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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲 导数在研究函数中的应用



第2讲
一、选择题

导数在研究函数中的应用
) B.(0,3) D.(2,+∞)

1. 函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) 解析 答案

f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>

2. D

2.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处 取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图像可能是( )

解析

∵f(x)在 x=-2 处取得极小值,

∴在 x=-2 附近的左侧 f′(x)<0, 当 x<-2 时,xf′(x)>0. 在 x=-2 附近的右侧 f′(x)>0, 当-2<x<0 时,xf′(x)<0,故选 C. 答案 C ).

3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 ( A.-2 解析 B.0 C .2 D.4

f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 2.

∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数. ∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2. 答案 C

4.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围

是 A.(-1,2) C.(-3,6) 解析 B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

(

).

f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以 f′(x)=0 有

两个不相等的实数根,所以 Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得 a<-3 或 a>6. 答案 B ) 5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个 极值点,则下列图像不可能 为 y=f(x)的图像是( ...

解析 设 F(x)=f(x)· ex,则 F′(x)=ex[f′(x)+f(x)].因为 x=-1 是 F(x)的一 个极值点,所以 F′(-1)=0,得出 f′(-1)+f(-1)=0,在选项 D 中,观察 图像得到 f(-1)>0,f′(-1)>0,所以 f(-1)+f′(-1)> 0 与 f′(-1)+f(-1) =0 矛盾.故选 D. 答案 D

x3 1 6.已知函数 f(x)= 3 +2ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f(x1),f(x2),若 x1,x2 分别 在区间(0,1)与(1,2)内,则 b-2a 的取值范围是( A.(-4,-2) C.(2,7) 解析 题意可知 )

B.(-∞,2)∪(7,+∞) D.(-5,-2)

由题意,求导可得 f′(x) = x2 + ax + 2b ,由

?f′?0?=2b>0, ?f′?1?=1+a+2b<0, ?f′?2?=4+2a+2b>0,
所以 a,b 满足的区域如图所示(不包括边界),因为 b-2a 在 B(-1,0)处取值 为 2,在 C(-3,1)处取值为 7,所以 b-2a 的取值范围是(2,7). 答案 C

二、填空题 7.若函数 f(x)= x2+a 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 2x(x+1)-(x2+a) =0, (x+1)2

解析

由 f′(x)=

∴x2+2x-a=0,x≠-1,又 f(x)在 x=1 处取极值, ∴x=1 是 x2+2x-a=0 的根,∴a=3. 答案 3

8.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析 f′(x)=ex-2.当 x<ln 2 时,f′(x)<0;

当 x>ln 2 时,f′(x)>0. ∴f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2+a, 则函数有零点,即 f(x)min≤0. ∴2-2ln 2+a≤0,∴a≤2ln 2-2. 答案 (-∞,2ln 2-2] 9.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图像在 x=1 处的切 线平行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 解析:∵y′=3x2+6ax+3b,
2 ?3×2 +6a×2+3b=0 ?a=-1, ? ? ? 2 ?3×1 +6a+3b=-3 ?b=0.

∴y′=3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0 或 x=2, ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.[来 答案:4 10.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 ________. 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a +2=0.因为函数 f(x)有极大值又有极小值,所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两 个不相等的实根,即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案:a>2 或 a<-1 三、解答题

11.已知函数 f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0),函数 y=f(x)的图像在点(2,f(2)) 处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间. 解 (1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx,

又 f′(2)=0,∴3m+n=0,故 n=-3m. (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2, ∴f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时, 解得 x<0 或 x>2, 则函数 f(x)的单调增区间是(-∞, 0)和(2, +∞); 当 m<0 时,解得 0<x<2, 则函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 综上,当 m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞);当 m<0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 2 12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数 f(x)在 x=1 和 x=-3处 都取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 解 (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=3x2+2ax+b.

2? 1 ? ?4 4 ? ?f′? ?a=- , ?-3?=0, ?3-3a+b=0, 2 ? 由题易知,? ? 即? 解得? ? ? ?f′(1)=0, ? ?3+2a+b=0, ?b=-2. (2)由(1)知,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 2? ? ∵当 x∈?-1,-3?时,f′(x)>0; ? ? ? 2 ? 当 x∈?-3,1?时,f′(x)<0; ? ? 当 x∈(1,2]时,f′(x)>0. 2? ? ∴f(x)的单调递增区间为?-1,-3?和(1,2]. ? ? 13.已知函数 f(x)=-x2+ax-ln x(a∈R).

?1 ? (1)当 a=3 时,求函数 f(x)在?2,2?上的最大值和最小值; ? ? ?1 ? (2)当函数 f(x)在?2,2?上单调时,求 a 的取值范围. ? ? 2x2-3x+1 1 解 (1)a=3 时,f′(x)=-2x+3- x=- = x (2x-1)(x-1) ?1 ? ?2,2?上仅有极大值点 x=1,故这个极 - ,函数 f ( x ) 在区间 x ? ? ?1 ? 大值点也是最大值点,故函数 f(x)在?2,2?上的最大值是 f(1)=2. ? ? ?1? ?5 ? 3 又 f(2)-f?2?=(2-ln 2)-?4+ln 2?=4-2ln 2<0, ? ? ? ? ?1? 故 f(2)<f?2?, ? ? ?1 ? 故函数在?2,2?上的最小值为 f(2)=2-ln 2. ? ? 1 1 (2)f′(x)=-2x+a- x,令 g(x)=2x+ x , 1 ?1 ? 2 ? 2? ?1? 则 g′(x)=2-x2,则函数 g(x)在? , ?上递减,在? ,2?上递增,由 g?2?=3, ? ? ?2 2 ? ?2 ? 9? 9 ? 2? ?1 ? ? g(2)=2,g? ?=2 2,故函数 g(x)在?2,2?的值域为?2 2,2?. ? ? ? ? 2 ? ? 1 ?1 ? ?1 ? 若要 f′(x)≤0 在?2,2?上恒成立,即 a≤2x+ x在?2,2?恒成立,只要 a≤2 2; ? ? ? ? 1 ?1 ? 9 ?1 ? 若要 f′(x)≥0 在?2,2?上恒成立,即 a≥2x+ x在?2,2?上恒成立,只要 a ≥ 2, ? ? ? ? ?9 ? 即 a 的取值范围是(-∞,2 2 ]∪?2,+∞?. ? ? 3 14. 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1-a. (1)若函数 f(x)在 x=-1 时取得极值,求实数 a 的值; (2)试讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a>1 时,在曲线 y=f(x)上是否存在这样的两点 A,B,使得在点 A,B 处 的切线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点,若存在,试求 a 的取值范 围;若不存在,请说明理由. 解 f′(x)=3ax2-6x(a≠0),

(1)∵函数 f(x)在 x=-1 时取到极值, ∴f′(-1)=3a+6=0,解得 a=-2. ∴实数 a 的值为-2.

2 (2)由 f′(x) =0 得 x=0 或 x=a , 2 2 ①当 a<0 时,a<0,由 f′(x)>0 得a<x<0, 2 由 f′(x)<0 得 x<a或 x>0, 2? ?2 ? ? ∴函数 f(x) 的单调递增区间为 ?a,0? ,单调递减区间为 ?-∞,a? 和 (0 ,+ ? ? ? ? ∞).[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 2 ?2 ? ?a,+∞?, ②当 a>0 时, >0 , 同理可得函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( - ∞ , 0) 和 a ? ? 2? ? 单调递减区间为?0,a?. ? ? (3)假设存在 满足要求的两点 A,B,即在点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直,则 kA=kB=0, 2 由 f′(x)=3ax2-6x=0,解得 x=0 或 x=a. 3? 4 3? ? ?2 ∴A?0,1-a?,B?a,-a2+1-a?. ? ? ? ? 又线段 AB 与 x 轴有公共点, 3?? 4 3? ? ∴yA· yB≤0,即?1-a??-a2+1-a?≤0. ? ?? ? 又 a>1,解得 3≤a≤4. 所以当 3≤a≤4 时,存在满足要求的点 A、B.



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