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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第2套



2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第二套
命题人蔡子星
题一、 (20 分)经过测试,发现用如左图的四个力,恰好能把一根长为 1.00m 的轻质木棒撇 断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子,支撑在一个圆形碗口(俯视图) ,把一个重 物放挂在 P 点,求重物的最大质量。

0m 20N 0.25m 0.75m 0m 20N 20N 1.0

0m 20N

0.50m 0.75m P

1.00m

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题二、 (22 分)如图所示,在一个光滑的底面积为 S ? 1dm 高为 H ? 0.2m 的固定圆柱形容
2

器内,有一个可以自由上下滑动活塞(活塞下方于大气联通) ,活塞质量为 m0 ? 1.0kg ,活 塞下方用一根劲度系数为 k ? 200N/m ,原长为 l0 ? 0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始 时刻活塞位于距离底面 h ? 0.1m 高的位置,上方盛满方有密度为 ? ? 1 ? 103 kg/m3 的水, 用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走, 不再对下方的活塞和水 有作用力。 (1) 求释放活塞上升最大位移 (2) 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

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题三、 (20 分)由于潮汐和地球自转的影响,地球上的海水被拉成椭球状,且长轴方向与地 月连线方向略有偏差, 这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分量, 从而把月球加速,推动月亮远离地球,同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢,直到月球 公转周期和地球自转周期相同。 (事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…)已知月球质 量 为 mM ? 7.35 ? 10 kg , 地 球 质 量 为 mE ? 5.9 ? 10 kg , 地 球 到 月 球 距 离 为
22 24

2 r ? 3.8 ? 108 m ,地球半径为 R ? 6.4 ? 106 m 。地球转动惯量 I ? mE R 2 ,月球半径可以 5
忽略, g ? 9.8N/kg 。试求最终月亮会离地球多远?

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题四、 (24 分)如图所示,在圆形区域中(足够大) ,有垂直于直面向内随时间均匀增加的 磁场

?B ? k 。在离圆心 O 距离为 d 的位置有一个钉子,钉住了一根长度为 l 均匀的质量为 ?t

m 的绝缘棒的中心 P ,棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电,电
量为 Q ,下半截均匀带负电,电量为 ?Q 。初始时刻棒子垂直于 OP 。 (1) 计算在 P 点处钉子受到的压力。 (2) 若棒子受到微小扰动,在平面内来回转动起来(速度很小,洛仑兹力可以忽略) ,求 证此运动是简谐振动,并计算周期。 (棒子绕质心的转动惯量为 I ?

1 2 ml ) 12

y B
O P

l

x

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题五、 (16 分)等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成 为数密度分别为 n0 和 2n0 的正负离子构成,正负电荷电量分别为 ?2q 和 ? q 。正电荷以速度

v 运动时受阻力 f ? ?k? v ,负电荷以速度 v 运动时受阻力 f ? ?k? v 。把等离子体填充进入
一个变长为 l 的绝热绝缘的立方体内,并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之 间接入 U 0 的直流电源之后,求电流 I 。 (以下不是考题:将上下极板之间接入 U 0 cos ?t 的 交流电之后,求电流 I (t ) )

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题六、 (20 分)如图所示是传统风箱的结构,忽略活塞的摩擦,假设气壁导热良好,环境温 度恒定为 T0 ,向左推动的到左室体积为 V0 ,右气室体积为 2V0 时候开始方向向右推动,向 右推动至右气室体积为 V0 时,反向向左推动。环境气压为 P0 ,当压差为 ?P 的时候单向阀 门才会打开,当气体流出时保持有 ?P 压强差(相当于阻力) 。气体定体摩尔热容量为 CV 。 在活塞反向运动前,左右两气室均达到稳定压强。 (1) 求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。 (2) 求一个周期中外力对活塞做功为多少? 提示:

?
a

b

dx b ? ln x a

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题七、 (18 分)一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶,风速为 3u / 2 。初始时刻风速 和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于 3u 的时 候,飞船发动机推力恒定为 F ,否则发动机推力恒定为 2 F 。分船可以向任意方向加速, 要求飞船达到末状态为:相对于太阳风,速度为 2u ,方向垂直于风速向上。 (1) 以风速为参照系, v x 和 v y 为坐标轴(原风速方向沿 v x 方向) ,画出飞船初态、末态 速度的位置,标记出飞船受力为 F 的范围。 (2) 求到达末态所需要的最小时间,并在上图中标记历经的状态。

u/2

3u / 2

? ? 90?

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题八、 (20 分)在小说《三体》中,人们提出一个“阶梯计划” ,用于把 m0 ? 1kg 的物体加 速到 0.9 倍光速,送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是:物体自带面积为

S ? 1000m2 的镜子, 在正对镜面方向放置一颗核弹, 点爆核弹, 光子将在镜面上全部反射,
从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够,于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线,物体 沿着直线被推出,每经过一个核弹附近,就将核弹点爆,于是物体被不断加速。下面我们估 算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000 万当量的核弹,假设核弹爆炸前静止,爆 (以静止的核弹为参照系, 炸瞬间能在 100m 附近的镜面产生 J ? 1.6 ?10 Jm s 的能流密度
12 -2 ?1

假设能流全部为光子,并垂直于镜面入射) ,持续时间为 t0 ? 1.0s ,此后的爆炸产生的辐射 可以忽略。 (1) 当镜面速度为 v 时,以镜面为参照系,光的能量密度 J ' 为多少? 提示:多普勒效应表明,以速度 v 远离光源时候,看到的频率和原频率比为

c?v c?v

(2) 当镜面速度为 v 时,一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少?(假设一次爆炸之后 v / c 的变化量很小) (以上答案用字母表示。以下不是考题:试估算需要多少颗核弹才能加速到 0.9c?)

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