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2014届高考数学一轮复习讲义:6[1].5



一轮复习讲义

数列求和

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要点梳理

忆一忆知识要点

n?n-1? n?a1+an? na + d 2 1.等差数列前n项和Sn= 2 = 1 ,推导方

倒序相加法; 法:
na1
等比数列前n项和Sn=
a1 (1

? q n ) 1? q

q=1,
a1 ? an q = 1? q

q≠1,

推导方法:乘公比,错位相减法.

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.常见数列的前n项和
n?n+1? (1)1+2+3+…+n= ; 2
2 (2)2+4+6+…+2n= n +n ;
2 (3)1+3+5+…+(2n-1)= n ;

n?n+1??2n+1? (4)1 +2 +3 +…+n = ; 6
2 2 2 2

(5)13+23+33+…+n3=

n?n+1? 2 [ ] 2 .

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.数列求和的常用方法 (1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形 式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. (3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项 相乘构成的数列求和. (4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.

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要点梳理

忆一忆知识要点

4.常见的拆项公式 1 1 1 (1) =n - ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1? 1 ? ? (2) = ?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? 2? ? 1 (3) = n+1- n. n+ n+1

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[难点正本

疑点清源]

1.数列求和的方法 (1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通 项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. (2)解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: ①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数 列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成. ②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消 法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,它可将复杂 的数列转化为等差、等比数列问题来解决.

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分组转化求和
n·n+1 2 3 9 25 65 例1 求和:(1)Sn= + + + +…+ ; 2 4 8 16 2n ? ? 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 n (2)Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? . ? ? ? ? ? ?
?1? ? ? 1 (1)写出通项an=n+ n,转化为数列{n}和数列?2n?分别求和再 ? ? 2 ? ?

相加. 1 (2)写出通项an=x + 2n +2,可转化为两个等比数列{x2n}, x ? 1 ? ? ? ? 2n?与常数列{2}的求和问题. ? ? ?x ?
2n

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n·n+1 2 1 解 (1)由于an= =n+ n, 2n 2 ? ? 1? ? 1? ? 1? 1? ∴Sn=?1+21?+?2+22?+?3+23?+…+?n+2n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1? =(1+2+3+…+n)+?2+22+23+…+2n? ? ? 1? 1? ?1- n? n?n+1? 2? 2 ? = + 2 1 1- 2 n?n+1? 1 = - n+1. 2 2

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(2)当x=± 1时,Sn=4n.当x≠± 1时, ? ? 1 ?2 ? 2 1 ? 2 1 ?2 n Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 1? 1? 2 2n =?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1? 2 4 2n =(x +x +…+x )+2n+?x2+x4+…+x2n? ? ? -2 -2n x2?x2n-1? x ?1-x ? = 2 + +2n x -1 1-x-2 ?x2n-1??x2n+2+1? = +2n. x2n?x2-1? ?4n ? 2n + ∴Sn=??x -1??x2n 2+1? +2n 2n 2 ? x ?x -1? ? ?x=± 1?, ?x≠± 1?.

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探究提高
某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和 或差,从而求得原数列的和,这就要通过对数列通项结构特点进 行分析研究,将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母 的数列中对字母的讨论.

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变式训练 1
? ? 1 1 1 ? 1? ? 1 1? ? 求和Sn=1+?1+2?+?1+2+4?+…+?1+2+4+…+2n-1?. ? ? ? ? ? ? ?

解 和式中第k项为 1 1 1 ak=1+ + +…+ k-1= 2 4 2
?1? 1-?2?k ? ? ? 1? =2?1-2k?. ? ?

?? ? 1? ? 1? 1 ?? ∴Sn=2??1-2?+?1-22?+…+?1-2n?? ?? ? ? ? ? ??

1 1- 2

1 1 1 = 2[(1+1+…+1) -( + 2+…+ n)] 2 2 2

n个
1 ?? 1? ? ?1- n?? ? 2? 2? 1 ?= n-1+2n-2. =2?n- 1 2 ? 1- ? 2 ? ?

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错位相减法求和
例2 设数列{an}满足a1+3a2+3 a3+…+3 (1)求数列{an}的通项; n (2)设bn=a ,求数列{bn}的前n项和Sn. n
2 n-1

n an= ,n∈N*. 3

(1)由已知写出前n-1项之和,两式相减. (2)bn=n·n的特点是数列{n}与{3n}之积,可用错位相减法. 3

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(1)∵a1+3a2+3 a3+…+3

2

n-1

n an= , 3



∴当n≥2时,
n-1 a1+3a2+3 a3+…+3 an-1= , 3 1 1 - ①-②得3n 1an= ,∴an= n. 3 3 1 1 在①中,令n=1,得a1= ,适合an= n, 3 3 1 ∴an= n. 3 n (2)∵bn=a ,∴bn=n·n. 3 n
2 n-2



∴Sn=3+2×32+3×33+…+n·n, 3
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n·n+1. 3




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④-③得2Sn=n·n+1-(3+32+33+…+3n), 3 + 3?1-3n? ?2n-1?3n 1 3 即2Sn=n·n+1- 3 ,∴Sn= + . 4 4 1-3

探究提高
解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n-1an}的前n项 和,从而利用an与Sn的关系求出通项3n 1an,进而求得an;另外 乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的 是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的 训练,重视运算能力的培养.


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变式训练 2
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an (n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不 Tn-2 等式 >2 013的n的最小值. 2n-1
(1)证明 因为Sn+n=2an,即Sn=2an-n, 所以Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2,n∈N*).
两式相减化简,得an=2an-1+1. 所以an+1=2(an-1+1) (n≥2,n∈N*), 所以数列{an+1}为等比数列.

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因为Sn+n=2an,令n=1,得a1=1. a1+1=2,所以an+1=2n,所以an=2n-1.
(2)解 因为bn=(2n+1)an+2n+1, 所以bn=(2n+1)·n. 2 所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·n-1+(2n+1)·n, 2 2
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·n+(2n+1)·n+1, 2 2

① ②

①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·n+1=6+ 2 + 22-2n 1 2× -(2n+1)·n+1=-2+2n+2-(2n+1)·n+1=-2-(2n 2 2 1-2 -1)·n 1. 2 所以Tn=2+(2n-1)·n+1. 2


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Tn-2 2+?2n-1?·n+1-2 2 若 >2 013,则 >2 013, 2n-1 2n-1 即2n 1>2 013. 由于210=1 024,211=2 048,所以n+1≥11,即n≥10. Tn-2 所以满足不等式 >2 013的n的最小值是10. 2n-1


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裂项相消法求和
2 例3 已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn ? 1? =an?Sn-2?. ? ?

(1)求Sn的表达式; Sn (2)设bn= ,求{bn}的前n项和Tn. 2n+1

(1)通过an=Sn-Sn-1 (n≥2)消去已知等式中的an,构造出含Sn的 新数列;(2)求出{bn}的通项,根据通项的结构特点,确定求和方 法.

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2? ? 1? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, ? ?
?

1 2 (1)∵Sn=an?Sn- ?,an=Sn-Sn-1

?

?

(n≥2),

即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn, 由题意Sn-1·n≠0, S
1 1 ①式两边同除以Sn-1·n,得S - S =2, Sn-1 n ?1? ? ? 1 1 ∴数列?S ?是首项为 = =1,公差为2的等差数列. ? n? S1 a1 ? ? 1 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . 2n-1 n



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Sn 1 (2)又bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? 1 ? ? = ?2n-1-2n+1?, 2? ? ∴Tn=b1+b2+…+bn ? 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? ?? ? = ? 1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ?? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? n ? ? = ?1-2n+1?= . 2? ? 2n+1

探究提高
使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留 了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对 称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

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变式训练 3
1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1,n+1= Sn(n=1,2,3, 且 a …). 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 bn=log 3
2

? 1 ? ? ? n ? ?的前 n 项和 Tn= (3an+1)时, 求证: 数列 b b . ? n n+1? 1+n ? ?

1 ? ?an+1=2Sn, (1)解 由已知得? (n≥2), 1 ?an= Sn-1 2 ? 3 得到an+1= an (n≥2). 2 3 ∴数列{an}是以a2为首项,以 为公比的等比数列. 2

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1 1 1 又a2= S1= a1= , 2 2 2 ?3? - 1?3?n-2 n 2 ∴an=a2×?2? = ?2? (n≥2). 2? ? ? ? n=1, ?1, ? ∴an=?1?3?n-2 n≥2. ?2?2? , ? ? ? ?3 ?3? ? ? ? ?n-1? log 2 2 ?=n. (2)证明 bn= log 3 (3an+1)= 3 ? · ? ? ? ? 2 2 1 1 1 1 ∴ = = - . bnbn+1 n?1+n? n 1+n 1 1 1 1 ∴Tn= + + +…+ b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 ?1 ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ? =?1-2?+?2-3?+?3-4?+…+?n-1+n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 n =1- = . 1+n 1+n

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审题路线图
四审结构定方案
(14分)(2010· 山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26, {an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; 1 (2)令bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. an-1 审题路线图
等差数列{an}中,特定项的值 (a3,a5,a7即为特定项) a3=7,a5+a7=26 (从特定项,考虑基本量a1,d)

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?a +2d=7 ? 1 列方程组? ?2a1+10d=26 ?

(根据条件的结构特征,确定了方程的方法) n?n-1? 用公式:an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ d. 2 (将an代入化简求bn) 1 bn= 4n?n+1? (根据bn的结构特征,确定裂项相消) 1 ? 1?1 ? ? bn= ?n-n+1? 4? ? ?1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? ?? ? Tn= ? 1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ?? 4?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? n ? ? 1- = ? n+1?= . 4? ? 4?n+1?

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规范解答 解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. [2分]

?a +2d=7, ? 1 因为a3=7,a5+a7=26,所以? ?2a1+10d=26, ? ?a =3, ? 1 解得? ?d=2. ?

[6分]

所以an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2
(2)由(1)知an=2n+1, 1 1 1 1 所以bn= 2 = = · an-1 ?2n+1?2-1 4 n?n+1? 1 ? 1 ?1 ? = · -n+1?, ? 4 ?n ? ?

[8分]

[10分]

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1 1 1 1 1 1 所以Tn= · (1- + - +…+n- ) 4 2 2 3 n+1
1 1 n = · (1- )= , 4 n+1 4?n+1? n 即数列{bn}的前n项和Tn= . 4?n+1?

[12分]

[14分]

本题审题的关键有两个环节.一是根据a3=7,a5+a7=26的特 1 征,确定列方程组求解.二是根据数列{bn}的通项bn= 4n?n+1? 的特征,确定用裂项相消法求和.所以,在审题时,要根据数 式的结构特征确定解题方案.

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方法与技巧
数列求和的方法技巧 (1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的 求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的 求和.

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失误与防范
1.直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导 过程. 2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列 通项的基础上,判断求和类型,寻找求和的方法,或拆为 基本数列求和,或转化为基本数列求和.求和过程中同时 要对项数作出准确判断. 3.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.

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例1.若函数 f ( x ) ?

1
x

2 ? 2 并求T ? f ( ?5) ? f ( ?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6). 1 1 解: ( ? n) ? f ( n ? 1) ? ? n f ? n?1 2 ? 2 2 ? 2 2n 1 2n 2 ? 1 2 ? ? n?1 ? n ? . n 1 ? 2 2 2 ? 2 (2 2 ? 1) 2 2

, 计算f ( ? n) ? f ( n ? 1)的值,

?T ? f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) T ? f ( 6 ) ? f ( 5 ) ? ??? ? f ( 1 ) ? ??? ? f (?4) ? f (?5)

? 2T ? 2 ? 12, 2

即 T ? 3 2.
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倒序相加法

【归纳求和法】当通项公式中含有(-1)n, 求和时可 以对n的奇偶进行讨论 , 然后分情况求和.

例2. Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1) (2n ? 1). 求 解:前n项和 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1) n (2n ? 1),
n

当 n 为正偶数时,设 n ? 2k , k ? N? ,

【点评】此种方法是针对于奇、偶数项,要考虑符号的 数列, 要求Sn, 就必须分奇偶来讨论.
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? Sn ? (?1)n n.

? ( ?1 ? 3) ? ( ?5 ? 7) ? ? ? ? ?(4k ? 3) ? (4k ? 1)? ? 又 S2 k ?1 ? S2 k ? a2 k ? 2k ? (4k ? 1) ? ?(2k ? 1).

S2 k ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? ?(4k ? 3)? ? ? (4k ? 1)?

2k ;

求 【例3】 Sn ? (a ? 1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n) 的值.
2 n

解:Sn ? (a ? a 2 ? ? ? a n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n).

n2 ? n ; ①当a=0时有: Sn ? ? 2 ? n2 ? n ; ②当a=1时有: Sn ? 2 a(1 ? a n ) 1 ? n ③当a≠1且 a≠1时有: Sn ? ? ? n. 1? a 2 ? ? n2 ? n , a ? 1, ? 2 ? Sn ? ? a(1 ? a n ) 1 ? n ? ? ? n, a ? 1. 分组求和法 2 ? 1? a

【点评】对等比数列,当公比为含字母的常量时要进行分类讨论.
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【1】 求 S=1+a + a2+a3+ … +an 的值. 解:当 a = 0时, S ? 1. 当 a = 1 时, S ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 1. ?????
n?1个

1 ? a n ?1 . 当 a≠0,且 a≠ 1时, S ? 1? a a ? 1, ? n ? 1, ? ? S ? ? 1 ? a n?1 ? 1 ? a , a ? 1. ?
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例 4. (06 全国Ⅰ)设数列 ? an ? 的前 n 项的和

Sn ? 4 a n ? 1 ? 2n?1 ? 2 , n ? N?. 3 3 3 (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;
2 , n ? N? ,证明: T ? 3 . (Ⅱ)设 Tn ? ? i 2 Sn i ?1
n
n

4 4 a?? 1 ? n?n??? 2n n ? N?, ① 1 ? 2 21 1 2 , , ? N? , ① 解: (Ⅰ)由 Sn n ? a n n 解: (Ⅰ)由 S ? 33 33 33 4 4 a?? 1 ? 2 ?? 2 , 得 a1a?? 1S?? a 1 1 1 ? 2 22 2 , 得 1 S 1 33 33 33

? a1 ? 2.

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由①

4 a ? 1 ? 2n ? 2 , n ≥ 2, ② Sn?1 ? n ?1 3 3 3

①-②得:

4 (a ?a ) ? 1 (2n?1 ? 2n ), n ≥ 2, an ? Sn ? Sn?1 ? 3 n n?1 3
整理得:

an ? 4a n ?1 ?2 , n ≥ 2.
n

所以数列 { n ? 1} 是首项为2,公比为2的 2 等比数列,

an an ?1 an an ?1 ? n ? 2 ? n?1 ? 1,即 n ? 1 ? 2( n?1 ? 1). 2 2 2 2 an

an n ?1 ? n ? 1 ? 2? 2 , 2
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? an ? 4 ? 2 .
n n

把an ? 4 ? 2 代入①,得 4 (4n ? 2n ) ? 1 ? 2n?1 ? 2 令 2n ? t, Sn ? 3 3 3 4 (t 2 ? t ) ? 2 t ? 2 ? 2 (2t 2 ? 3t ? 2) ? 3 3 3 3
n n

? 2 (2t ? 1)(t ? 2). 3 t 2n ? 3 ? ? Tn ? ? 3 ?( 1 ? 1 ) Sn 2 (2t ? 1)( t ? 1) 2 t ? 1 2t ? 1

? 3 ? ( n1 ? n?1 ). 2 2 ?1 2 1 ?1 n n 1 )? 3 ?( 1 ? 1 ) ? 3 . ? ? Tn ? 3 ? ( i 1 ? i ?1 2 i ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 1 2n?1 ? 1 2 i ?1
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把an ? 4 ? 2 代入①,得 n 4 (4n ? 2n ) ? 1 ? 2n?1 ? 2 令 2 ? t, Sn ? 3 3 3 1 [(2n?1 )2 ? 3 ? 2n?1 ? 2] ? 1 (2n?1 ?1)(2n?1 ? 2). ? 3 3
n n

2 ? 3? 2n ? Tn ? Sn 2 (2n?1 ? 1)(2n ? 1) ? 3 ? ( n1 ? n?1 ). 2 2 ?1 2 1 ?1
3 ( 1 ? 1 ) ? 3 ?( 1 ? 1 ) ? 3 . ? ? Tn ? ? i 2 2 ? 1 2n?1 ? 1 2 i ?1 2 ? 1 2 i ? 1 ? 1 2 i ?1
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n

n

n

解:(基本思路1) 4 a ? 1 ? 22 ? 2 , a ? 2; n ? 1时,a1 ? S1 ? 3 1 3 3 1 n ≥ 2时,由an ? Sn ? Sn ?1 , 得 an ? 4an?1 ? 2 ( n ? 2, 3, 4?)
n

an ? 4an?1 ? 2 ( n ? 2, 3, 4?)
n

解法一(构造1) an an ?1 an an ?1 an ? 4an?1 ? 2 ? n ? 2 ? n?1 ? 1 ? n ? 1 ? 2( n?1 ? 1) 2 2 2 2
n

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an ? 4an?1 ? 2 ( n ? 2, 3, 4?)
n

法二(构造2) 由 an ? 4an ?1 ? 2 ,得an ? 2 ? 4(an ?1 ? 2
n n
n

n ?1

)

解法三(构造3) an ? 4an ?1 ? 2 ? an-4an ?1 以下又有两种方法: (1)叠加 an an ?1 1 )n ?1 ? ( 1 )n ? an ? ( 1 )n ? an ?1 ? ( 1 )n ?1 (2)继续转化为 n ? n ?1 ? ( 2 2 2 2 4 4 4n 4 n ?1 an an ?1 ? 2 ? n ? n ?1 ? ( 1 ) n 2 4 4
n

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an ? 4an?1 ? 2 ( n ? 2, 3, 4?)
n
法四:(迭代) a n ? 4a n ?1 ? 2 n ? 4(4a n ? 2 ? 2 n ?1 ) ? 2 n ? 4 2 an ? 2 ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n
2 ? 4(4a n ? 3 ? 2 n-2) 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ?

? 43 a n ? 3 ? 4 2 ? 2 n-2 ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ? ?? ? 4 n ?1 ? 2 ? 4 n ? 2 ? 2 2 ? 4 n ? 3 ? 2 3 ? ? ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n 2 n (1 ? 2 n ) ? ? 4 n ? 2 n ( n ? 2, 3, 4, ?) 1? 2 经验证 an ? 4n ? 2n ( n ? 2, 3, 4, ?).

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【01】已知曲线 y ? x 2 在点 (n, n2 ) 处的切线方程为 x ? y ? 1,其中 n ? N? . an bn (1)求 an ,bn 关于 n 的表达式; (2)设 c1 +c2 +? +cn ? bn , 求数列 {cn ? 4an } 的前 n 项和 S n 的表达式; (3)设 d n ?

1 ,求证: d1 +d 2 +? +d n ? 2 . an +bn

(3) 提示:d n ?

4 (2n+1) ? 2n 4 1 1 ? ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n+1) 2n ? 1 2n+1
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解: (1) y ?| x ?n ? 2n 故所求切线方程为 y ? n 2 ? 2n( x ? n) ,
x 即y x ? y ? 1, n 即 ? 2 n 1 ,n? a n ? , bn ? n 2 . ? 2 n n 2 2 2 2 n

?1时,c ,b? 1, 当 n≥ 2 时, c ? b ? b ? 2n ? 1 an ? ? b n ? n . (2) n ? 当 2 1 1 n n n ?1
cn ? 2n ? 1( ? N? , 时, a ? b ? b ? ∴(2)当nn≥)2 cn ? 4cn ? (2n ? 1)2n. 2n ? 1 ; n n n ?1

Sn ? 1? 21 +3 ? 22 +5 ? 23 +? +(2n ? 1)2n ①
2 3 4

将①两边同乘以 2 得

当 n ? 1时, c1 ? b1 ? 1 也适合上式.
?

2Sn ? 1??+3 ?? 2n? 21+?? N ?). n +1 ② 2 cn 2 +5 ? (n +(2n 1)2

cn ? 4

an

? (2n ? 1)2 .
n

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Sn ? 1 ? 2 + 3 ? 2 +5 ? 2 + ? +(2n ? 1)2
1 2 3

n


n?1

将①两边同乘以 2 得 ,

2 Sn ? 1 ? 2 +3 ? 2 + ? +(2n ? 3)2 +(2n ? 1)2
2 3 n



Sn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 +(2n ? 1) ? 2
2 3 n

②减①得,

n +1

2 ? 2 ? 2 +(2n ? 1) ? 2n +1 ? ?2 ? 2 ? 1? 2 2 n n +1 ? ?2 ? 2(2 ? 2 ? 2)+(2n ? 1) ? 2
2 n

? ?2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 )+(2n ? 1) ? 2
2 3 n

n +1

? 6 ? 2 ? 2 +(2n ? 1) ? 2 ? (2n ? 3)2n +1 +6.
n n +1

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4 1 ? 4 ? (3) ? d n ? n2 + n (2n+1) ? 2n (2n ? 1)(2n+1) 2

? d1 +d 2 +? +d n

1 1 ? 2( ? ). 2n ? 1 2n+1

? 2(1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 +?+ 1 ? 1 ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n+1

1 ) ? 2. ? 2(1 ? 2n+1
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要点梳理
1. 已知数列递推公式求通项公式:
累加法

an?1 ? an ? f (n) (? f ( i )可求 )
a n ?1 ? f ( n) ( f (1) f (2)? f (n)可求) an
i ?1

n

累乘法
构造法

an?1 ? kan ? b
3an?1 an ? ( n ≥ 2) 3 ? an?1

转 化 法

倒数法 对数法
因式分解法

an?1 ? can p (an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1)
2 2 ( n ? 1)a n?1 ? nan ? an?1an ? 0

归纳猜想
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?转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化 为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法.常 用的转化途径有: ① 构造(拼凑)变换:

an?1 ? kan ? b ( k , b为常数, k ? 0, k ? 1)
? an?1 ? b ? k (an ? b ) 或an? 2 ? an?1 ? k (an?1 ? an ) k ?1 k ?1 can ②倒数变换: an?1 ? a ? d (c, d为非零常数) n ? 1 ?d? 1 ?1 a n ?1 c a n c an?1 ? can p (an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1) ③对数变换:

? lg an?1 ? p lg an ? lg c
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要点梳理
2. 数列通项公式的求法
(1)观察法; (2)定义法(利用等差,等比的通项公式) n ? 1, ? S1 , (3)利用 S n 求 a n ; an ? ? ? S n ? S n?1 , nn≥ 2. (4)累加法: an ?1 ? an ? f (n) ;?? (? f ( i )可求 ) ? i ?1 a n ?1 ? f ( n) ( f (1) f (2) ? f (n)可求) (5)累乘法: an (6)构造法 a n ?1 ? kan ? b (7)作商法( a1 a 2 ? a n ? cn 型) ; (8)数学归纳法.
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1) 累加法
3? n( n ? 1) 2

an?1 ? an ? f (n)

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1 )

? 3 ? 1 ? 2 ? ??? ? ( n ? 1)

n( n ? 1) ? 3? . 2

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1) 累加法

an ? an?1 ? n ? 1 (n ≥ 3). an?1 ? an ? f (n)
an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ??? ? (a3 ? a2 ) ? a2
? (n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?2
2 ( n ? 2)( n ? 1 ? 2) ? ?2? n ?n? 2. 2 2

n2 ? n ? 2 2

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2) 累积法
n ( n?1) 2

2

an an?1 a2 an ? ? ? ? ? ? a1 an?1 an? 2 a1

?2

n ?1

?2

n? 2

??? 2 ? 1 ? 2
1

n ( n?1) 2

a n ?1 ? f ( n) an
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3)倒数法

1 3n ? 2
1 ? 1 ?3 a n ?1 a n

an a n ?1 ? 1 ? 3an

? 1 ? 1 ? 3( n ? 1) ? 3n ? 2 an

? an ?

1 3n ? 2
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例1. 已知数列递推公式求通项公式:
4) 构造法

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】 2

2? 2 则an =_____________.

1? n

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4) 构造法

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】 2

2? 2 则an =_____________.
? an?1 ? 1 an ? 1, 令 an?1 ? ? ? 1 (an ? ? ), 2 2 则 ?=-2. ? an?1 ? 2 ? 1 (an ? 2). 2
∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为0.5 的等比数列.

1? n

? an ? 2 ? ? ( 1 ) n ? 1 . 2

? an ? 2 ? 2 .
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1? n

2? 2 则an =_____________.
解法二 : ? an?1

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】
1? n

2

∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 为首项, 公比为 的等比数列. 2 2

? 1 an ? 1, 2 1 a ? 1, a ? 1 a ? 1, ? an ? n?1 n?1 2 n? 2 2 1 两式相减得: an ? an?1 ? (an?1 ? an? 2 ), n ≥ 3 1 2 1

1 ? ( 1 )n?2 ? ( 1 )n?1 . ? an ? an?1 ? 2 2 2 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1 )
1 ? ( 1 )2 ? ??? ? ( 1 )n?1 ? 1? 2 2 2
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? 2? 2 .

1? n

2? 2 则an =_____________.

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】
1? n

2

1 a ? 1, 解法三 : ? an?1 ? 2 n 1 a ? 1, a ? 1 a ? 1, ? an ? n?1 n?1 2 n? 2 2 an ? an?1 ? 1 (an?1 ? an?2 ), n ≥ 3 两式相减得: 2
∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项, 公比为 1 的等比数列. 2 2

? an ? an?1 ? 1 ? ( 1 )n?2 ? ( 1 )n?1 . 2 2 2

? an ? 2 ? 2 .
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又 an ? 1 an?1 ? 1, 2
1? n

【1】设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 5 ,且
nSn?1 ? 2n(n ? 1) ? (n ? 1) Sn (n ? N? ) , 则数列 a n 的通项公式


4n ? 1 .

S Sn ?n ?1 ? n n ? 2, SS 【解析】由条件知 1 ? 【解析】由条件知 n ? 1 n? 2, n ?1 n Sn ?1 Sn S Sn ?1 Sn S S n ? ? 知 【解析】由条件知 ? ∴? { n } } 是等差数列,∴ 2,n?? 5 ? 2(n ? 1) ? n n ? 3. ∴ 2, 是等差数列,∴ Sn 5 ? 2(n ? 1) ? 2 2 ? 3. n ?1 n n ?1 n { nn nn S nn Sn S 2 2(n ? 1) ? 2n ? 3. 5 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 3. ∴ { n = 52? 是等差数列,∴ 等差数列,∴ = ? 2n+ + 3n,从而 a ??? n ? 1. 4 ∴S } 2n 3n,从而 a nn 4n ? 1. ∴Sn n n n
∴S = 2n2 1. + 3n,从而 an n? 4n ?+ 3n,从而 an ? 4n ? 1.
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2

n n 已知 a1 ? 2, an ? 4an?1 ? 2n ( n ≥ 2), 则an =______. 【2】 4 ?2

an an?1 ? 2 ? n?1 ? 1, n 2 2

an 所以数列 { n ? 1} 是首项为2,公比为2的等比数列, 2

an an ?1 即 n ? 1 ? 2( n?1 ? 1). 2 2

an ? n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 , 2

? an ? 4 ? 2 .
n n
n

an ? 4an?1 ? 2

an an?1 1 n ? n ? n?1 ? ( ) 2 4 4

an ? 4an?1 ? 2 ? an ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 )
n

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a1 ? 3, an ? Sn?1 ? 2n , 求an及 Sn . 【3】数列 {an} 中, 解: an ? Sn ? Sn?1 , ? Sn ? 2 Sn?1 ? 2n , ? Sn ? Sn?1 ? 1. ? 2 n 2 n ?1
Sn ? n ? n ? 1 , 即 Sn ? 2n?1 (2n ? 1). 2 2 当n≥2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? 3) ? 2n? 2 ,

Sn S1 a1 3 所以 { n } 是以 1 ? ? 为首项,1为公差的等差数列. 2 2 2 2

a1=3不适合上式.
n ? 1, ? 3, ? an ? ? (2n ? 3) ? 2n? 2 , n ≥ 2. ?
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5) 因式分解法
a 【补偿1】已知数列{an}中, 1 ? 1, an ? 0,
( n ? 1)a n?1
2

1 ? na ? an?1an ? 0, n ? N , 则an=_______. n
2 n ?

(an?1 ? an )[( n ? 1)a n?1 ? nan ] ? 0

an ? 1 ? n ( n ? 1)a n?1 ? nan ? 0 ? an n ? 1 an an ?1 a 3 a2 an ? ? ? ? ? ? ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1
? n ? 1 ? n ? 2 ??? 2 ? 1 ? 1 ? 1 . n n n?1 3 2
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6) an与Sn的关系
n ? 1, ?1, an ? ? 则数列 ?an ? 的通项公式为______________________. 2 ? 3n? 2 , n ≥ 2. ?

a 【1】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ,

Sn?1 ? Sn ? 2 Sn ,

S n ?1 ? 3 S n ? S n ? 3 .

n?1

n ? 1, ?1, ? an ? ? n? 2 ?2 ? 3 , n ≥ 2.
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③综上 Sn ? 2 ? ( 2 ) .
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? 2, n ? 1, 1S ?a ?? ① an?1 ? ? 3 n? 2 n 2 n ?( 2 ) , n ≥ 2. ? 3 )0 ? ( 3 )1 1 ? ? ? ( 3 )n? 2 S ②当 n ≥ 2 时, n ? 2 ? ( 2 21 2 3 )n? 1? ( 2 3 )n?1. ? 2? ? 2? ( 2 1? 3 2 3 n ?1

Sn ? 2 ? ( 3 )n?1. 2

6) an与Sn的关系 【2】
? 3, n ? 1, ? n ? 1, 则an = ?2n , n ≥ 2. ? __________.

log 2 ( Sn ? 1)

Sn ? 2

n ?1

? 1.

① 当 n=1 时, a1 = S1 = 3. ② 当 n≥2 时,

an = (2n+ 1 - 1) - (2n - 1) = 2n.
③经检验 n=1时 a1=3不适合上式.
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6) an与Sn的关系

【3】 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时,其前

3

? 3 ? n ? 1? an ? ? 2 ? n ≥ 2? ? ? 1 ? 4n 2

2Sn2 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 n 项和 S n 满足 an ? 2Sn ? 1 ? 1

S n ? S n ?1

2 2 Sn ? 2 Sn ? 1

? Sn ?

1 1 ? S n ?1 ? S n ? 2 S n S n ?1 ? ? ? 2( n ≥ 2) S n S n ?1

1 . 2n ? 1

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7) 方程法
【补偿 1】函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,数列 {an } 中, an 满足
2 f (log 2 an ) ? ?2n . 则 an ? _______________. n ?1 ? n

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7) 方程法
【2】
4017 则 a2009 ? _______ . 5

Tn an ? ? (5 ?1)2 ? 52 n?1. 当 n≥2 时, Tn?1 5 n

n2

? a2009 ? 5

2?2009?1

?5

4017

.

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7) 方程法
数列{an }中, a1 ? 1, 对所有n ? N ?,都有 【3】
n ? 1, ?1, ? 2 a1a2 ? ? ? an ? n , 则 an ? ? n2 , n ≥ 2. ? ( n ? 1)2 ?

a1a2 ? ? ? an ? n2
a1a2 ? ? ? an?1 ? ( n ? 1)2 , n ≥ 2

n2 , n ≥ 2. ? an ? ( n ? 1)2

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7) 方程法
【4】

解: a1 ? 1, ?
? a2 ? 1,
a3 ? a1 ? 1 a2 ? 3 . 2 2

? an?1 ? an ? 1 an (n ≥ 2). n
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7) 方程法
【4】

an an?1 a3 ? an ? ? ? ? ? ? a2? n ? n ? 1 ??? 4 ? 3 ? 1, an?1 an?2 a2 n?1 n? 2 3 2 ? an ? n ( n ≥ 2). 又a1 ? 1 ? 1 , 2 2
?1, n ? 1, ? ? an ? ? n ? 2 , n ≥ 2. ?

a n ?1 n ? 1 ? ? ( n ≥ 2). an n

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7) 方程法
【5】

4( n ? 1) 则 an ? ____________ .
2

?3( n ? 1) ②

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8) 归纳猜想
【1】(2010 重庆理 21)在数列 {an } 中, a1 =1,
an?1 ? can ? c n?1 (2n ? 1) (n ? N? ) ,其中实数 c ? 0 .

an ? ( n ? 1)c ? c 则数列 ?an ? 的通项公式是__________________.
2 n n?1

a1 ? 1, 2 2 2 2 a2 ? ca1 ? c ? 3 ? 3c ? c ? (2 ? 1)c ? c 3 a3 ? ca2 ? c ? 5 ? 8c 3 ? c 2? (32 ? 1)c 3 ? c 2
a4 ? ca3 ? c 4 ? 7? 15c 4 ? c 3 (42 ? 1)c 4 ? c 3 ?

? an ? ( n2 ? 1)c n ? c n?1 ( n ? N? )
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an ? 4 【2】已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ,且 a1 ? 1, n ? N? ,求 an . an ? 3

8) 归纳猜想

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9) 观察法

? 0 ( n为奇数 ) an ? ? ?1 ( n为偶数 )

1 ? ( ?1) an ? 2

n

1 ? cos n π an ? 2
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【1】已知a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? 2an? 2 ( n ≥ 3).
n?1 则 (1)an ? an?1 ? ___; (2)an ? _______ . 2 2 an ? 3an?1 ? 2an? 2 ?an ? an?1 ? 2(an?1 ? an? 2 )

n? 2

??an ? an?1 ? 是以a2-a1=1为首项,以2为公比的等比数列,

an ? an ?1 ? 1 ? 2 n ? 2 .

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1 )

=1+1+2+22+·+2n-2 · · n?1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2n?1. 1? 2
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