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第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


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个 性 化 教 学 设 计 教 案
授课时间: 8:00--10: --10 授课时间: 2011 年 7 月 18 日( 8:00--10:15 ) 年级: 年级: 高二 学科: 学科: 数学 课时: 课时:3 备课时间: 备课时间:2011 年 7 月 16 日 学生姓名: 学生姓名:

课题名称

函数、 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
1.函数

授课教师: 授课教师:曾先兵

(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。 (3)了解简单的分段函数,并能简单应用。 (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。 (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景。 (2)理解有理指数幂的含义,了解褛指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。 (4)知道指数函数是一类重要的函数模型。

教学目标

3.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数 在简化运算中的作用。[来源:学§科§网 Z§X§X§K] (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型。 (4)了解指数函数 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念
1 1 (2)结合函数 y = x, y = x , y = x , y = , y = x 2 的图象了解它们的变化情况。 x 2 3

y = a x 与对数函数 y = log a x 互为反函数( a > 0, 且a ≠ 1 ) 。

一、函数的概念与表示 1.函数是两个数集之间的对应,需关注定义中的存在性和唯一性. 2.在函数的三要素中,决定函数的是对应关系及定义域,只要对应关系和定义域确定了,
2

值域也就确定了,但对应关系和值域确定了,定义域是不确定的.如函数 y=x 的值域为[0,1], 定义域可能为[-1,1],也可能为[0,1]等. 二、函数的性质 1.单调性是函数在其定义域上的局部性质,也是最重要的性质,要特别注意定义中的符号语言: 教学过程 教学过程 定义在 I 上的函数 f(x),且 D?I,对任意 x1,x2∈D,且 x1<x2 时,都有 f(x1)<(或>)f(x2),则称 f(x1)-f(x2) >(或 x1-x2

f(x)在区间 D 上为增函数(或减函数).其等价说法有:对任意 x1,x2∈D 时,都有

<)0 或(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>(或<)0,则称 f(x)在区间 D 上为增函数(或减函数).当函数有几 个增区间时,在写函数单调区间时,这些区间一般不能取并集. 2.奇偶性是函数的整体性质,判断奇偶性务必先判断定义域是否关于原点对称,若奇函数 的定义域中有 0,则必有 f(0)=0,而此时 f(0)=0 是 f(x)为奇函数的必要非充分条件.
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3.周期性是函数的整体性质,一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域中的任意一个 x 的 值: 若 f(x+T)=f(x)(T≠0),则 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期; 若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则 f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期; 若 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则 f(x)是周期函数,2a 是它的一个周期; 若 f(x+a)= 1 (a≠0,且 f(x)≠0),则 f(x)是周期函数,2a 是它的一个周期; f? x?

1+f?x? 若 f(x+a)= (a≠0 且 f(x)≠1),则 f(x)是周期函数,4a 是它的一个周期. 1-f?x? 三、函数的图象 1.有关对称性的几个重要结论 一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域内的任意一个 x 的值:

a+ b
则函数 f(x)的图象关于直线 x= 若 f(x+a)=f(b-x), 2 -x),函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称; 若 f(a+x)=-f(b-x),则函数 f(x)的图象关于点? 对称. 特别地, f(a+x)=f(a 若

?a+b,0?成中心对称.特别地,若 f(a ? ? 2 ?

+x)=-f(a-x),则函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称. 2.对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般地,期函数,且 2|b-a|是它的一个周期; 若 f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则 f(x)必为周期函数,且 2|b-a|为 它的一个周期; 若 f(x)的图象有一对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0)(a≠b),则 f(x)为周期函数,且 4|b -a|是它的一个周期. 3.图象变换:图象变换有平移、伸缩、对称三种. 四、基本初等函数(Ⅰ) 1.指数、幂、对数的运算. 2.指数、对数函数的性质,尤其注意单调性与底数有关. 3.幂函数的单调性与幂指数 a 的正、负有关. 一:基本初等函 数问题 例 1:函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 : (A) y= e
x +1

-1(x>0)

(B) y= e

x ?1

+1(x>0)
5

(C) y= e

x +1

-1(x ∈ R) )

(D)y= e

x ?1

+1 (x ∈ R)

( , 例 2:设 a = log 5 4,b = log5 3) c = log 4 ,则 (
2

(A)a<c<b

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

例 3:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 那么函数解析式为 y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 )

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??1?x,x≥4, ? 则 f(2+log23)的值为( 例 4:已知函数 f(x)=??2? ?f(x+1),x<4. ?
A. 1 3 1 B. 6 C. 1 12 D. 1 24

)

二:函数与映射概念的应用问题

例 5:若函数 f(x)= ?log ( ? x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 : 1

?log 2 x, x > 0, ? ? ?
2

(

)

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1) )

例 6:函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

例 7:已知定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(

)

A.f(2007)<f(2011)<f(2008)

B.f(2011)<f(2007)<f(2008)

C.f(2008)<f(2011)<f(2007) 三:函数图象问题
x 2 例 8:函数 y=2 -x 的图象大致是(

D.f(2007)<f(2008)<f(2011)

)

例 9:若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x


+k)的图象是(

)

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四:函数性质问题
2 例 10:已知函数 f ( x) = ( a + 1) ln x + ax + 1 . :

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ≤ ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ 4 | x1 ? x2 | .

11: 例 11:已知函数 f(x)=ln(ex+a)(a 为常数)是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; lnx (2)讨论关于 x 的方程 =x2-2ex+m 的根的个数. f(x)

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1.对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)= log a ( x + 3) 的反函数的图像都经过点 P,则点 P 的坐标 是 2.设 a = log 3 2 , b = ln 2 , c = 5 A a<b<c 3.函数 f ( x ) = Bb<c<a
? 1 2

,则( ) D c<b<a

C c<a<b

4x + 1 的图象( ) 2x
B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

A.关于原点对称 课堂练习 课堂练习 C.关于 x 轴对称
1

4.给定函数① y = x 2 ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x ? 1| ,④ y = 2 x +1 ,其中在区间(0,1)上
2

单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④

? 2 5.已知函数 f ( x) = ? x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1 ? x 2 ) > f (2 x ) 的 x 的取值范围是_____。 x<0 ?1,

1.已知函数 f ( x) = ?

?log 2 x ?2
x

x>0 x≤0

,若 f (a ) =

1 ,则实数 a = 2
(D)1 或 ? 2





(A)-1

(B) 2

(C)-1 或 2

?2e x ?1 ? 2. f(x)= f ( x ) = ? 2 ?log 3 ( x ? 1) ?
(A)0 (B)1 (C)2

x<2 x≥2

, 则 f(f(2))的值为(
(D)3 )

)

3. 设 a=π 0.3,b=logπ3,c=30,则 a,b,c 的大小关系是( (A)a>b>c (C)b>a>c (B)b>c>a (D)a>c>b

课后作业 课后作业

4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 的值为( )

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)的最小正周期为 3,f(1)>0,f(2)= 的取值范围是( (A) (?∞, ) ) (B) ( ?∞,1) U (1, )

2m ? 3 ,则 m m +1 3 2

3 2

3 2

(C) ( ?1, )

3 2

(D) ( ?∞, ?1) U ( , +∞)

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6.如图是函数 y = x ( m, n ∈ N , m、n互质) 的图象,则

m n

?





(A) m, n是奇数且

m <1 n

(B) m是偶数, n是奇数且

m >1 n m >1 n

(C) m是偶数, n是奇数且

m <1 n

(D) m是奇数, n是偶数且

7.函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y = log 1 f ( x) 的图象大致是( )
2

8. 若定义在 R 上的函数 g(x)满足:对任意 x1,x2 有 g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,则下列说法一定 正确的是( ) (A)g(x)为奇函数 (B)g(x)为偶函数(C)g(x)+1 为奇函数(D)g(x)+1 为偶函数

9.设 f ( x ) = log 1 (1)求 a 的值;

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. x ?1 2

(2)证明 f(x)在区间(1,+ ∞ )内单调递增; (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x ) > ( ) + m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

1 2

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学员学习情况: 课后记 课后小评: 教师建议: 提交时间 教研组长审批 教研主任审批

1.设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x) ,若 g ( A.-2 B. ?

1 1 ) = ,则 a 等于( a ?1 4
D.2
10



1 2

C.

1 2

2.已知一容器中有 A、 两种菌, B 且在任何时刻 A, 两种菌的个数乘积为定值 10 , B 为了简单起见, 科学家用 PA = lg(n A ) 来记录 A 菌个数的资料,其中 n A 为 A 菌的个数,则下列判断中正确的个数为( ① PA ≥ 1 ②若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1,则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10 个 ③假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个,则此时 5 < PA < 5.5 A.0 3.函数 y =| x | 与 y = B.1 C.2 D.3 ( ) )

x 2 + 1 在同一坐标系的图象为

a x ? a? x a 4.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数, S ( x) = ,C (x) = 2
其中 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,下面正确的运算公式是( ① S ( x + y ) = S ( x )C ( y ) + C ( x ) S ( y ) ; ③ C ( x + y ) = C ( x )C ( y ) ? S ( x ) S ( y ) ; (A)①③ (B)②④ )

x

+ a 2

? x



② S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) ; ④ C ( x ? y ) = C ( x )C ( y ) + S ( x ) S ( y ) . (C)①④ (D)①②③④ )

5.下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是( A. f ( x ) =

1 x

B. f ( x ) = ( x ? 1) 2 ,则 f ( log 2 3) =(

C . f ( x) = e x

D f ( x ) = ln( x + 1)

6. f(x)= ?

? f ( x + 1), x < 4
x ?2 , x ≥ 4



(A)-23

(B)11

(C)19

(D)24

7.已知函数 f ( x) = log 2 x ,正实数 m,n 满足 m < n ,且 f (m) = f (n) ,若 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 2,则

n+m=


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8.已知 a =

5 ?1 x ,函数 f ( x) = a ,若实数 m 、 n 满足 f ( m) > f ( n) ,则 m 、 n 的大小关系为 2

.

9.给出下列四个命题: ①函数 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在区间 (1, e) 上存在零点 ②若 f ' ( x0 ) =0,则函数 y = f (x ) 在 x = x0 取得极值; ③ m ≥-1,则函数 y = log 1 ( x ? 2 x ? m) 的值域为 R;
2 2

④“ a = 1 ”是“函数 f ( x) =

a ? ex 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 1 + ae x

其中真命题是

(把你认为正确的命题序号都填在横线上)

10.据调查,安徽某地区有 100 万从事传统农业的农民,人均年收入 3000 元.为了增加农民的收入,当地政府积极引 资建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作. 据估计,如果有 x(x >0)万人进入企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民人均年收 入为 3000a 元(a>0 为常数). (I)在建立加工企业后,要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入,求 x 的取 值范围; (II)在(I)的条件下,当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作,才能使这 100 万农民的人均年收入达到最 大?

11.已知函数 f(x)=lnx-

a (a∈R). x

(1)当 a∈[-e,-1]时,试讨论 f(x)在[1,e]上的单调性; (2)若 f(x)<x 在[1,+∞)上恒成立,试求 a 的 取值范围.

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课后作业答案 1. 【解析】选 C。当 a >0 时, log 2 a =

1 ,解得 a 2

2 ;当 a ≤0 时, 2 a =

1 ,解得 a =-1 2

2. 【解析】选 C.∵f(2)=log3(22-1)=1, ∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2. 3. 【解析】选 D.∵a=π0.3>π0=1,0<b=logπ3<logππ=1, c=30=1,∴a>c>b. 4.【解析】 C.由已知得 f(x)=lnx,又 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 选 ∴g(x)=-f(x)=-lnx,又 g(a)=1,∴-lna=1,

∴a=

.

5. 【 解 析 】 选 C 由 已 知 f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1). 又 f(1)>0, ∴

2m ? 3 <0 ? ( m + 1)(2m ? 3) < 0 . 解 得 m +1

?1 < m <

3 。 2
n

6. 【解析】选 C.将分数指数化为根式, y =

x m ,由定义域为 R,值域为[0,+∞)知 n 为奇数,m 为偶数,又由

幂函数 y=xα,当α>1 时,图象在第一象限的部分下凸,当 0<α<1 时,图象在第一象限的部分上凸,故选 C.或由图 象知函数为偶函数,∴m 为

m <1. n 7. 【解析】选 C.由 f(x)图象知 f(x)≥1, ∴ y = log 1 f ( x) ≤0,结合图象知先 C.
偶数,n 为奇数.又在第一象限内上凸,∴
2

8. 【解析】选 C.由已知:令 x1=x2=0 得,g(0)=2g(0)+1,∴g(0)=-1, 令 x1=x,x2=-x,则有 g(0)=g(-x)+g(x)+1,∴有 g(x)+1=-[g(-x)+1],故 g(x)+1 为奇函数. 9. 【解析】(1)由已知 f(x)+f(-x)=0 即

log 1

1 ? ax 1 + ax + log 1 = 0, x ?1 x +1 2 2 1 ? a 2 x2 1 ? a2 x2 = 0,∴ = 1, 1 ? x2 1 ? x2 2 1? x = log 1 (?1), 无意义,舍去. x ?1 2 2

亦即: 1 log

即(a 2 ? 1)x 2 = 0, 又a = 1时,f ( x) = log 1 ∴ a =-1.
(2)由(1)得 f ( x ) = log 1
2

x +1 , x ?1

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设1 < x1 < x2 , 则 ∴

x1 + 1 x2 + 1 2( x2 ? x1 ) ? = > 0, x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x1 + 1 x2 + 1 > > 0, x1 ? 1 x2 ? 1
2

从而 log 1

x1 + 1 x +1 < log 1 2 , x1 ? 1 x ?1 2 2

即f ( x1 ) < f ( x2 ), ∴ f ( x)在(1, +∞)内单调递增.
(3)原不等式可化为 f ( x ) ? ( ) > m.

1 x 2 1 令? ( x) = f ( x) ? ( ) x , 则? ( x) > m对于区间[3, 4]上的每一个x都成立等价于 2 ? ( x)在[3, 4]上的最小值大于m.

Q? ( x)在[3, 4]上为增函数, ∴当x = 3时,? ( x)取得最小值, log 1
2

3 +1 1 3 9 9 ? ( ) = ? ,∴ m < ? . 3 ?1 2 8 8

参考答案
1. 【解析】选 C 因为函数 f(x)=log2x 的反函数为 y = 2 x , 所以 g ( x) = 2 x , 由 g ( 得 2 a ?1 =
1

1 1 )= a ?1 4

1 1 1 ,∴ = ?2, a = . 4 a ?1 2

2. 【解析】选 B 当 nA = 1 时 PA = 0 ,故①错误;若 PA = 1, 则nA = 10, PA = 2, 则n A = 100, 若 故②错误;

1010 设 B 菌的个数为 nB = 5 × 10 , n A = ∴ = 2 × 105 ,∴ PA = lg( n A ) = lg 2 + 5. 4 5 × 10
4

又 Q lg 2 = 0.414, 所以 5 < PA < 5.5 ,故③正确。
3. 【解析】选 A 因为 | x |≤

x 2 + 1 ,所以函数 y =| x | 的图像在函数 y = x 2 + 1 图像 的下方,排除 C、D;

当x → ∞时,x |→ x 2 + 1 ,排除 B,故选 A。 |
4. 【解析】选 D 因为 S ( x) =

a x ? a? x a ,C (x) = 2

x

+ a 2

? x

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∴ S ( x + y) =

a x+ y ? a ?( x+ y ) , 2 a x ? a? x a y + a? y a x + a? x a y ? a? y S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) = + 2 2 2 2 1 1 = a x [(a y + a ? y ) + (a y ? a ? y )] + a ? x [?(a y + a ? y ) + (a y ? a ? y )] 4 4 x+ y ?( x+ y) 1 1 a ?a = a xa y ? a? xa? y = , 2 2 2 ∴ S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ).
同理可证其它 3 个式子也成立。 5. 【解析】选 A 依题意可得函数应在 x ∈ (0, +∞ ) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 6. 【解析】选 D f (log 2 3) = f (log 2 3 + 1) = f (log 2 3 + 2) = f (log 2 3 + 3) = f (log 2 24) = 2
log 2 24

= 24.

1 1 1 1 7. 【解析】由已知得 m = , 0 < m < 1, n > 1,∴[m 2 , n] = [ 2 , n], f ( 2 ) = log 2 2 = 2 log 2 n = 2 f (n). n n n n

所以 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 f (
5 答案: . 2

1 1 5 ) = 2 f (n).∴ 2 log 2 n = 2,Q n > 1,∴ n = 2.m = . 故 n + m = . 2 2 2 n

8. 【解析】 a = 答案:m<n

5 ?1 ∈ (0,1) ,函数 f ( x) = a x 在 R 上递减。由 f ( m) > f ( n) 得:m<n 2

9. 【解析】①正确:显然 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在 (1, e) 上是增函数,且 f (1) = ?1 < 0, f (e) = e ? 1 > 0, 所以函数 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在区间 (1, e) 上存在零点;②不正确,例 f ( x ) = x 3 , f ′( x ) = 3 x 2 ≥ 0,

由f ′( x ) = 0得x = 0, 但x = 0不是 f ( x ) = x 3的极值点 ;③正确:

Q m ≥ ?1,∴? = 4 + 4m ≥ 0, x 2 ? 2 x ? m 能取到所有的正实数,所以函数的值域为R.对于④: a = 1 , 若 则
f ( x) = 1? ex 1 ? e? x (1 ? e? x )e x e x ? 1 1 ? ex ,∴ f (? x) = = = x = ? f ( x). 又 f ( x) = 的定义域为 R,所以 1 + ex 1 + e ? x (1 + e ? x )e x e + 1 1+ ex
a ? ex a ? ex 在定义域上是奇函数”;若函数 f ( x) = 在定义域上是奇函数,则 1 + ae x 1 + ae x

a = 1 ? “函数 f ( x) =

f (? x) = ? f ( x) 恒成立。因为 f (? x) =

a ? e? x (a ? e? x )e x ae x ? 1 = = , 1 + ae ? x (1 + ae ? x )e x e x + a

所以

a ? ex ae x ? 1 =? x ,∴ (a ? e x )(a + e x ) = ?(ae x ? 1)(ae x + 1), 即(a 2 ? 1)e 2 x = a 2 ? 1 恒成立, x 1 + ae e +a

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2 所以 a ? 1 = 0,∴ a = ±1, ,故“函数 f ( x) =

a ? ex 在定义域上是奇函数” 推不出“ a = 1 ”, 1 + ae x

所以④正确。综上正确的为①③④。 答案:①③④ 10. 【解】 (I)据题意, (100-x)·3000· (1+2x%)≥100×3000, 即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50. 又 x>0,故 x 的取值范围是(0,50]. (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元,则

(100 ? x) × 3000(1 +
y=

2x ) + 3000ax 100

100

3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50). 5 (1)若 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,则当 x=25(a+1)时,y 取最大值; (2)若 25(a+1)>50,即 a >1,则当 x=50 时,y 取最大值. 答:当 0<a≤1 时,安排 25(a+1)万人进入加工企业工作,当 a>1 时,安排 50 万人进入企业工作,才能使这 100 万人的人均年收入最大. 11. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

f ′( x) =

1 a x+a + 2 = 2 , 显然x 2 > 0 x x x

当-e≤a≤-1 时,1≤-a≤e,令 f′(x)=0 得 x=-a,于是当 1≤x≤-a 时,f′(x)≤0,∴f(x)在[1,-a]上为减函数,当 -a≤x≤e 时,f′(x)≥0,∴f(x)在[-a,e]上为增函数. 综上可知,当-e≤a≤-1 时 f(x)在[1,-a]上为减函数,在[-a,e]上为增函数.

a <x,∵x≥1,∴a>xlnx-x2.令 g(x)=xlnx-x2,要使 a>xlnx-x2 在[1,+∞)上恒成立, x 1 只需 a>g(x)max,g′(x)=lnx-2x+1,令φ(x)=lnx-2x+1,则φ′(x)= -2, x
(2)由 f(x)<x 得 lnx∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在[1,+∞)上单调递减,∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此 g′(x)<0,故 g(x)在[1,+∞)上单 调递减,则 g(x)≤g(1)=-1, ∴a 的取值范围是(-1,+∞).

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