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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第2炼 充分条件与必要条件 Word版含解析



第 2 炼 充分条件与必要条件
一、基础知识 1、定义: (1)对于两个条件 p, q ,如果命题“若 p 则 q ”是真命题,则称条件 p 能够推出条件 q ,记 为p?q, (2)充分条件与必要条件:如果条件 p, q 满足 p ? q ,则称条件 p 是条件 q 的充分条件; 称条件 q 是条件 p 的必要条件 2、对于两个条件而言,往往以其中一个条件为主角,考虑

另一个条件与它的关系,这种关系 既包含充分方面,也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若 p 则 q ”的真假,也要判断 “若 q 则 p ”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系: (1) p 能推出 q ,但 q 推不出 p ,则称 p 是 q 的充分不必要条件 (2) p 推不出 q ,但 q 能推出 p ,则称 p 是 q 的必要不充分条件 (3) p 能推出 q ,且 q 能推出 p ,记为 p ? q ,则称 p 是 q 的充要条件,也称 p, q 等价 (4) p 推不出 q ,且 q 推不出 p ,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系 (1)通过命题手段,将两个条件用“若??,则??”组成命题,通过判断命题的真假来判 断出条件能否相互推出, 进而确定充分必要关系。 例如 p : x ? 1; q : x ? 1 ? 0 , 构造命题: “若
2

x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ? 0 ”为真命题,所以 p ? q ,但“若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 ”为假命题( x 还
有可能为 ? 1 ) ,所以 q 不能推出 p ;综上, p 是 q 的充分不必要条件 (2)理解“充分” , “必要”词语的含义并定性的判断关系 ① 充分:可从日常用语中的“充分”来理解,比如“小明对明天的考试做了充分的准备” , 何谓“充分”?这意味着小明不需要再做任何额外的工作,就可以直接考试了。在逻辑中充 分也是类似的含义,是指仅由 p 就可以得到结论 q ,而不需要再添加任何说明与补充。以上 题为例,对于条件 p : x ? 1 ,不需再做任何说明或添加任何条件,就可以得到 q : x ? 1 ? 0 所
2 2 以可以说 p 对 q 是“充分的” ,而反观 q 对 p ,由 q : x ? 1 ? 0 ,要想得到 p : x ? 1 ,还要补

充一个前提: x 不能取 ? 1 ,那既然还要补充,则说明是“不充分的” ② 必要:也可从日常用语中的“必要”来理解,比如“心脏是人的一个必要器官” ,何谓“必
-1-

要”?没有心脏,人不可活,但是仅有心脏,没有其他器官,人也一定可活么?所以“必要” 体现的就是“没它不行,但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例:如果 q : x 2 ? 1 ? 0 不 成立,那么 x 必然不为 1,但是仅靠 q : x 2 ? 1 ? 0 想得到 p : x ? 1 也是远远不够的,还需要更 多的补充条件,所以仅仅是“必要的” (3)运用集合作为工具 先看一个问题:已知 P ? Q ,那么条件“ x ? P ”是“ x ? Q ”的什么条件? 由 P ? Q 可得到: x ? P ? x ? Q ,且 x ? Q 推不出 x ? P ,所以“ x ? P ”是“ x ? Q ” 充分不必要条件。通过这个问题可以看出,如果两个集合存在包含关系,那么其对应条件之 间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合,判断出两个 集合间的包含关系,进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下: ① P ? Q : p 是 q 的充分不必要条件, q 是 p 的必要不充分条件 ② P ? Q : p 是 q 的充分条件 ③ P ? Q : p 是 q 的充要条件 此方法适用范围较广,尤其涉及到单变量取值范围的条件时,不管是判断充分必要关系还 是利用关系解参数范围,都可将问题转化为集合的包含问题,进而快捷求解。例如在

p : x ? 1; q : x 2 ? 1 ? 0 中,满足 p 的 x 取值集合为 P ? ?1?,而满足 q 的 x 取值集合为 ??1,1?
所以 P ? Q ,进而判断出 p 是 q 的充分不必要条件 5、关于“ ? p , ? q ”的充分必要关系:可从命题的角度进行判断。例如: p 是 q 的充分不必 要条件, 则命题 “若 p , 则q ” 为真命题, 根据四类命题的真假关系, 可得其逆否命题 “若 ? q , 则 ? p ”也为真命题。所以 ? q 是 ? p 的充分不必要条件 二、典型例题:
2 例 1:已知 p : x ? 3 ? 1, q : x ? x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的(



A. 充要条件 C. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

思路:考虑利用集合求解:分别解不等式得到对应集合。 x ? 3 ? 1 ? ?1 ? x ? 3 ? 1 ,解得:

2 ? x ? 4 ,即 P ? ?x | 2 ? x ? 4? ; x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?3 或 x ? 2 ,即
-2-

Q ? ?x | x ? ?3或x ? 2?。所以 P ? Q ,进而 p 是 q 的充分不必要条件
答案:C 例 2:已知 a, b ? R ,那么 log 1 a ? log 1 b 是 3 ? 3 的(
a b



2

2

A. 充要条件 C. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

思路:本题若觉得不方便从条件中直接找到联系,可先从一个条件入手推出其等价条件,再 进行判断,比如“ 3 ? 3 ”等价于 a ? b ,所以只需判断 log 1 a ? log 1 b 与 a ? b 的关系即可。
a b

2

2

根据 y ? log 1 x 的单调性可得:如果 log 1 a ? log 1 b ,则 a ? b ,但是若 a ? b ,在 a , b 大于
2 2 2

零的前提下,才有 log 1 a ? log 1 b ,而题目中仅说明 a, b ? R 。所以不能推出。综上可判断
2
a b

2

log 1 a ? log 1 b 是 3 ? 3 的充分不必要条件
2 2

答案:C 小炼有话说: (1)如果所给条件不方便直接判断,那么可以寻找它们的等价条件(充要条件) , 再进行判断即可 (2)在 log 1 a ? log 1 b 推 a ? b 中,因为 log 1 a ? log 1 b 是条件,表达式成立要求 a , b ? 0 ,
2 2 2 2

但是在 a ? b 推 log 1 a ? log 1 b 中,a ? b 是条件, 且对 a , b 取值没有特殊要求, 所以 a, b ? R ,
2 2

那么作为结论的 log 1 a,log 1 b 就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件,
2 2

谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义,所以会对变量取值有一定的影响。 例 3:已知 p : x ? k , q :

3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是_____ x ?1

思路:设 P ? ?x | x ? k ?, Q ? ? x |

? ?

3 ? ? 1? ? ?x | x ? ?1或x ? 2? ,因为 p 是 q 的充分不必要 x ?1 ?

条件,所以 P ? Q ,利用数轴可而判断出 k ? 2 答案: k ? 2 例 4:下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

) D. a ? b
3 3

思路:求 a ? b 的充分不必要条件,则这个条件能够推出 a ? b ,且不能被 a ? b 推出。可以 考虑验证四个选项。A 选项 a ? b ? 1 可以推出 a ? b ,而 a ? b 不一定能够得到 a ? b ? 1 (比
-3-

如 a ? 1, b ? 1.5 ) ,所以 A 符合条件。对于 B,C 两个选项均不能推出 A,所以直接否定。而 D
3 3 选项虽然可以得到 a ? b ,但是 a ? b 也能推出 a ? b ,所以 D 是 A 的充要条件,不符题意

答案:A 例 5: (2015 浙江温州中学高二期中考试)设集合 A ? ? x | “ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? ?

x ?1 ? ? 0 ? , B ? ?x | x ? 1 ? a?,则 x ?1 ?

思路: 先解出两个解集:A ? ? ?1,1? , 若a ? 0 , 则B ??; 若a ? 0, B 的解集与 a 的取值有关: 则 B ? ?1 ? a,1 ? a ? , 观察条件, 若 a ? 1, 则 B ? ? 0,2? , 所以 A ? B ? ? 成立; 若 A? B ? ? , 则通过数轴观察区间可得 a 的取值为多个(比如 a ? 充分不必要条件 答案:A 例 6:对于函数 y ? f ( x), x ? R , “ y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数” 的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 ) ,所以“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的 2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

思路:如果 y ? f ( x) 是奇函数,图像关于原点对称,则 y ? f ( x) 中 y ? f ( x) 位于 x 轴下方 的部分沿 x 轴对称翻上来,恰好图像关于 y 轴对称,但 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称未必能
2 得到 y ? f ( x) 是奇函数(例如 f ? x ? ? x ) ,所以“ y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称”是

“ y ? f ( x) 是奇函数”的必要不充分条件 答案:B 例 7:已知 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1”是“ a ? b ? 1 ”的(
2 2



A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

思路一:可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左 ?右,可以举出反例 a ? 0.9, b ? 0.4 ,

-4-

则 a ? b ? 1 不成立,所以左边无法得到右边。而右 ?左能够成立,所以“ a ? b ? 1”是
2 2

“ a ? b ? 1 ”的必要不充分条件 思路二:本题也可以运用集合的思想,将 a , b 视为一个点的坐标 ? a, b ? ,则条件所对应的集合 为P ?

?? a, b ? | a

2

? b2 ? 1?, Q ? ?? a, b ? | a ? b ? 1? ,作出两个集合在坐标系中的区域,观察
2 2

两个区域可得 P ? Q ,所以“ a ? b ? 1”是“ a ? b ? 1 ”的必要不充分条件 答案:B 例 8(2015 菏泽高三期中考试) :设条件 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0(a ? 0) ;条件 q : 实数 x 满足 x ? 2 x ? 8 ? 0 且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 则实数 a 的取值范围是_________
2

思路:本题如果先将 ? p , ? q 写出,再利用条件关系运算,尽管可行,但 ? p , ? q 容易书写 错误。所以优先考虑使用原条件。 “ ? p 是 ? q 的必要不充分条件”等价于“ q 是 p 的必要不 充分条件” ,而 p, q 为两个不等式,所以考虑求出解集再利用集合关系求解。
2 2 解:设 P ? x | x ? 4ax ? 3a ? 0, a ? 0 ,可解得: P ? ? 3a, a ? , 2 设 Q ? x | x ? 2 x ? 8 ? 0 可解得: Q ? ? ??, ?4? ? ? 2, ??? ,

?

?

?

?

? ? p 是 ? q 的必要不充分条件

? q 是 p 的必要不充分条件

?Q ? P

?a ? 0

? a ? ?4

答案: a ? ?4
? 例 9:数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? r ? an ? r n ? N , r ? 0 ,则“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等

?

?

差数列”的(

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

思路:当 r ? 1 时,可得 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 成等差数列。所以“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等 差数列”的充分条件。另一方面,如果 ?an ? 成等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,所以有

2a2 ? a1 ? a3 ? 2 ? r ? a1 ? r ? ? 1 ? ra2 ? r ? 2 ? r ? a1 ? r ? ? 1 ? r ? ra1 ? r ? ? r ,代入 a1 ? 1
2 2 可得: 4r ? 2r ? r ? 1 ? 2r ? 3r ? 1 ? 0 ,解得 r ? 1 或 r ?

1 1 ,经检验, r ? 时, 2 2

-5-

1 1 1 1 a1 ? ? 1 , a3 ? a2 ? ? 1,? 利用数学归纳法可证得 an ? 1 ,则 ?an ? 也为等差数 2 2 2 2 1 列(公差为 0) ,所以 r ? 符合题意。从而由“数列 ?an ? 成等差数列”无法推出“ r ? 1 ” , 2 a2 ?
所以“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等差数列”的不必要条件 答案: A 例 10:设 0 ? x ?

?
2

,则 x sin x ? 1 是 x sin x ? 1 的(
2



A. 充分不必要条件 C. 充要条件 思路:因为 0 ? x ?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

?
2

,所以 0 ? sin x ? 1 。故由 x sin x ? 1 可得 x sin x ? sin x ? sin x ? 1 ,即

x sin 2 x ? 1 ,对于 x sin 2 x ? 1 能否推出 x sin x ? 1 ,可考虑寻找各自等价条件:

x sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ?

1 1 1 ? sin x ? , x sin x ? 1 ? sin x ? ,通过数形结合可以得到 x x x
2.6 2.4

1 符合 sin x ? 的 x 的集合是 x

2.2

1 sin x ? 的 x 集合的子集。所 x
以 x sin x ? 1 是 x sin x ? 1 的必
2

2

g?x? =

1 x

1.8

1.6

1.4

1.2

f?x? =

1 x h?x? = sin?x?

1

要不充分条件 答案:B

0.8

0.6

0.4

0.2

1.5

1

0.5 0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0.4

三、近年模拟题题目精选

0.6

1、 (2014, 江西赣州高三摸底考试) 若 a, b ? R ,则 “ a ?b ? a ? b ” 是“ ab ? 0 ” 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



2、 (2014 南昌一模,3)设 a, b 为向量,则“ | a ? b | = | a || b | ”是“ a // b ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
2 2

? ?

? ?

? ?

? ?



C. 充要条件 )

D. 既不充分也不必要条件

3、若 a, b ? R ,则“ a ? b 成立”是“ a ? b 成立”的(

-6-

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 )

4、 (2014,北京)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ q ? 1 ”是“ ?an ? 为递增数列”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5、 (2014 上海 13 校联考, 15) 集合 A ? ? x

? x?2 ? 若“ a ? ?2 ” ? 0? , B ? ?x ( x ? a)( x ? b) ? 0? , ? x ?1 ?
) D. ?1 ? b ? 2 ) C. b ? ?1

是“ A I B ? ? ”的充分条件,则 b 的取值范围是( A. b ? ?1 B. b ? ?1

6、 (2015,福建)“对任意的 x ? ? 0, A. 充分不必要条件

? ?? ? , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的( ? 2?
C. 充要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

7、 (2014 北京朝阳一模,5)在 △ ABC 中, A ? 的( ) B. 必要不充分条件

π π , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ”是“ B ? ” 4 3

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

8、 ( 2014 湖北黄冈月考, 4 )已知条件 p : k ?

3 ,条件 q :直线 y ? k ? x ? 2? ? 1 与圆 4

x 2 ? y 2 ? 4 相切,则 p 是 q 的(
A.充分不必要条件

) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

B.必要不充分条件

9、(2014 陕西五校二模,1)命题 p : x ? R 且满足 sin 2 x ? 1 .命题 q : x ? R 且满足 tan x ? 1 . 则 p 是 q 的( ) B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件

10、 (2015 北京理科) 设 ? , ? 是两个不同的平面,m 是直线且 m ? ? . 则“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ” 的( ) B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件

11、 (2016,上海交大附中期中)条件“对任意 x ? ? 0, ( )

? ?? ? , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的 ? 2?

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 习题答案:

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

-7-

1、答案:B 解析:从集合的角度来看,满足 a ? b ? a ? b 条件的 ? a, b ? 取值范围是 ab ? 0 或 ab ? 0 , 所以可知“ a ? b ? a ? b ”是“ ab ? 0 ”的必要不充分条件 2、答案:C 解析: a ? b = a b ? a ? b = ? a b ? a, b 的夹角为 0, ? ,从而等价于 a // b 3、答案:C 解析:由不等式性质可知: a ? b ? 0 ,则 a
2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? b 即 a 2 ? b2 , 反 之 若 a 2 ? b2 , 则

2

a2 ? b2 即 a ? b
4、答案:D 解析:若 ?an ? 的项均为负项,则“ q ? 1 ”,“ ?an ? 为递增数列”之间无法相互推出,所以两条件 既不充分也不必要 5、答案:B 解析: A : ? ?1,2? , B : ? x ? 2?? x ? b? ? 0 ,因为 A I B ? ? ,由数轴可得: b ? ?1 即可 6、答案:B 解析:左侧条件中恒成立不等式可化为

k k sin 2x ? x ? 0,设 f ? x? ? sin 2x ? x ,可知 2 2

f ?0? ? 0 , 所 以 若 f ? x ? 为 减 函 数 , 则 一 定 有 f ? x ? ? f ?0? ? 0 成 立 。 考 虑
? ?? f ' ? x ? ? k cos2 x ? 1,由 x ? ? 0, ? 可得: 2 x ? ?0,? ? ,故 k ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 成立,所以 ? 2?

f ? x ? 为减函数, f ? x ? ? f ?0? ? 0 成立。所以使不等式恒成立的 k 的范围包含 ? ??,1? ,而

? ??,1? ? ???,1 ? ,故“对任意的 x ? ? ? 0,
?
7、答案:B 解析:由正弦定理可得:

??

? , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的必要不充分条件 2?

? 2? BC AC 3 ? ? sin B ? ,所以 B ? 或 ,均满足题意,由 3 3 sin A sin B 2
π ”的必要不充分条件 3

两条件对应集合关系可知“ AC ? 3 ”是“ B ? 8、答案:C

-8-

解析: 从 q 入手, 若 y ? k ? x ? 2? ? 1 与圆相切, 则d ? 9、答案:C 解析:分别解出满足两个条件 x 的解, p : 2 x ?

2k ? 1 k2 ?1

? 2 解得 k ?

3 , 所以 p ? q 4

?
2

? 2k? ? k ? Z ? ? x ?

?
4

? k? ? k ? Z ? ;

q : tan x ? 1 ? x ?
10、答案:B

?
4

? k? ? k ? Z ? ,可知两个集合相等,故 p ? q

解析: 依面面平行的判定和性质可知: “ m ∥ ? ”无法得到“ ? ∥ ? ”, 但“ ? ∥ ? ”可推出“ m ∥ ? ” 11、答案:B 解析:将不等式变形为

k sin 2 x ? x ? k sin 2 x ? 2 x ? 0 , 设 f ? x? ? ks i n 2x ,且 ? 2x 2

? ?? f ? 0? ? 0 ,则 f ' ? x ? ? 2k cos2x ? 2 。当 k ? 1 时,可得 f ' ? x ? ? 0 ,从而 f ? x ? 在 ? 0, ? 单 ? 2?
调 递 减 , f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 即 不 等 式 恒 成 立 。 所 以 若 “ k ? 1 ” ,则“对任意

? ?? ? ?? ; 而 “对任意 x ? ? 0, ? , k sin x cos x ? x ” , 未必能得到 “ k ? 1” x ? ? 0, ? , k sin x cos x ? x ” ? 2? ? 2?
( k ? 1 不等式也成立) ,所以为“必要不充分条件”

-9-



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