9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学


第7讲 解三角形

第7讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 2008宁夏、海南卷第3题(A) 考点1 正弦定理 与余弦定理的应用

选择(1)
填空(2) 解答(1)

2010课程标准卷第16题(C)
2011课程标准卷第16题(C) 2012课程标准卷第17题 (1)(B) 2012课程标准卷第17题 (2)(B) 2009宁夏、海南卷第17题(B)

考点2 三角形面 积

解答(1)

考点3 解三角形 的

解答(1)

第7讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题围绕三点展开.第一个点是围绕 正弦定理、余弦定理解三角形展开,目的是考查使用这两个定 理解一般的斜三角形,通常是选择题或者填空题;第二个点是 围绕解三角形在实际问题中的应用展开,考查使用正弦定理、 余弦定理以及三角函数的知识解决实际应用问题的能力,一般 以解答题的方式进行考查;第三个点是三角函数、三角恒等变 换和解三角形的交汇,目的是考查综合运用知识解决问题的能 力,一般以解答题的方式进行考查.解三角形是高考中的一个 重要命题点.

第7讲 │ 二轮复习建议

?

预计2013年对该部分的考查会延续前几年的命 题方向,幵有适度的创新,如把平面向量、三角恒 等变换等结合起来进行考查. ? 复习建议:该部分的知识点不多,但可以与三 角函数、平面向量、实际应用题等问题相互交汇, 具有较为广阔的命题背景.从五年来全国课标的考 查情况看,该部分出现过一个实际应用题、一个解 三角形与三角变换交汇的解答题,出现过两个难度 为C级的解三角形的试题,因此复习该部分时要重 在引导学生提高使用正弦定理、余弦定理解一般的 斜三角形的能力(实际应用题也是解一般的斜三角形 ).

第7讲 │ 主干知识整合

主干知识整合
1.正弦定理 a b c = = =2R(R 外接圆半径), 变形: a=2RsinA, sinA sinB sinC b=2RsinB,c=2RsinC. 2.余弦定理 b2+c2-a2 a2 = b2 + c2 - 2bccosA , 变 形 : cosA = = 2bc ?b+c?2-a2 -1. 2bc BC 为钝角三角形可得相应结

第7讲 │ 主干知识整合

3.面积公式 1 abc 1 S= absinC.导出公式 S= (R 外接圆半径);S= (a+b 2 4R 2 +c)r(r 内切圆半径). 4.常用技巧 (1)利用正弦定理实现边角互化; π (2)若三角形 ABC 为锐角三角形, A+B> , 则 sinA>cosB, 2 cosA<sinB,a2+b2>c2.类比三角形 ABC 为钝角三角形可得相 应结论.

第7讲 │ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 正弦定理与余弦定理的应用 )

例1

(1)[2012· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对

的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cosC 的最小值为( 3 A. 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

(2)[2012· 陕西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别

第7讲 │ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求 cosC 只要求出 cos2B ? (推理)只 要求出 cosB ? (结论)在 8b=5c,C=2B 下使用正弦定理即得; (2)(分析)欲求 cosC 的最小值建立 cosC 关于边 a,b,c 的关 系式 ? (推理)代入 a2+b2=2c2 消去 c 得关于 a,b 的关系式 ? (结论)使用重要 a2+b2≥2ab 即得.

第7讲 │ 要点热点探究

[答案] (1)A

(2)C

[解析] (1)本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理, 考查运算求解能力,中档题. 4 由正弦定理得 8sinB=5sinC, ∵C=2B, ∴cosB= , ∴cosC 5 ?4? 7 2 ? ?2-1= . =cos2B=2cos B-1=2 5 25 ? ? a2+b2-c2 a2+b2 2ab 1 (2)由余弦定理知 cosC= = ≥ = .故选 2ab 4ab 4ab 2 C.

第7讲 │ 要点热点探究

?

[点评] 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理 得出方程进行的.当已知三角形边长的比时使用正 弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值,本例第 一题就是在这种思想指导下求解的;当已知三角形 三边之间的关系式,特别是边的二次关系式时要考 虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式, 再考虑问题的下一步解决方法.

第7讲 │ 要点热点探究

变试题

(1)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC

的最大值为________. (2) 在△ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC).判 断△ABC 的形状为________.

[答案] (1)2 7

(2)(2)直角三角形

第7讲 │ 要点热点探究
BC [解析] (1)A+C=120° ?C=120° -A,A∈(0,120° ), = sinA AC AB AC =2?BC=2sinA = =2?AB=2sinC=2sin(120° -A) sinB sinC sinB = 3cosA+sinA, ∴AB+2BC= 3cosA+5sinA= 28sin(A+φ)=2 7sin(A+ φ),故最大值是 2 7. (2)设 A,B,C 对边分别为 a,b,c,由已知等式利用正、余 弦定理得 b+c=a
? 2 2 2? c)??b +c -a ??=0.

?a2+c2-b2 a2+b2-c2? ? ? + ? 2ac 2ab ? ? ?

, 整 理 得 (b +

∴b2+c2=a2.∴△ABC 为直角三角形,且∠A=90° .

第7讲 │ 要点热点探究

? 探究点二 三角形的面积问题 例 2 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知向量 m=(cosA,cosB),n=(2c+b,a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.

第7讲 │ 要点热点探究
解:(1)∵m⊥n,∴m· n=(cosA,cosB)· (2c+b,a)=(2c+b)cosA +acosB=0,由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,即 2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,整理可得 sinC+2sinCcosA= 1 2π 0.∵0<C<π,∴sinC>0,∴cosA=- ,∴A= . 2 3 (2)由余弦定理可得, a2 =b2 +c2 -2bccosA,即 16=b2 +c2 + 16 bc≥3bc(当且仅当 b=c 时取等号),故 bc≤ . 3 1 3 4 3 4 3 故△ABC 的面积为 S= bcsinA= bc≤ , 当且仅当 b=c= 2 4 3 3 时,△ABC 的面积取得最大值 4 3 . 3

第7讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 例3 解三角形的实际应用

如图 1-7-1,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B

之间的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一 个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B, C;并测量得到数据:∠ACD=90° ,∠ADC=60° ,∠ACB=15° ,∠BCE=105° , ∠CEB=45° ,DC=CE=1(百米). (1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离.

图 2-7-1

第7讲 │ 要点热点探究

[思考流程] (1)(已知)CD,CE 长度 ? (目标)求△CDE 的面 积 ? (方法)求出∠DCE,据三角形面积公式计算; (2)已知∠ACB ? (目标)A,B 之间的距离 ? (方法)在△ ACD,△BCE 求出 AC,BC,使用余弦定理求出 AB.

第7讲 │ 要点热点探究
解:(1)连结 DE,在△CDE 中,∠DCE=360° -90° -15° - 105° =150° , 1 1 1 1 1 S△BCD= DC· sin150° ×sin30° × = (平方百米) CE· = = 2 2 2 2 4

第7讲 │ 要点热点探究
(2)依题意知, Rt△ACD 中, 在 AC=DC· tan∠ADC=1×tan60° = 3, 在△BCE 中, ∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB=180° -105° -45° =30° , BC CE 由正弦定理 = sin∠CEB sin∠CBE CE 1 得 BC= · sin∠CEB= ×sin45° 2. = sin30° sin∠CBE ∵cos15° =cos(60° -45° )=cos60° cos45° +sin60° sin45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = 2 2 2 2 4 在△ABC 中,由余弦定理 AB2 =AC2 +BC2 -2AC· BCcos∠ 6+ 2 2 2 2 ACB,可得 AB = 3 + 2 -2 3× 2× =2- 3 4 ∴AB= 2- 3(百米)

第7讲 │ 要点热点探究

[点评] 解三角形的实际应用问题就是把求解的量纳入到一 个可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中,这个三角形的 一些元素如果不完全具备就要借助于其它的三角形求解,如本题 中就是先根据两个可解三角形求出了我们需要求解的三角形的 两边长度.

第7讲 │ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三

边时,可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理,使用余弦定理就 是根据余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形的三个边 和其中的一个内角,在这类试题中要注意方程思想的运用.

第7讲 │ 规律技巧提炼

1 ?技巧 在与三角形面积 S= absinC 有关的问题中, 注意使用 2 不等式
?a+b? ?2 ab≤? ? 2 ?. ? ?

?易错 当已知两边及一边的对角,而使用正弦定理解三角形 时,可能有一解、两解,注意讨论;在求与三角形内角有关的三角 函数取值范围、最值时忽视角的范围限制.

第7讲 │ 命题立意追溯

命题立意追溯
应用意识——通过解三角形进行数学建模 示例 某城市有一块不规则的绿地如图 2-7-2 所示,城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10, AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成 正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设 计使建造费用最低,请说明理由. 图 2-7-2

第7讲 │ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是考查利用三角形的知识进行数学建 模,解决实际问题的能力.首先需要把实际问题设计到的三角形 的元素确定下来,确定“谁的设计建造费用最低”这个问题的数 学模型,即“谁设计的三角形面积较小,谁的设计使建造费用最 低”,体现了使用解三角形知识建立数学模型的过程,考查了应 有意识.

第7讲 │ 命题立意追溯

[思考流程] (1)(已知)AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C =∠D ? (目标)求 AB 的长度 ? (方法)在△ABC, △ABD 中分别使 用余弦定理得关于 cosC,cosD 的方程,得出 cosC,在△ABC 再次 使用余弦定理可得; (2)(已知)AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D ? (目 标)比较两个三角形面积的大小 ? (方法)使用三角形面积公式可得 求面积.

第7讲 │ 命题立意追溯

解: (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC=162+102-2· 10cosC 16· 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcosD=142+142-2· 2cosC ② 14 由①②得:142+142-2· 2cosC=162+102-2· 10cosC 14 16· 1 整理可得 cosC= , 2 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. ①

第7讲 │ 命题立意追溯

(2)小李的设计符合要求. 1 1 理由如下:S△ABD= AD· BDsinD,S△ABC= AC· BCsinC. 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,所以 S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标 志费用较低. 即小李的设计符合要求.

第7讲 │ 命题立意追溯
[跟踪练] 在某海岸 A 处, 发现北偏东 30° 方向, 距离 A 处( 3+1)n mile 的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 15° 的方向,距离 A 处 n mile 的 C 处的 缉私船奉命以 n mile/h 的速度追截走私船. 此时, 走私船正以 5n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30° 方向 逃窜,问缉私船至少经过多长时间 可以追上走私船,并指出缉私船航 行方向.

图 2-7-3

第7讲 │ 命题立意追溯

解:设缉私船至少经过 t h 可以在 D 点追上走私船,则 CD=5 3 t,BD=5t, 在△ABC 中,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos(15° +30° )=4,∴BC=2, BC AC 由正弦定理得, = , sin45° sinABC ∴sinABC= 3 ,∠ABC=60° . 2

∴点 B 在 C 的正东方向上,∠DBC=120° .

第7讲 │ 命题立意追溯

又在△DBC 中,由正弦定理得

CD BD = , sin120° sinBCD

1 ∴sinBCD= ,∴∠BCD=30° . 2 2 ∴∠BDC=30° ,∴BD=BC,即 5t=2,∴t= , 5 又∠BCD=30° 2 故缉私船至少经过 h 可以追上走私船,缉私船的航行方向为 5 北偏东 60° .

第7讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例较为全面地考查了解三角形的知识和三角函数的 知识,在处理平面图形问题中的应用,可作热点考向2的补充; 例2主要考查三角恒等变换在解三角形中的应用,正弦定理只 是辅助作用,这也是三角函数解答题的命题方式之一,可作热 点考向2的补充.

第7讲 │ 教师备用例题

例 1 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cosA b 3 其中 c=2,且 = = . cosB a 1 (1)求证:△ABC 是直角三角形; → (2)如图,设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧AC上,求△ PAC 面积最大值.

第7讲 │ 教师备用例题
cosA sinB 解:(1)由正弦定理得 = , cosB sinA 整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B, 又因为 0<2A,2B<2π, ∴2A=2B 或 2A+2B=π, π 即 A=B 或 A+B= . 2 b 3 π ∵a= ,∴A=B 舍去,故 A+B= . 1 2 π π 由 A+B= 可知 C= ,∴△ABC 是直角三角形. 2 2

第7讲 │ 教师备用例题
(2)由(1)及 c=2,得 a=1,b= 3, ?π π? π ? <θ< ?,则∠PAC=θ- , 设∠PAB=θ 6 2? 6 ? 在 Rt△PAB 中,PA=AB· cosθ=2cosθ 所以 ? ? π? 1 π? 1 ?θ- ?= · cosθ· 3· ?θ- ? S△PAC= PA· sin AC· sin 6 ? 2 2· 6? 2 ? ? ? ? π? 3 1? ? = 3· cosθ· ?θ-6 ?= 3cosθ?sinθ· -cosθ·? sin 2 2? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 1+cos2θ = cosθsinθ- cos θ= sin2θ- × 2 2 4 2 2 ? π? 3? 3 3 3 ? 3 1 ? ? ?2θ- ?- = ? sin2θ- cos2θ?- = sin 6? 4 2?2 4 2 2 ? ? π π π π 5π 因为 <θ< ,所以 <2θ- < , 6 2 6 6 6 π π π 3 当 2θ- = ,即 θ= 时,S△PAC 最大值等于 . 6 2 3 4

第7讲 │ 教师备用例题

例 2 [2012·江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别
?π ? ?π ? π 为 a,b,c.已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

第7讲 │ 教师备用例题
?π ? ?π ? bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 ? ? ? ?

解:(1)证明:由

?π ? ?π ? sinBsin?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, ? ? ? ? ? sinB? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= 2 . 2 2 2 ? ? 2 ? 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,

即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2

第7讲 │ 教师备用例题

π 3π 5π π (2)由(1)知 B-C= ,又 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 2 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sinA 8 sinA 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2



更多相关文章:
数学发展史
数学发展史_历史学_高等教育_教育专区。数学发展史高等数学教学辅助资料(上册) 数学发展简史数学是人类最古老的科学知识之一。就人类对数的认识和运用来看,一般讲 从...
三年级上册数学周长单元
三年级上册数学周长单元 一、填空。 1、 ( )图形( )的长度叫做周长。 )或( )。 )厘米。 )。)) 2、长方形的周长= ( 正方形的周长= 3、多边形的周长就...
八年级上数学小论文
好题分享在数学的海洋里,有许多种题型,每一种题型都含有不同的知识点,它们有效 地帮助我们复习,更利于我们的提高。 例如这一题:1、如图,AB=AE,∠B=∠E,BC...
数学课堂观察记录与分析
课堂观察记录与分析学员姓名 观察对象 观察点 李淑珍 七年级数学 学员单位 授课内容 木城初中 观察时间 11.22 解一元一次方程(一) 教学实施优缺分析 教学行为调整...
数学小故事
数学小故事_数学_小学教育_教育专区。数学符号的故事很久很久以前,数学王国里乱糟糟的,没有任何秩序。0~9 十个 兄弟不仅在王国中称王称霸, 而且他们彼此之间总是...
数学椭圆
数学椭圆 隐藏>> 一. 本周教学内容: 椭圆及其标准方程及几何性质 二. 重点、难点 1. 椭圆定义及标准方程 定义:平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大...
数学的感想
数学的感想_理学_高等教育_教育专区。数学我对数学的感想宇宙是神秘的,而打开这扇未知之门的钥匙,就是数学! 当然有很多同学对数学有畏惧敢,就觉得它没多大用,...
数学常用英文词汇
数学社 提供 AMC 常用词汇 negative number 负数 一、 基本图形 odd integer,odd number 奇数 even integer,even number 偶数 integer,whole number 整数 positive ...
小学高段数学教研组工作计划
高段数学教研组工作计划一、指导思想认真贯彻党的教育方针, 在学校教导处的领导下, 严格执行学校的各项教育、 教学制度和要求,认真地在教导处的领导下完成各项任务...
初二数学矩形教案
初二数学教案 16.2.1 矩形 一、教学目标 1.经历探索矩形的有关性质的过程,在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生 初步的合情推理能力和主动探究习惯,逐步...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图