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1.1两个基本计数原理(1)


有待探索的自然界是有规律的,相 信基本规律是简明单纯的。 ----爱因斯坦

两个基本计数原理

问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车 有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法?

解:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所 以共有 3+2=5 种不同的走法。

分类计数原理 (加法原理)
做一件事,完成它可以有n类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法,……, 在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 ____________________种不同的方法. N=m1十m2十…十mn 要点: (1)分类, (2)相互独立(并联) (3)各类办法之和

问题二:从甲地到乙地,要从甲地先乘火 车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中,火车有3班,汽车有2班。那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

这个问题与前一个问题有什么区别?

在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的 任何一种方式,都可以从甲地到乙地;而在这 个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤,才能从甲地到乙地.

分步计数原理(乘法原理):完成一件 事,需要分成n个步骤,做第1步有m 种不
1

同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…, 做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事 共有N = m1×m2×…×mn种不同的方法. 要点: (1)分步; (2)每步缺一不可,依次完成; (3) N = m1×m2×…×mn (各步方法之积)

两个原理的联系、区别:
分类计数原理 分步计数原理

联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事,共有n类 完成一件事,共分n个 区别1 办法,关键词“分类” 步骤,关键词“分步”
每类办法相互独立, 各步骤中的方法相互依 每类方法都能独立地 存,只有各个步骤都完 区别2 完成这件事情 成才算完成这件事

例题:
(1)在图I的电路中,只合上一只开关 以接通电路,有多少种不同的方法? (2)在图II的电路中,合上两只开关以 接通电路,有多少种不同的方法?

练习题:
1 书架的上层放有 5 本不同的数学书,中层放 有6本不同的语文书,下层放有4本不同的英语 书,从中任取1 本书的不同取法的种数是( ) A.5+6+4=15 B.1 C.6×5×4=120 D. 3

2 在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各 一本,则不同取法的种数是 ( ) A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15

C.

5×6×4 = 120

D. 1

3.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是

(
A. 12 B.64 C.81 D.7

)

4.火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车 的可能方式有 ( )种 A. 510 B. 105

C.

50

D.

以上都不对

例题: 用四种颜色给如图所示的地图上色, 要求相邻两块涂不同的颜色,共有 多少种不同的涂法?

练习:
书架上原来并排放着5本不同的 书,现要插入三本不同的书,那么 不同的插法有多少种?

例: (1)由数字l,2,3,4,5可以组成 多少个数字允许重复的三位数? (2)由数字l,2,3,4,5可以组成 多少个数字不允许重复的三位数? (3)由数字0,l,2,3,4,5可组成 多少个数字不允许重复三位数?

练习 1.由0-9这10个数字可以组成多少 个没有重复数字的三位数? 可组成多少个没有重复数字的且能 被5整除的三位数?

思考题:

4张卡片的正、反面分别有0与 1,2与3,4与5,6与7,将其中 3张卡片排放在一起,可组成多 少个不同的三位数?


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