=(cosA,cosB)· (2c+b,a)=(2c+b)cosA +acosB=0,由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,即 2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,整理可得 sinC+2sinCcosA= 1 2π 0.∵0<C<π,∴sinC>0,∴cosA=- ,∴A= . 2 3 (2)由余弦定理可得, a2 =b2 +c2 -2bccosA,即 16=b2 +c2 + 16 bc≥3bc(当且仅当 b=c 时取等号),故 bc≤ . 3 1 3 4 3 4 3 故△ABC 的面积为 S= bcsinA= bc≤ , 当且仅当 b=c= 2 4 3 3 时,△ABC 的面积取得最大值 4 3 . 3

第7讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 例3 解三角形的实际应用

如图 1-7-1,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B

之间的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一 个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B, C;并测量得到数据:∠ACD=90° ,∠ADC=60° ,∠ACB=15° ,∠BCE=105° , ∠CEB=45° ,DC=CE=1(百米). (1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离.

图 2-7-1

第7讲 │ 要点热点探究

[思考流程] (1)(已知)CD,CE 长度 ? (目标)求△CDE 的面 积 ? (方法)求出∠DCE,据三角形面积公式计算; (2)已知∠ACB ? (目标)A,B 之间的距离 ? (方法)在△ ACD,△BCE 求出 AC,BC,使用余弦定理求出 AB.

第7讲 │ 要点热点探究
解:(1)连结 DE,在△CDE 中,∠DCE=360° -90° -15° - 105° =150° , 1 1 1 1 1 S△BCD= DC· sin150° ×sin30° × = (平方百米) CE· = = 2 2 2 2 4

第7讲 │ 要点热点探究
(2)依题意知, Rt△ACD 中, 在 AC=DC· tan∠ADC=1×tan60° = 3, 在△BCE 中, ∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB=180° -105° -45° =30° , BC CE 由正弦定理 = sin∠CEB sin∠CBE CE 1 得 BC= · sin∠CEB= ×sin45° 2. = sin30° sin∠CBE ∵cos15° =cos(60° -45° )=cos60° cos45° +sin60° sin45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = 2 2 2 2 4 在△ABC 中,由余弦定理 AB2 =AC2 +BC2 -2AC· BCcos∠ 6+ 2 2 2 2 ACB,可得 AB = 3 + 2 -2 3× 2× =2- 3 4 ∴AB= 2- 3(百米)

第7讲 │ 要点热点探究

[点评] 解三角形的实际应用问题就是把求解的量纳入到一 个可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中,这个三角形的 一些元素如果不完全具备就要借助于其它的三角形求解,如本题 中就是先根据两个可解三角形求出了我们需要求解的三角形的 两边长度.

第7讲 │ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三

边时,可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理,使用余弦定理就 是根据余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形的三个边 和其中的一个内角,在这类试题中要注意方程思想的运用.

第7讲 │ 规律技巧提炼

1 ?技巧 在与三角形面积 S= absinC 有关的问题中, 注意使用 2 不等式
?a+b? ?2 ab≤? ? 2 ?. ? ?

?易错 当已知两边及一边的对角,而使用正弦定理解三角形 时,可能有一解、两解,注意讨论;在求与三角形内角有关的三角 函数取值范围、最值时忽视角的范围限制.

第7讲 │ 命题立意追溯

命题立意追溯
应用意识——通过解三角形进行数学建模 示例 某城市有一块不规则的绿地如图 2-7-2 所示,城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10, AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成 正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设 计使建造费用最低,请说明理由. 图 2-7-2

第7讲 │ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是考查利用三角形的知识进行数学建 模,解决实际问题的能力.首先需要把实际问题设计到的三角形 的元素确定下来,确定“谁的设计建造费用最低”这个问题的数 学模型,即“谁设计的三角形面积较小,谁的设计使建造费用最 低”,体现了使用解三角形知识建立数学模型的过程,考查了应 有意识.

第7讲 │ 命题立意追溯

[思考流程] (1)(已知)AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C =∠D ? (目标)求 AB 的长度 ? (方法)在△ABC, △ABD 中分别使 用余弦定理得关于 cosC,cosD 的方程,得出 cosC,在△ABC 再次 使用余弦定理可得; (2)(已知)AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D ? (目 标)比较两个三角形面积的大小 ? (方法)使用三角形面积公式可得 求面积.

第7讲 │ 命题立意追溯

解: (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC=162+102-2· 10cosC 16· 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcosD=142+142-2· 2cosC ② 14 由①②得:142+142-2· 2cosC=162+102-2· 10cosC 14 16· 1 整理可得 cosC= , 2 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. ①

第7讲 │ 命题立意追溯

(2)小李的设计符合要求. 1 1 理由如下:S△ABD= AD· BDsinD,S△ABC= AC· BCsinC. 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,所以 S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标 志费用较低. 即小李的设计符合要求.

第7讲 │ 命题立意追溯
[跟踪练] 在某海岸 A 处, 发现北偏东 30° 方向, 距离 A 处( 3+1)n mile 的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 15° 的方向,距离 A 处 n mile 的 C 处的 缉私船奉命以 n mile/h 的速度追截走私船. 此时, 走私船正以 5n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30° 方向 逃窜,问缉私船至少经过多长时间 可以追上走私船,并指出缉私船航 行方向.

图 2-7-3

第7讲 │ 命题立意追溯

解:设缉私船至少经过 t h 可以在 D 点追上走私船,则 CD=5 3 t,BD=5t, 在△ABC 中,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos(15° +30° )=4,∴BC=2, BC AC 由正弦定理得, = , sin45° sinABC ∴sinABC= 3 ,∠ABC=60° . 2

∴点 B 在 C 的正东方向上,∠DBC=120° .

第7讲 │ 命题立意追溯

又在△DBC 中,由正弦定理得

CD BD = , sin120° sinBCD

1 ∴sinBCD= ,∴∠BCD=30° . 2 2 ∴∠BDC=30° ,∴BD=BC,即 5t=2,∴t= , 5 又∠BCD=30° 2 故缉私船至少经过 h 可以追上走私船,缉私船的航行方向为 5 北偏东 60° .

第7讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例较为全面地考查了解三角形的知识和三角函数的 知识,在处理平面图形问题中的应用,可作热点考向2的补充; 例2主要考查三角恒等变换在解三角形中的应用,正弦定理只 是辅助作用,这也是三角函数解答题的命题方式之一,可作热 点考向2的补充.

第7讲 │ 教师备用例题

例 1 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cosA b 3 其中 c=2,且 = = . cosB a 1 (1)求证:△ABC 是直角三角形; → (2)如图,设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧AC上,求△ PAC 面积最大值.

第7讲 │ 教师备用例题
cosA sinB 解:(1)由正弦定理得 = , cosB sinA 整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B, 又因为 0<2A,2B<2π, ∴2A=2B 或 2A+2B=π, π 即 A=B 或 A+B= . 2 b 3 π ∵a= ,∴A=B 舍去,故 A+B= . 1 2 π π 由 A+B= 可知 C= ,∴△ABC 是直角三角形. 2 2

第7讲 │ 教师备用例题
(2)由(1)及 c=2,得 a=1,b= 3, ?π π? π ? <θ< ?,则∠PAC=θ- , 设∠PAB=θ 6 2? 6 ? 在 Rt△PAB 中,PA=AB· cosθ=2cosθ 所以 ? ? π? 1 π? 1 ?θ- ?= · cosθ· 3· ?θ- ? S△PAC= PA· sin AC· sin 6 ? 2 2· 6? 2 ? ? ? ? π? 3 1? ? = 3· cosθ· ?θ-6 ?= 3cosθ?sinθ· -cosθ·? sin 2 2? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 1+cos2θ = cosθsinθ- cos θ= sin2θ- × 2 2 4 2 2 ? π? 3? 3 3 3 ? 3 1 ? ? ?2θ- ?- = ? sin2θ- cos2θ?- = sin 6? 4 2?2 4 2 2 ? ? π π π π 5π 因为 <θ< ,所以 <2θ- < , 6 2 6 6 6 π π π 3 当 2θ- = ,即 θ= 时,S△PAC 最大值等于 . 6 2 3 4

第7讲 │ 教师备用例题

例 2 [2012·江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别
?π ? ?π ? π 为 a,b,c.已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

第7讲 │ 教师备用例题
?π ? ?π ? bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 ? ? ? ?

解:(1)证明:由

?π ? ?π ? sinBsin?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, ? ? ? ? ? sinB? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= 2 . 2 2 2 ? ? 2 ? 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,

即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2

第7讲 │ 教师备用例题

π 3π 5π π (2)由(1)知 B-C= ,又 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 2 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sinA 8 sinA 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2



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