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1-1.3.1-单调性与最大(小)值(第一课时)



§1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时) 教学时间:2006 年 9 月 9 日星期四 教学班级:高一 班 教学目标:1.使学生理解增函数、减函数的概念; 2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法; 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力; 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力; 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点:函数单调性的概念 教学难点:函数单调性的判断和证明 教学方法:讲授法 教学过程: (I)复习回顾 1.函数有哪几个要素? 2.函数的定义域怎样确定?怎样表示? 3.函数的表示方法常见的有哪几种?各有什么优点? 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、 表示方法以及区间的概念, 现在我们来研究一下函数的性质 (导 入课题,板书课题) 。 (II)讲授新课 1.引例:观察 y=x2 的图象,回答下列问题(投影 1) 问题 1:函数 y=x2 的图象在 y 轴右侧的部分是上升的,说明什么? 随着 x 的增加,y 值在增加。 问题 2:怎样用数学语言表示呢? 设 x1、x2∈[0,+∞],得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1<x2 时,f(x1)< f(x2). (学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发)。 结论:这时,说 y1= x2 在[0,+∞]上是增函数。 (同理分析 y 轴左侧部分)由此可有: 2.定义: (投影 2) 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1x2 时都有 f(x1)< f(x2).那么 就说 f(x)在这个区间上是增函数(increasing function) 。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2).那 么就是 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有 (严格的) 单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的 图象是下降的。 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。

(III)例题分析 例 1.下图是定义在闭区间上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每 一个区间上的单调性(课本 P34 例 1) 。 问题 3:y=f(x)在区间,上是减函数;在区间,上是增函数,那么在两个区间的公共端点处, 如:x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数? 分析:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的 常数,因此没有增减变化,所以不存在单调性问题;另一方面,中学阶段研究的是连续函数 或分段连续函数,对于闭区间的连续函数而言,只要在开区间单调,则它在闭区间也单调。 因此在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以(要注意端点是否在定义域范围内) 。 说明: 要了解函数在某一区间上是否具有单调性, 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方 法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。 例 2.证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 证明:设任意 x1、x2∈R,且 x1<x2. 则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2). 由 x1<x2 得 x1-x2<0.∴f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 分析:判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤: a.设 x1、x2∈给定区间,且 x1<x2; b.计算 f(x1)- f(x2)至最简; c.判断上述差的符号; d.下结论。 例 3.教材第 34 页例 2。 (IV)课堂练习 课本 P35 “探究题”和 P38 练习 1—3 注意:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明 这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 (V)课时小结 本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单调性是对某个区间而言的,同时在 理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断和证明。 (VI)课后作业 1、书面作业:课本 P45 习题 1.3A 组题 1、2、3、4 题。 2、预习作业: 预习内:容函数的最大值与最小值(P35—P38) ; 预习提纲: a.函数最大值与最小值的含义是什么? b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系?



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