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广东省2012届高三全真模拟卷数学理19.


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 19
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

z+2 ,则 z = 1.已知 z 是纯虚数, 1 ? i 是实数(其中为虚数单位)
A. 2 i B. C. ? i D. ?2 i

2.对命题 p : A ∩ ? = ? ,命题 q : A ∩ ? = A ,下列说法正确的是 A. p ∧ q 为真 B. p ∨ q 为假 C. ?p 为假 D. ?p 为真

3. 1 是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 图 若 80 分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为 A. 25% B. 30% C. 35% D. 40%

4 . 若 直 线

ax + 2by ? 2 = 0( a > 0, b > 0) 始 终 平 分 圆

1 2 + x + y ? 4 x ? 2 y ? 8 = 0 的周长,则 a b 的最小值为
2 2

A.

B. 3 + 2 2

C. 5

D. 4 2

5.某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为 A. 4π B. 5π C. 8π D. 9π

6.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条 渐近线方程为 x ? 2 y = 0 ,则它的离心率为

A. 5

5 B. 2

C. 3

D. 2

2 x 的不等式 x + 1 ? x ? 2 < a ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为 7.若关于

A. ( ?∞,1) U (3, +∞ ) 8.若

B. (1,3) C. ( ?∞, ?3) U ( ?1, +∞ ) ,定义一种向量积:

D. ( ?3, ?1) ,

a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )

a ? b = (a1b1 , a2b2 )

1 π m = (2, ), n = ( , 0) 2 3 已知 ,且点 P ( x, y ) 在函数 y = sin x 的图象上运动,点 Q 在函数
y = f ( x ) 的图象上运动,且点 P 和点 Q 满足: OQ = m ? OP + n (其中 O 为坐标原点) ,
则函数 y = f ( x ) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为

A. 2, π

B. 2, 4π

1 ,π C. 2

1 , 4π D. 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

1 (2 x ? ) n x 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n = _______. 9.在二项式
(用数字作答)

{a } 有 10. 已知等差数列 n 中,

a11 + a12 + ? + a20 a1 + a2 + ? + a30 = 10 30 成立.

b 类似地,在等比数列 { n } 中有_____________________成立.
11.按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63 , 则判断框中的整数 H = _________.

? x 2 x ∈ [0,1] ? f ( x) = ? 1 e ? x x ∈ (1, e] ∫0 f ( x)dx = _____. ? 12.设 ,则
13.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且 A = 30 . 现给出三个条件:① a = 2 ; ② B = 45 ° ;③ c =
ο

3b .试从中选出两

个可以确定 ?ABC 的条件,并以此为依据求 ?ABC 的面积.(只需写出一 个选定方案即可)你选择的条件是 的 ?ABC 的面积为 . (用序号填写);由此得到

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线,T 为切点, 面积为 2π ,则 PA = .

∠ATM =

π
3 ,圆 O 的

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ρ = 3 截直线 的弦长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.

π ρ cos(θ + ) = 1
4

所得

16. (本小题满分 12 分)已知平面上三点 A( 2,0) , B (0,2) , C (cos α , sin α ) .
2 (1)若 (OA + OC ) = 7 (O 为坐标原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小;

(2)若 AC ⊥ BC ,求 sin 2α 的值. 17. (本小题满分 12 分)第 16 届亚运会将于 2010 年 11 月在广州市举行,射击队运动员

1 们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为 10 环的概率为 3 . 求该运动员在 5 次射击中,
(1)恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (2)至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (3)记“射击成绩为 10 环的次数”为 ξ ,求 Eξ .(结果用分数表示) 18. (本小题满分 14 分)如图 5,已知 AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD = DE = 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 14 分)过点 过

P0 (1, 0) 作曲线 C : y = x 3 ( x ∈ (0, +∞)) 的切线,切点为 Q1 ,

Q1 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 P ,又过 P 作曲线 C 的,切点为 Q2 ,过 Q2 作 x 轴的垂线交 1 1

x 轴于点 P2 ,…,依次下去得到一系列点 Q1 , Q2 , Q3 ,…,设点 Qn 的横坐标为 an . (1)求
数列

{an } 的通项公式;

(2)求和

∑a
i =1

n

i

i

n an > 1 + ( n ≥ 2, n ∈ N ? ) 2 ; (3)求证: .

2 2 2 20. (本小题满分 14 分) 已知圆 M :( x ? m) + ( y ? n) = r 及定点 N (1, 0) , P 是圆 M 点

上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上, 且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m = ?1, n = 0, r = 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r , 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.

f ( x) =
21. (本小题满分 14 分)己知函数

1 ( x + 1) ln( x + 1) .

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域;(2) 求函数 f ( x ) 的增区间; (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 > ( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 参考答案 选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分, 满分 40 分.
m 1 x +1

题号 答案 1.选 D.提示: 设z

1 D

2 C

3 B

4 B

5 D

6 A

7 A

8 D

= bi (b ≠ 0) .

2.选 C.提示:由已知 p 为真,q 为假. 3.选 B.提示: 0.025 × 10 + 0.005 × 10 = 0.3 .

1 ) 4.选 B.提示: 直线过圆心(2,, 所以a + b = 1, .
∴ 1 2 1 2 b 2a + = ( a + b)( + ) = 3 + + ≥ 3+ 2 2 a b a b a b

5.选 D.提示:圆锥上面有一球,半径为 1,

∴ S = 4π 12 + π 12 +

1 2π ? 4 = 9π 2 .


6.选 A.提示: 7.选 A.提示:

b = 2, a 2 + b 2 = c 2 ,∴ 5 a 2 = c 2 ,∴ e 2 = 5, e = 5 a .
.

? 3 ≤ x + 1 ? x ? 2 < a 2 ? 4a,∴ a 2 ? 4 a + 3 > 0

OQ = ( 2 x +
8.选 D.提示:

π 1

, sin x), 3 2

∴ f (2 x +

π

1 1 1 π ) = sin x,∴ f ( x) = sin( x ? ) 3 2 2 2 6

二.填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 8 ;
10

10.

b11b12 ? b20 = 30 b1b2 ? b30



11. 5 ;

4 12. 3 ;
14. 3 2 ;

13.①②, 3 + 1 (或①③, 3 ) ; 15. 4 2 .

1 4 4 T5 = C n (2 x ) 4 ( ? ) n ? 4 = C n 2 4 (?1) n ?4 x 8?n ,∴ 8 ? n = 0, n = 8 x 9.8.提示: .
10

10.

b11b12 ? b20 = 30 b1b2 ? b30

.提示:算术平均数类比几何平均数.

∴ 11.5.提示: S = 63时A = 6, 不满足条件时输出 S, H = 5 .
1 e1 1 1 4 4 e 原式 = ∫ x 2 dx + ∫ dx = x 3 |1 + ln x |1 = + 1 = 0 0 1 x 3 3 3. 12. 3 .提示:

13.①②, 3 + 1 (或①③, 3 ).提示:由正弦定理求出 b,

再根据

S=

1 ab sin C 2 .

14. 3 2 .提示: 连接 OT,PO = 2 2 , PA = PO + OA = 3 2 .

15. 4 2 .提示: 转化为直角坐标系求解 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
2 解: (1)∵ OA + OC = (2 + cos α , sin α ) , (OA + OC ) = 7 ,

2 2 ∴ ( 2 + cos α ) + sin α = 7 ,

………………… 2 分



cos α =

1 2.

………………… 4 分

又 B (0,2) , C (cos α , sin α ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 θ ,则:

cos θ =

OB ? OC OB OC

=

2 sin α 3 = sin α = ± 2 2



5 π ∴ OB 与 OC 的夹角为 6 或 6 .

π

…………… 7 分

(2)∵ AC = (cos α ? 2,sin α ) , BC = (cosα , sin α ? 2) ,… 9 分 由 AC ⊥ BC , ∴ AC ? BC = 0 ,

可得

cos α + sin α =

1 2 ,①………………… 11 分 1 4,



(cos α + sin α ) 2 =



2 sin α cos α = ?

3 3 sin 2α = ? 4, 4 . …………………12 分

17. (本小题满分 12 分)

1 X ~ B (5, ) 3 .…2 分 解:设随机变量 X 为射击成绩为 10 环的次数,则
(1)在 5 次射击中,恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

?1? ? 1? P ( x = 3) = C × ? ? × ?1 ? ? ? 3? ? 3?
3 5

3

2

= 10 ×

1 4 40 × = 27 9 243 ………4 分

(2)在 5 次射击中,至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

P ( X ≥ 3) = P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5)
3 2 4 3 5

…………6 分
5 0

?1? ? 1? ?1? ? 1? ? 1? 5 ?1? = C × ? ? × ?1 ? ? + C54 × ? ? × ?1 ? ? + C5 × ? ? × ? 1 ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ?3? ? 3?
= 40 10 1 17 + + = 243 243 243 81 .

…………8 分

(3)方法一:随机变量 X 的分布列为:

X P

0

1

2

3

4

5

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243



E( X ) = 0 ×

32 32 32 32 32 32 5 + 1× + 2× + 3× + 4× + 5× = 243 243 243 243 243 243 3 …12 分

1 5 X ~ B (5, ) E( X ) = 3 ,所以 3 . …………12 分 方法二:因为
18. (本小题满分 14 分) 解法一:(1) 证:取 CE 的中点 G , 连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE



GF =

1 DE 2 .

∵ AB ⊥ 平面 ACD ,

DE ⊥ 平面 ACD ,
∴ AB // DE , ∴ GF // AB .



AB =

1 DE 2 ,

∴ GF = AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ………… 4 分

(2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ⊥ CD ∵ DE ⊥ 平面 ACD , AF ? 平面 ACD , ∴ DE ⊥ AF . 又 CD ∩ DE = D , 故 AF ⊥ 平面 CDE . ∵ BG // AF , ∴ BG ⊥ 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………8 分]

(3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ⊥ CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ⊥ 平面 CDE , ∴ FH ⊥ 平面 BCE . ∴ ∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. …………10 分

设 AD = DE = 2 AB = 2a ,



FH = CF sin 45° =

2 a 2 ,


BF = AB 2 + AF 2 = a 2 + ( 3a)2 = 2a
sin ∠FBH =

在 R t△ FHB 中,

FH 2 = BF 4 .…………13 分

2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 ………14 分
解法二:设 AD = DE = 2 AB = 2a , 建立如图所示的坐标系 A ? xyz , 则 A( a , 0, 0) B (0, 0, a ) C (2 a , 0, 0)

D ( a, 3a, 0) E ( a, 3a, 2a )

?3 ? 3 F ? a, a, 0 ? ?2 ? 2 ?. ∵ F 为 CD 的中点,∴ ? ?3 ? 3 AF = ? a, a, 0 ? , BE = a, 3a, a , BC = ( 2a, 0, ? a ) ?2 ? 2 ? ? (1) 证: ,

(

)



AF =

1 BE + BC 2 , AF ? 平面 BCE ,
…………4 分

(

)

∴ AF // 平面 BCE .

?3 ? 3 AF = ? a, a, 0 ? , CD = ? a, 3a, 0 , ED = ( 0, 0, ?2a ) ?2 ? 2 ? ? (2) 证:∵ ,

(

)

∴ AF ? CD = 0, AF ? ED = 0 , ∴ AF ⊥ CD, AF ⊥ ED . ∴ AF ⊥ 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE ,

∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE .

…………8 分

(3) 解:设平面 BCE 的法向量为 由 n ? BE = 0, n ? BC = 0 可得:

n = ( x, y , z )



x + 3 y + z = 0, 2 x ? z = 0 ,


n = 1, ? 3, 2

(

).

…………10 分

?3 ? 3 BF = ? a, a, ? a ? ?2 ? 2 ? ?, 又
设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ ,

sin θ =


| BF ? n | | BF | ? | n |

=

2a 2 = 4 2a ? 2 2 . …………13 分

2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 .
19. (本小题满分 14 分)

………14 分

′ 解: (1)∵ y = x ,∴ y = 3 x .
3 2

若切点是

3 Qn ( an , an ) , 3 2 y ? an = 3an ( x ? an ) .

则切线方程为

…………………1 分

当 n = 1 时,切线过点 即:

P0 (1, 0)



0 ? a13 = 3a12 (1 ? a1 ) ,

依题意

a1 > 0

.所以

a1 =

3 2.


…………………2 分

当 n > 1 时,切线过点 即:

Pn ?1 ( an ?1 , 0)

3 2 0 ? an = 3an ( an ?1 ? an ) ,

依题意

an > 0

,所以

an =

3 an ?1 ( n > 1) 2 . ………………3 分
n

?3? 3 3 an = ? ? {a } ? 2 ? . …………4 分 所以数列 n 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.所以
Sn =
(2)记

1 2 n ?1 n + +? + + a1 a2 an ?1 an ,

1 2 1 = ? an 3 an ?1 , 因为 2 1 2 n ?1 n Sn = + + ? + + 3 a2 a3 an an +1 . 所以
两式相减,

…………………5 分

1 1 1 1 n Sn = + + ? + ? 3 a1 a2 an an +1 得: 2 ?2? ?2? ?2? = + ? ? +? + ? ? ? n ? ? 3 ?3? ?3? ?3?
2
n n +1

n 2? ?2? ? ?1 ? ? ? ? n +1 3? ?3? ? ? ? ?2? = ? n? ? 2 ?3? 1? 3
n +1 ? ? 2 ?n ? ?2? = 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? ?3? ? ?3? ? ? ? .

…………………7 分

Sn = ∑

i =1

n

i ai

n +1 ? ? 2 ?n ? ?2? = 6 ?1 ? ? ? ? ? 3n ? ? ?3? ? ?3? ? ? ?

?2? = 6 ? 2(n + 3) ? ? ?3? .

n

…………………9 分

? 1? an = ? 1 + ? ? 2? (3)证法 1:
2 0 n 1 n

n

1 ?1? ?1? = C + C ? + Cn2 ? ? + ? + Cnn ? ? 2 ?2? ?2?
n 0 1?1? > Cn + Cn ? ? = 1 + ( n ≥ 2) 2 ?2? .
…………………14 分

n

证法 2:当 n = 2 时,

9 5 2 ?3? a2 = ? ? = = 1 + > 1 + 4 4 2 .…………………10 分 ?2?
假设 n = k 时,结论成立,

2



ak > 1 +

k 2,



ak +1 =

3 3? k ? 1 3 k 1 k k +1 ak > ? 1 + ? = 1 + + ? > 1 + + = 1 + 2 2? 2? 2 2 2 2 2 2 .]

即 n = k + 1 时.

ak +1 > 1 +

k +1 2 . n 2

…………………13 分

综上,

an > 1 +

对 n ≥ 2, n ∈ N 都成立. 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ NP = 2 NQ,∴

?

…………………14 分

∴点 Q 为 PN 的中点, 又∵ GQ ? NP = 0 ,

∴ GQ ⊥ PN 或 G 点与 Q 点重合.
∴ | PG |=| GN | . …………2 分

又 | GM | + | GN |=| GM | + | GP |=| PM |= 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a = 2, c = 1 , ∴b =

a 2 ? c 2 = 3,∴ G

x2 y 2 + = 1. 3 ∴G 的轨迹方程是 4
(2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数,

…………6 分

…………7 分

当直线 MN 的斜率存在时,设之为 k ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) , 故直线 MN 的方程为: y = k ( x ? 1) ,设
? x12 y12 + =1 ? ? 4 3 ? 2 2 ? x2 + y2 = 1 ? 3 则? 4 ,两式相减得:

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) + =0 4 3 .…………9 分
y1 ? y2 1 =? x ? x2 k, 注意到 1

x1 + x2 ? ? x0 = 2 ? ? 3 x0 1 ? y = y1 + y2 = 0 ? ? 2 ,则 4 y0 k , 且
又点 D 在直线 MN 上,



∴ y0 = k ( x0 ? 1) ,
代入②式得:

x0 = 4 .

因为弦 AB 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, 故

?2 < x0 < 2 ,这与 x0 = 4 矛盾,
…………13 分

所以所求这组正实数不存在. 当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x = 1 , 则此时

y1 = y2 , x1 + x2 = 2 , x1 ? x2 = 0 ,
…………14 分

代入①式得

这与 A, B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 21. (本小题满分 14 分)

?x +1 > 0 , ? ?x +1 ≠ 1 解:(1)根据函数解析式得
解得 x > ?1 且 x ≠ 0 .

x x ∈ R, x > ?1且x ≠ 0} . ∴ 函数 f ( x ) 的定义域是 { …………3 分

∵ f ( x) =
(2)

1 , ( x + 1) ln( x + 1)

∴ f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1) ……………………5 分

′ 由 f ( x ) > 0 得 ln( x + 1) + 1 < 0. ∴ ?1 < x < e ?1 ? 1.
?1 ∴ 函数 f ( x ) 的增区间为 (?1, e ? 1) . ?1 (3)∵ e ? 1 < x < 0,

…………………………8 分

∴ e ?1 < x + 1 < 1. ∴ ?1 < ln( x + 1) < 0. ∴ ln( x + 1) + 1 > 0
?1 ∴ 当 e ? 1 < x < 0 时,

f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 < 0. ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

∴ 在区间 ( ?1, 0 ) 上,
?1 当 x = e ? 1 时, f ( x ) 取得最大值.

∴[ f ( x) ]最大 = f (e ?1 ? 1) = ?e
1

.……………………………10 分

∵ 2 x +1 > ( x + 1)m 在 ?1 < x < 0 时恒成立.
∴ 1 ln 2 > m ln( x + 1) x +1 在 ?1 < x < 0 时恒成立. ln 2 ( x + 1) ln( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立.

∴m >



ln 2 ( x + 1) ln( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时的最大值等于 ?e ln 2 .
1

∴ m > ?e ln 2.
m x +1 ∴ 当 m > ?e ln 2 时,不等式 2 > ( x + 1) 在 ?1 < x < 0

时恒成立.……… 14 分



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