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广东省执信中学2012-2013学年高一下学期期末数学试题



2012-2013 学年度第二学期

高一级数学科期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答, 答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.直线 3 x ? y ? 0 的倾斜角为( A. ) C.

第一部分选择题(共

? ? ? ? 2. 已知向量 a 表示 “向东航行 1km” 向量 b 表示 , “向南航行 1km” 则向量 a ? b 表示 , (

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6



A.向东南航行 2 km 2km

B.向东南航行 2km C.向东北航行 2 km

D.向东北航行

3.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x y ? x 2 ? 2 x } , B ? { y y ? 2 x , x ? R} ,则 A ? B 等于( A. {x x ? 2} B. {x 0 ? x ? 1} C. {x x ? 2} D. {x x ? 0}

)

4.已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 0 ,若 a2 ? 4 ,则 a1 ? a2 ? a3 的最值情况为( A.有最小值 ? 4 B.有最大值 ? 4 C.有最小值 12 D.有最大值 12



5.过点 P( 0, 1 ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长的直线方程是 ( ) A. x ? 0 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 )

a?b 1 1 6.若不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x x ? ? 或 x ? } ,则 的值为( 2 3 a
A.

1 6

B. ?

1 6

C.

5 6

D. ?

5 6


7.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,2) 内单调递增的是( A. y ? x B. y ? e x ? e ? x C. y ? x sin x D. y ? tan x

8. 直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 9 的位置关系是( A.相离
? ?

) D.不确定

B.相交

C.相切 )
? ?

9. 设 a, b 是两个非零向量,下列选项正确的是( A.若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b

?

?

?

?

?

?

B .若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b
? ?

?

?

?

?

C.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 a ? b ? a ? b
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

10. 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 如 图 所 示 , 在 区 间 [a, b] 上 可 找 到 n(n ? 2 )个 不 同 的 数

x1 , x 2 ,?, xn ,使得
f ( xn ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? ??? ,则 n 的取值范围为( x1 x2 xn
A. {2,3} C. {3,4} B. {2,3,4} D. {3,4,5} )

第二部分非选择题 (共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11.已知等差数列 ? an ? 的前三项依次为 a ? 1, 2a ? 1 , a ? 4 ,则 a ? 12.已知两直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与 3x ? ay ? 0 平行,则 a ? ___________ . 13.从 0,1,2,3 中任意取出两个不同的数,其和为 3 的概率是________ . 14.已知角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的终边过 P(sin 15.在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则 .

2? 2? , cos ) ,则 ? = 3 3




a 的取值范围是 b

16 . 对 于 定 义 域 为 D 的 函 数 f ? x ? , 若 存 在 区 间 M ? [a, b] ? D(a ? b) , 使 得

?y y ? f ?x ?, x ? M ? ? M
则称区间 M 为函数 f ? x ? 的“等值区间”.给出下列三个函数:

1 ① f ( x) ? ( ) x ; 2

② f ( x) ? x 3 ;

③ f ( x) ? log 2 x ? 1

则存在“等值区间”的函数的个数是___________. ks5u

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 1 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 4 (Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值. 18. (本题满分 10 分) 已知圆 C:x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l 经过点 D(?2,0) , (Ⅰ)求以线段 CD 为直径的圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,且 ?ABC 为等腰直角三角形,求直线 l 的方程. ks5u

19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin(? ? ?x ), cos?x ) , b ? (1,1) ,且 f ( x ) ? a ? b 的最小正周期为 ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,
? ? ? ?

?

2

) ,解方程 f ( x) ? 1 ;

(Ⅲ)在 ?OAB 中, A(x,2) , B(?3,5) ,且 ?AOB 为锐角,求实数 x 的取值范围.

ks5u

20. (本题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产 .. 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) . 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 , 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生 ? 1450 (万元) .. x

产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; ..

(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

21. (本题满分 14 分) 若圆 C 经过坐标原点和点 (6,0) , 且与直线 y ? 1 相切, 从圆 C 外一点 P(a, b) 向该圆引切线

PT , T 为切点,
(Ⅰ)求圆 C 的方程;ks5u (Ⅱ)已知点 Q(2,?2) ,且 PT ? PQ , 试判断点 P 是否总在某一定直线 l 上,若是,求 出l 的 方程;若不是,请说明理由; (Ⅲ)若(Ⅱ)中直线 l 与 x 轴的交点为 F ,点 M , N 是直线 x ? 6 上两动点,且以 M , N 为 直径的 圆 E 过点 F ,圆 E 是否过定点?证明你的结论.

22. (本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? tx ? 2tx (t ? 0)
2

(Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集; ( Ⅱ ) 若 t ? 1 , 记 S n 为 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 且 a1 ? 1 , a n ? 0 (n ? N ) 点 ,
?

( S n ?1 ? S n ,2a n ?1 ) 在函数 f (x) 的图像上,求 S n 的表达式.

2012-2013 学 年 度 第 二 学 期
高一级数学期末考试答卷
???????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O 注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区
域内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效。 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要 求作答的答案无效。

题号

选择题

填 空 题

17

18

19

20

21

22

总分

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

得分

二、填空题 11. ; 12. ; 13. ;

14. 三、解答题 17.解:

; 15.

; 16.



18.解:

19.解:

??????O

20.解:

????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线????????????????

_姓名:_______________学号:_______________ _________姓名:_______________学号:_______________

?????????????????????? O?????????????????????? 封 ??????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? ?????????????????????? 线??????????????????????O ?????????????????? 线??????????????????????O 21.

22.解:

2012-2013 学年度第二学期 高一级数学期末试题答案
一、选择: BACCC

1 二、填空: 11. 2
三、解答:
2

CBBCB 3 11 12. ? 13. ? 2 6
2 2

14.

1 3

15. ( 2 , 3 )

16. 2

17.解: (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cosC ? 1 ? 4 ? 4 ? ∴c ? 2

1 ? 4 ----1 分 4

∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 .----2 分

(Ⅱ)∵ cosC ?

15 1 ?1? 2 ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? ,----4 分 4 4 ?4?

2

∴ sin A ?

a sin C ? c

15 4 ? 15 ----6 分 2 8

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,----7 分 ks5u

? 15 ? 7 ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? ? 8 ----8 分 ? ?
2

2

∴ cos? A ? C ? ? cos A cosC ? sin Asin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? ----10 分 8 4 8 4 16

18.解: (1)将圆 C 的方程 x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x 2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , 则此圆的圆心为 C(0 , 4) ,半径为 2. ----2 分 所以 CD 的中点 E (?1, 2) , | CD |? 22 ? 42 ? 2 5 ,----4 分

? r ? 5 ,所以圆 E 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;----5 分 (2) 设直线 l 的方程为: y ? 0 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 0 ----6 分
易知 | CA |? 2 ,又由 ?ABC 为等腰直角三角形,得 | AB |? 2 | CA |? 2 2 , 所以圆心 C 到直线 l 的距离 解得 k ? 1或k ? 7 , 所求直线 l 的方程为: x ? y ? 2 ? 0 或 7 x ? y ? 14 ? 0 ----10 分 19. (Ⅰ)f ( x) ? a? b ? sin(? ? ? x) ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? 解: 分
? ?

| 0 ? 4 ? 2k | k ?1
2

=

2 | CA | = 2 . ----8 分 2

2 sin(? x ? ) ----2 4

?

?? ?

2?

?

? ? ? 2 ----4 分
2 s i n (x2 ?

( Ⅱ ) 由 f ( x) ?

?
4

得 ?) ,1 2 x ?

?
4

?

?
4

? 2k? 或 2 x ?

?
4

?

k ? Z ----6 分
又 x ? (0,

3? ? 2k? , 4

?

2 4 ??? ? ??? ? (Ⅲ) OA ? ( x, 2), OB ? (?3,5) ? ?AOB 为锐角,ks5u
??? ??? ? ? 10 ? 0 ? OA ? OB ? ?3x ? 10 ----10 分? x ? 3 10 6 ? x ? 且 x ? ? ----12 分 3 5
又x ? ?

),

?x?

?

----8 分

? ? 6 ??? ??? 、 时 OA OB同向 ----11 分 5

20.解: (Ⅰ)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元, .. .. 依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .----2 分 3
当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ?

10000 ? 1450 ? 250 x

= 1200 ? ? x ?

? ?

10000 ? ? .----4 分 x ?

? 1 2 ?? 3 x ? 40 x ? 250 (0 ? x ? 80 ), ? 所以 L( x) ? ? ----6 分 ?1200 ? ? x ? 10000 ?( x ? 80 ). ? ? ? x ? ? ?
(Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 . 此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950 万元. ----8 分 当 x ? 80 时, L( X ) ? 1200 ? ( x ? 当x?

1 3

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元. ----11 分 x ?950 ? 1000
所以, 当产量为 100 千件时, 该厂在这一商品中所获利润最大, 最大利润为 1000 万元.----12 分

21. (Ⅰ) 解 设圆心 C (m, n) 由题易得 m ? 3 ----1 分 分 得 n ? ?4 , r ? 5 ----3 分 ( Ⅱ )
2

半径 r ? 1 ? n ?

9 ? n 2 ,----2

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 ----4 分
2 2




2





PT ? CT

----5







PT ?

PC ? CT

? (a ? 3) 2 ? (b ? 4) 2 ? 25 -----6 分

PQ ? (a ? 2) 2 ? (b ? 2) 2 ----7 分
2 2 所以 (a ? 3) ? (b ? 4) ? 25 ?

(a ? 2) 2 ? (b ? 2) 2

整理得 a ? 2b ? 4 ? 0

所以点 P 总在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上----8 分 (Ⅲ) F (?4,0) ----9 分 由题可设点 M (6, y1 ) , N (6, y 2 ) ,

则圆心 E (6,

y1 ? y 2 y1 ? y 2 ----10 分 ) ,半径 r ? 2 2
2

从而圆 E 的方程为 ( x ? 6) ? ( y ?

y1 ? y 2 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ) ? ----11 分 2 4

整 理 得 x ? y ? 12 x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 36 ? y1 y 2 ? 0
2 2

又点 F 在圆 E 上,故

FM ? FN ? 0
得 y1 y 2 ? ?100 ----12 分
2

?

?

所以 x ? y ? 12 x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 64 ? 0
2 2

令 y ? 0 得 x ? 12 x ? 64 ? 0 ,----13 分 所以圆 E 过定点 (16,0) 和 (?4,0) ----14 分

所以 x ? 16 或 x ? ?4

22.解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 即: tx 2 ? 2tx ? 1 ? 0 , ① t ? 0 时,方程 tx ? 2tx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4t ? 4t ? 0 ----1 分
2 2

方程两根为 x ?

?t ? t2 ? t ----2 分 t

解集是 (??,

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t )?( , ??) ----3 分 t t
2 2

② t ? 0 时,方程 tx ? 2tx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4t ? 4t Ⅰ)当 4t ? 4t ? 0 ,即 ? 1 ? t ? 0 时,解集是 ? ----4 分
2

Ⅱ)当 4t ? 4t ? 0 即 t ? ?1 时,解集是 (
2

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t , ) ----5 分 t t

综上所述,t ? 0 时, 解集是 (??,

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t )?( , ??) ; ? 1 ? t ? 0 时,解集是 t t

?;
t ? ?1 时,解集是 (
?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t , ) ----6 分 ks5u t t
点 ( S n ?1 ?

(Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 x
2

S n ,2a n ?1 ) 在函数 f (x) 的图像上,

即 2a n ?1 ? ( S n ?1 ? 整理得

S n ) 2 ? 2( S n ?1 ? S n ) ----7 分 ks5u

( Sn ?1 ? Sn )( Sn ?1 ? Sn ? 2) ? 2an ?1 ? 2( Sn ?1 ? Sn ) ? 2( Sn ?1 ? Sn )( Sn ?1 ? Sn )

? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2( Sn ?1 ? Sn )

? S n ?1 ? 3 S n ? 2

----9 分

? ( S n ?1 ? 1) ? 3( S n ? 1) ,又 S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 ,----10 分
所以 { S n ? 1}是首项为2,公比为3的等比数列。

? Sn ? 1=2 ? 3n ?1

? Sn =(2 ? 3n?1 ? 1) 2 , n ? N ? ----12 分



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