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高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4


极坐标与参数方程单元练习 3
一.选择题(每题 5 分共 60 分)

?0 ? ? ? ? ? , M ? x1 , y1 ? , N ? x 2 , y 2 ? 是椭圆上两点, ? y ? b sin ? M,N 对应的参数为 ? 1 , ? 2 且 x1 ? x 2 ,则
1.设椭圆的参数方程为 ? A. ? 1 ? ? 2 B. ? 1 ? ? 2 C. ? 1 ? ? 2 D. ? 1 ? ? 2

? x ? a cos ?

2.直线:3x-4y-9=0 与圆: ?

? x ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ?

,(θ 为参数)的位置关系是(

)

A.相切

B.相离

C.直线过圆心

D.相交但直线不过圆心

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为 ( )

? 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程是 3

? ? x ? 1? ? A. ? ?y ? 5 ? ? ?

1

? ? x ? 1? ? 2 B. ? 3 ?y ? 5 ? t ? 2 ? t

1

? ? x ? 1? 2 C. ? ? 3 ?y ? 5 ? t ? 2 ? t

1

? ? x ? 1? ? 2 D. ? 3 ?y ? 5 ? t ? 2 ? t

1

t 2 3 2

t

1 ? ?x ? t ? 4.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的曲线是 ( ? y ? ?2 ?
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线

)

D.两条直线

5.若动点(x,y)在曲线

x2 4

?

y2 b2

? 1 (b>0)上变化,则 x2? 2y 的最大值为

?b 2 ? ?4 (A) ? 4 ? 2b ?

(0 ? b ? 4) ; (b ? 4 )
2 2

?b 2 ? ?4 (B) ? 4 ? 2b ?
2 2

2 (0 ? b ? 2) ;(C) b ? 4 (D) 2b。 4 (b ? 2 )

6.实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为( )

A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

7.曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2
2 ? y ? t ?1

(t 是参数),则曲线是

A、线段

B、双曲线的一支
2 2

C、圆

D、射线

8. 已知动园: x ? y ? 2 ax cos ? ? 2by sin ? ? 0( a, b是正常数 ,a ? b, ?是参数 ) ,则 圆心的轨迹是 A、直线 B、圆 C、抛物线的一部分 D、椭圆

9. 在参数方程 ?

? x ? a ? t cos ? ? y ? b ? t sin ?

(t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参

数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是

10.设 r ? 0 ,那么直线 x cos ? ? y sin ? ? r ??是常数 ? 与圆 ? 关系是 A、相交 B、相切 C、相离
2

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

??是参数 ? 的位置

D、视 的大小而定

11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的是

12.已知过曲线 ? 为

? x ? 3 cos ? ? y ? 4 sin ?

??为参数 ,0 ? ?

? ? ? 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角

? ,则 P 点坐标是 4
?3 2 ? B、 ? , 2? 2 ? 2 ? ? ?

A、(3,4)

C、(-3,-4)

? 12 12 ? D、 ? , ? ? 5 5 ?

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 13.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角为 的弦,若弦长不超过 8,则 ________________________________。
2

的取值范围是

? x ? ? 2 ? 2t ?t为参数 ?上与点 P ?? 2, ? 距离等于 2 的点的坐标是 14.直线 ? 3 ? y ? 3 ? 2t
15.圆锥曲线 ?

? x ? 2 tan ? ? y ? 3 sec ?

??为参数 ? 的准线方程是
? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长 3

16.直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是 为

17.曲线 ?

? x ? a sec ? ? y ? b tan ?

(α为参数)与曲线 ?

? x ? a tan ? ? y ? b sec ?

(β为参数)的离心率分

别为 e1 和 e2,则 e1+e2 的最小值为_______________.
三.解答题(共 65 分

?x ? 2 ? t ( t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 18. 求直线 ? ? y ? 3t

19.已知方程



(1)试证:不论 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线; (2) ? 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长?并求出此弦长。

20.已知椭圆 ?

? x ? 4 cos ? ? y ? 5 sin ?

上两个相邻顶点为 A、C,又 B、D 为椭圆上的两个动点,且 B、D

分别在直线 AC 的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

21.已知过点 P(1,-2),倾斜角为

? 2 的直线 l 和抛物线 x =y+m 6

(1)m 取何值时,直线 l 和抛物线交于两点?

(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为

4 3?2 3

.

极坐标与参数方程单元练习 3 参考答案
答案 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

? ? 3? ? 13. ? ? ? , ? ?4 4 ?

;14. ?? 3,4 ?, ?? 1,2 ? ; 15. y ? ?

9 13 13

;16. 10 ? 6 3 ;17. 2 2

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? ( t 为参数) 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? 3 ?y ? t ? 2 ?
? 3 1 ? ? 代入 x ? y ? 1,得:2 ? t ? ? ? t ? ? 2 2 ? ? ?
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

整理,得: t 2 ? 4t ? 6 ? 0 设其二根为 t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 4, t1 ?t 2 ? ?6
从而弦长为 AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2

? 4t 1 t 2 ?

4 2 ? 4 ?? 6 ? ?

40 ? 2 10

19(1)把原方程化为 ? y ? 3 sin ? ? ? 2( x ? 4 cos ? ) ,知抛物线的顶点为 ?4 cos ? ,3 sin ? ? 它
2

是在椭圆

x2 16

?

y2 9

? 1 上;(2)当

时,弦长最大为 12。

20、 20 2

21.(1)m>

23 ? 4 3 12

,(2)m=3

极坐标与参数方程单元练习 4
(一)选择题:

[
A.(2,-7) B.(1,0)

]

A.20°

B.70°

C.110°

D.160°

[ A.相切 B.相离 C.直线过圆心

]

D.相交但直线不过圆心

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆 [ ]

C.5 (二)填空题:

D.6

8.设 y=tx(t 为参数),则圆 x2+y2-4y=0 的参数方程是______.

10.当 m 取一切实数时,双曲线 x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0 的中心的轨 迹方程为______. (三)解答题:

时矩形对角线的倾斜角α.

13.直线 l 经过两点 P(-1,2)和 Q(2,-2),与双曲线(y-2)2-x2=1 相 交于两点 A、B, (1)根据下问所需写出 l 的参数方程; (2)求 AB 中点 M 与点 P 的距离.

14. 设椭圆 4x2+y2=1 的平行弦的斜率为 2, 求这组平行弦中点的轨迹.

15.若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线.现测得我炮位 A 与炮 击目标 B 在同一水平线上,水平距离为 6000 米,炮弹运行的最大高 度为 1200 米.试求炮弹的发射角α和发射初速度 v0(重力加速度 g=9.8 米/秒 2).

极坐标与参数方程单元练习 4 参考答案
(一)1.C 2.C 3.D 4.B 5.A (二)6.(1,0),(-5,0) 7.4x2-y2=16(x≥2)

9.(-1,5),(-1,-1) 10.2x+3y=0 (三)11.圆 x2+y2-x-y=0.

14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,

设弦 AB 的中点为 M(x,y),则

15.在以 A 为原点,直线 AB 的 x 轴的直角坐标系中,弹道方程是

它经过最高点(3000, 1200)和点 B(6000, 0)的时间分别设为 t0 和 2t0, 代入参数方程,得

极坐标与参数方程单元练习 5
一.选择题(每题 5 分共 50 分)

?? ? 1.已知 M ? ? 5, ? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是 3? ?

?? ? A. ? 5, ? ? 3? ?

? 4? ? B. ? 5, ? ? 3 ?

2? ? ? C. ? 5, ? ? 3 ? ?

5? ? ? D. ? ? 5, ? ? 3 ? ?

2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是

?

?

? ? ? A. ? 2 , ? ? 3?

? 4? ? B. ? 2, ? 3 ? ?

?? ? C. ? 2, ? ? 3? ?

4? ? ? D. ? 2, ? ? 3 ? ?

?? ? 3.极坐标方程 ? ? cos? ? ? ? 表示的曲线是 ?4 ?
A.双曲线 4.圆 ? ? B.椭圆 C.抛物线 D.圆

2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是
?1 ? ? B. ? , ? ?2 4?

? ? ? A. ? 1, ? ? 4?

?? ? C. ? 2 , ? 4? ?

? ? ? D. ? 2 , ? ? 4?

5.在极坐标系中,与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线方程为 A. ? sin ? ? 2 B. ? cos ? ? 2 C. ? cos ? ? 4 D. ? cos ? ? ? 4

?? ? 3? ? ? 6、 已知点 A? ? 2, ? ?, B ? 2 , ?, O ?0,0 ? 则 ? ABO 为 2? ? 4 ? ?
A、正三角形 7、 ? ? B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形

?
4

( ? ? 0 ) 表示的图形是

A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆 8、直线 ? ? ? 与 ? cos(? ? ? ) ? 1 的位置关系是

A、平行

B、垂直

C、相交不垂直

D、与

有关,不确定

9.两圆 ? ? 2 cos ? , ? ? 2 sin ? 的公共部分面积是

? 2 ? 10.已知点 P1 的球坐标是 P1 ( 2 3 , ? , ) , P2 的柱坐标是 P2 ( 5 , ? ,1) ,求 P1 P2 . 4
A. B. ? ? 2 C. D. A. 2 B. 3 C. 2 2 D.

? 1 ? 4 2

? ?1 2

2 2

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11.极坐标方程 4 ? sin
2

?
2

? 5 化为直角坐标方程是

? ?? 12.圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?
13.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 2

,则极点到直线的距离是

? ? 11? ? 14、在极坐标系中,点 P ? 2, ? 到直线 ? sin( ? ? ) ? 1 的距离等于____________。 6 6 ? ?
? 对称的曲线的极坐标方程是 4

15、与曲线 ? cos ? ? 1 ? 0 关于 ? ? ________________________。 三.解答题(共 75 分)

16.说说由曲线 y ? tan x 得到曲线 y ? 3 tan 2 x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换。 分) (7

? 2 ? ' ' 17.已知 P ? 5, ? ? ,O 为极点,求使 ? POP 是正三角形的 P 点坐标。(8 分) 3 ? ?

18.棱长为 1 的正方体 OABC ? D A B C 中,对角线 OB 与 BD 相交于点 P,顶点 O 为坐
' ' ' ' '
'

标 原 点 , OA 、 OC 分 别 在 x轴, y轴 的 正 半 轴 上 , 已 知 点 P 的 球 坐 标 P ? ? , ? , ? ? , 求

? , t a n? , s i n? 。(10 分)

19. ? ABC 的底边 BC ? 10 , ? A ? 程。(10 分)

1 2

? B , 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方

20. 在平面直角坐标系中已知点 A (3, , 是圆珠笔 x ? y ? 1 上一个运点, ? AOP 0) P 且
2 2

?

?

的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 (10 分)

P Q O A

? ? ? 21、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ? 3, ? ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。 ? 6?
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹方程。(10 分)

22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2 ( >0),半圆外一条直线 与 AB 所在直 线垂直相交于点 T,并且∣AT∣=2 a ( 2 a ?

) 。若半圆上相异两点 M、N 到 的距离∣MP∣, 2 ∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。
(10 分)

r

23.如图, AD ? BC ,D 是垂足,H 是 AD 上任意一点,直线 BH 与 AC 交于 E 点,直线 CH 与 AB 交于 F 点,求证: ?EDA ? ?FDA (10 分)

极坐标与参数方程单元练习 5 参考答案
答案 一.选择题 题号 1 答案 A 二.填空题 11. y ? 5 x ?
2

2 C

3 D

4 A

5 B

6 D

7 A

8 B

9 C

10 A

25

? ? ;12. ? ? 6 cos? ? ? 4 6 ?

2 ? ; 14. 3 ? 1 ;15. ? sin ? ? 1 ? 0 ? ;13. 2 ?

三.解答题 16.解: y ? tan x 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

1 2

,得到 y ? tan 2 x ,

再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y ? 3 tan 2 x 。 设 y ? 3 tan x ,变换公式为
' '

? x ' ? ? x, ? ? 0 ? ' ? y ? ?y , ? ? 0
将其代入 y ? 3 tan x 得
' '

? ' 1 ?? ? 3 ? ?x ? x ?? ? 1 ,? ? 2 ? ? y' ? 3y 2 ? ?
17. P (5,
'

?
3

) 或 P ' (5, ? )

18. ? ?

3 2

a , tan ? ?

2 , sin ? ? 1

19.解:设 M ?? , ? ? 是曲线上任意一点,在 ? ABC 中由正弦定理得:

?
sin(? ? 3 2

?

10 sin

?)

?
2

得 A 的轨迹是: ? ? 30 ? 40 sin

2 ?

2

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q ?? , ? ? , P ?1,2? ?

? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP

?

1 2

? 3 ? sin ? ? 3 2 cos ?

1 2

? sin ? ?

1 2

? 3 ? 1 ? sin 2?

? ?

?? ? 2 21.(1) ? ? 6 ? cos? ? ? ? ? 0 6? ?

? ? 2 (2) ? ? 15 ? cos? ? ? 6 ?

? ? ? 50 ? 0 ?

22.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

? ? 2r cos? , 设 M ? ? 1 ,? 1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) , 则 ? 1 ? 2 r c o ? 1 , ? 2 ? 2 r cos? 2 , 又 s
MP ? 2a ? ?1 c o ? 1 ? 2a ? 2r c o 2s? 1 , NQ ? 2a ? ? 2 cos? 2 ? 2a ? 2r cos 2 ? 2 , s ? MP ? 2a ? 2r cos 2 ? 1 ? 2r cos? 1 ? NQ ? 2a ? 2r cos 2 ? 2 ? 2r cos? 2

? ? cos ? 1 , cos ? 2 是 方 程 r c o 2 s ? r c o ?s ? a ? 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 :
cos ? 1 ? cos ? 2 ? 1 , MA ? NA ? 2r cos? 1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB
证法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

? ? 2r cos ? ,设 M ? ? 1 ,? 1 ?, N ( ? 2 ,? 2 )
又由题意知, M ? ? 1 ,? 1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) 在抛物线 ? ?

2a 1 ? cos ?

上, ? 2 r cos ? ?

2a 1 ? cos ?



r cos 2 ? ? r cos ? ? a ? 0 ,? cos ? 1 , cos ? 2 是方程 r cos 2 ? ? r cos ? ? a ? 0 的两个根,由
韦达定理: cos ? 1 ? cos ? 2 ? 1 , MA ? NA ? 2r cos? 1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB

23.证明:以 BC 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,设 A ( 0 , a ) ,

B (b ,0 ) , C (c ,0 ) , H ( 0 , t ) ,则
l BH : x b ? y t ? 1 ,即 tx ? by ? bt ? 0

A F E H

B

D

C

l CH : l AC :
l AB :

x c x c x
b

? ?
?

y t y a y
a

? 1 ,即 tx ? cy ? ct ? 0 ? 1 ,即 ax ? cy ? ac ? 0
? 1 ,即 ax ? by ? ab ? 0

? bc ?a ? t ? ?b ? c ?t ? ? bc ?t ? a ? at ?c ? b ? ? ? E? , , ? ,? F ? ? ? ab ? ct ab ? ct ? ? bt ? ac ac ? bt ?
? k DE ?

?b ? c ?at ?ab ? ct ? ?b ? c ?at ? ? ?ab ? ct ? bc ?a ? t ? bc ?a ? t ? ?c ? b ?at ?bt ? ac ? ?b ? c ?at ? ?? ?ac ? bt ? bc?t ? a ? bc ?a ? t ?

? k DF ?

? ? EDC ? ? FDB , ?EDA ? ?FDA

坐标系与参数方程单元练习 6
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ? A. C.

? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 3t

(t为参数 ) ,则直线的斜率为(



2 3 3 2

B. ? D. ?

2 3 3 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

(? 为参数 ) 上的点是(



1 A. ( , ? 2 ) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数 ) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? y ? sin ? ?
A. y ? x ? 2
2



B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或 y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



? ) 3

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? 3

)

D. (2, 2 k ? ? )

?
3

), ( k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2 sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t ? y ? 4 ? 5t

(t为参数 ) 的斜率为______________________。

? x ? et ? e ?t ? (t为参数 ) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? y ? 2( e ? e ) ?
3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t ? y ? 2 ? 4t

(t为参数 ) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A (1, 2) ,

则 AB ? _______________。

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t为 参 数 ) 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P ( x, y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

?x ? 1? t ? (t为参数 ) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标, 2. 求直线 l1 : ? 及点 P ? y ? ? 5 ? 3t ?
与 Q (1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 16

?

y2 12

? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。

坐标系与参数方程单元练习 6 参考答案
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

k?

y?2 x ?1

?

? 3t 2t

??

3 2

2 转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 4

时, y ?

1 2

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2, 3], y ? [0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ?
(2, 2 k ? ? 2? 3

x 2 ? y 2 ? 0, 或 ? cos ? ? x ? 1

), ( k ? Z ) 都是极坐标

? cos ? ? 4 sin ? cos ? , cos ? ? 0, 或? ? 4 sin ? , 即? 2 ? 4 ? sin ?
则? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y2 ? 4 y

二、填空题 5 y ? 4 ? 5t 5 k? ? ?? 1. ? 4 x?3 4t 4
2 2

2.

x

4

?

y

16

? 1, ( x ? 2)

? ? x ? et ? e ?t ?x ? ? ? ?? ?y t ?t ? ? e ?e ?x ? ?2 ? ?
代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ?

y 2 y 2

? 2et ? (x ? ? 2e
?t

y 2

)( x ?

y 2

)?4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t ? y ? 2 ? 4t

1

5 5 ,则 B ( , 0) ,而 A (1, 2) ,得 AB ? 2 2 2

4 . 14

直线为 x ? y ?1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

1 2

?

2 2

,弦长的一半为

22 ? (
5. ? ?

2 2

)2 ?

14 2

,得弦长为 14

?

2 三、解答题

??

? cos ? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0, cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ?

?
2

1.解:(1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?



2 x ? y ? 2 cos ? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1 ? ? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1

(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ? a ? ? 2 ?1

?
4

) ?1

?x ? 1? t ? 2.解:将 ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ? 5 ? 3t ?
得 P (1 ? 2 3,1) ,而 Q (1, ?5) ,得 PQ ?

(2 3) 2 ? 6 2 ? 4 3

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? 3.解:设椭圆的参数方程为 ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 5

cos ? ? 3 sin ? ? 3 ?

4 5 5

2 cos(? ?

?
3

)?3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 5

,此时所求点为 (2, ? 3) 。

坐标系与参数方程单元练习 7
一、选择题 1. 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是( A. t1 ) C. 2 t1 D.

?x ? a ? t ?y ? b ?t

l 则点 P1 与 P ( a , b ) (t为参数 ) , 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,

B. 2 t1

2 2

t1

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数 ) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数 ) 和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, 3.直线 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ? 3) B. ( ? 3, 3) ) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) ) D. ( ? 5,

4.圆 ? ? 5 cos ? ? 5 3 sin ? 的圆心坐标是( A. ( ? 5, ?

4? 3

)

B. ( ? 5,

?
3

)

C. (5,

? ) 3

5? 3

)

?x ? t ? (t为参数 ) 等价的普通方程为( 5.与参数方程为 ? y ? 2 1? t ? ?
A. x ?
2



y2 4 y2 4

?1

B. x ?
2

y2 4 y2 4

? 1(0 ? x ? 1)

C. x ?
2

? 1(0 ? y ? 2)

D. x ?
2

? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)

6.直线 ?

? x ? ?2 ? t ? y ? 1? t

(t为参数 ) 被圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 所截得的弦长为(
1 4
D. 93 ? 4 3



A. 98

B. 40

C. 82

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1. 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为__________________。 t (t为参数,t ? 0 ) , ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at ? y ? ? 1 ? 4t

(t为参数 ) 过定点_____________。

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
2 2

4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?
2 2

1 cos ?

,则曲线的直角坐标方程为________________。

5.设 y ? tx (t为参数 ) 则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

(? 为参数 ) 表示什么曲线?

2.点 P 在椭圆

x2 16

?

y2 9

? 1 上,求点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。

3.已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

? , 6

(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

坐标系与参数方程单元练习 7 参考答案
一、选择题 1.C 2.D
2 2 距离为 t1 ? t1 ?

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或 x ? ?2 ,所以表示两条射线

3.D

(1 ?

1 2

t ) 2 ? ( ?3 3 ?

3 2

t ) 2 ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t 2 ? 8,

t1 ? t 2 2

?4

1 ? ?x ? 1? 2 ? 4 ? ? 中点为 ? ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? 2
4.A

? ?x ? 3 ? ?y ? ? 3 ?

5 5 3 ) 圆心为 ( , ? 2 2
x ? t,
2

5.D

y2 4

? 1? t ? 1? x , x ?
2 2

y2 4

? 1, 而 t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得 0 ? y ? 2

6.C

? 2 ? x ? ? 2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? 代入 ?? ? 2 ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? ? ? 2

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 得 ( ?5 ? t ) 2 ? (2 ? t ) 2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t 2 ?
二、填空题 1. y ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82

x ( x ? 2) ( x ? 1)
2

( x ? 1)

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 1? x

)2 ?

x ( x ? 2) ( x ? 1) 2

( x ? 1)

2. (3, ? 1)

y ?1 x?3

?

4 a

, ? ( y ? 1) a ? 4 x ? 12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3, 且 y ? ?1

3. 22

椭圆为

x2 6

?

y2 4

? 1 ,设 P ( 6 cos ? , 2 sin ? ) ,

x ? 2 y ? 6 cos ? ? 4 sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22

4. x 2 ? y

? ? tan ? ?

1 cos ?

?

sin ? cos ?
2

, ? cos 2 ? ? sin ? , ? 2 cos 2 ? ? ? sin ? , 即 x 2 ? y

4t ? ?x ? 1? t2 ? 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x 2 ? (tx ) 2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t 1? t2



4t ? ?x ? 1? t2 4t ? 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 2 1? t ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y x

? tan ? ,则

y2 x
2

?1 ?

1 cos ?
2

, cos 2 ? ?

1 y ?1 x2
1 2 1 ? tan ?
2

2

x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ?

1 2

sin 2? ? cos 2 ? ?

?

2 tan ?

? cos 2 ?

y y ?1 1 y2 y x ? ? x 2 , x (1 ? 2 ) ? ? 1 即x ? ? 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 1 2
得x?

y2 x

?

y x

? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 12 cos ? ? 12 sin ? ? 24 5

2.解:设 P (4 cos ? , 3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ?
即d ? 当 cos(? ? 当 cos(? ?

?
4

) ? 24


5

?
4

) ? ? 1 时, d max ? ) ? 1 时, d min ?

12 5

(2 ?

2) ;

?
4

12 5

(2 ? 2 ) 。

? ? ? x ? 1 ? t cos ?x ? 1? ? ? ? 6 3.解:(1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? ? ? 6 ? ?

3 2 1 t 2

t

? ?x ? 1? ? (2)把直线 ? ? y ? 1? ? ?
得 (1 ?

t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 1 t 2

3

3 2

t ) 2 ? (1 ?

1 2

t ) 2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

坐标系与参数方程单元练习 8
一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? x ? t2 ? A. ? 1 ? y ? t?2 ?



? x ? sin t ? B. ? 1 ? y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ? y ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 ? y ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ? 2 ? 5t ? y ? 1 ? 2t

(t为参数 ) 与坐标轴的交点是(
1 1 ( B. (0, )、 , 0) 5 2 5 (8, D. (0, )、 0) 9

2 1 ( A. (0, )、 , 0) 5 2

(8, C. (0, ? 4)、 0)
3.直线 ? A. C.

? x ? 1 ? 2t ?y ? 2?t
5 9 5

(t为参数 ) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为(
12 5 9 5



12

B.

5 10

5

D.

? x ? 4t 2 4.若点 P (3, m ) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t为参数 ) 上, ? y ? 4t
则 PF 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 ) )

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ? B. ? sin ? ? 2



?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

二、填空题

1.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数 ) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和 t 2, ,

且 t1 ? t 2 ? 0 ,那么 MN =_______________。
? x ? ? 2 ? 2t ? (t为参数 ) 上与点 A( ?2, 3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。 2.直线 ? ? y ? 3 ? 2t ?
3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4 cos ? ? y ? 4 sin ? ? 3 cos ?

(? 为参数 ) ,则此圆的半径为_______________。

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ?

相切,则 ? ? _______________。

三、解答题

? ?x ? ? 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? ?y ? ? ?

1 2 1 2

( e t ? e ? t ) cos ?
化为普通方程:

( e ? e ) sin ?
t

?t

(1) ? 为参数, t 为常数;(2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 2

, 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2 ? 12 y 2 ? 1 交于点 M , N ,

求 PM ? PN 的最小值及相应的 ? 的值。

参考答案 www.dearedu.com
一、选择题 1.D 2.B

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
1 ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ? 2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ? ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ?

2

1

3.B

? ? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ?? ? ?y ? 2?t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2

? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2?t 5

x 2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t ) 2 ? (2 ? t ) 2 ? 9, 5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? ( ? ) 2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t 2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A
2 抛物线为 y ? 4 x ,准线为 x ? ? 1 , PF 为 P (3, m ) 到准线 x ? ? 1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k ? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4 sin ? 的普通方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , ? cos ? ? 2 的普通方程为 x ? 2
2 2 圆 x ? ( y ? 2) ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1

2. ( ? 3, 4) ,或 ( ? 1, 2)

( ? 2t ) 2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2 ) 2 , t 2 ?

1 2

,t ? ?

2 2

3. 5

由?

? x ? 3sin ? ? 4 cos ? ? y ? 4 sin ? ? 3 cos ?

得 x ? y ? 25
2 2

4.

2 2

1 1 圆心分别为 ( , 0) 和 (0, ) 2 2
2 2 直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

5.

? 5? ,或 6 6

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解:(1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t (e ? e ? t ) 2

, sin ? ?

y 1 t (e ? e ? t ) 2

而 x 2 ? y 2 ? 1 ,即

x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4
1 2

?1

(2)当 ? ? k ? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? 当? ? k? ?

( e t ? e ? t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 1 2 ( e t ? e ? t ) ,即 x ? 0 ;

?
2

, k ? Z 时, x ? 0 , y ? ?

2x 2x 2y ? t ? t ?t ? e ? e ? cos ? ? 2 e ? cos ? ? sin ? ? ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?et ? e?t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
k?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x cos ?

?

2y sin ?

)(

2x cos ?

?

2y sin ?

)



x2 cos 2 ?

?

y2 sin 2 ?

?1。

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数 ) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? ) t ? 3 2 ?0

3 2 则 PM ? PN ? t1t 2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2



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