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初高中数学教材衔接高一



初高中数学教材衔接(代数部分) 第一讲 数与式的运算 学习目标: 1、记住绝对值含义及绝对值方程、不等式的求法 2、记住乘法公式及其应用 3、记住二次根式的有关运算 4、会多项式的因式分解 记一记: 一、绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相 反数,零的绝对值仍是零.即 ?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0.

? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 绝对值方程:1、|x|=a(a>0) 则 x=-a 或 x=a 2、| x-3|+|y+4|+|z+5| =0 则 x= ,y= ,z= 绝对值不等式:1、|x|>a(a>0)则 x<-a 或 x>a( 结论:若">",则从两根的两边取之) 2、|x|<a(a>0)则-a<x<a( 结论:若"<",则从两根的中间取之) 3、 x ?1 ? x ? 3 >4(提示零点分析法或数形结合法) 同学们试着做一做 零点分析法: 数形结合法:

练一练 1、化简:|x-4|-|2x-10|(4<x<5)

2、解不等式 3|2x-10|>15



记一记: 二、乘法公式 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 (3)立方和公式 (4)立方差公式 (5)三数和平方公式 (6)两数和立方公式 (7)两数差立方公式 练一练:
1.填空:

; (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 2 2 2 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 2 2 3 3 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 3 3 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? .b

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
( (D) )

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x ?
2

1 2 m 16


(A)总是正数 (C)可以是零

( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

2、解答: 1、计算 ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

2、已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值



记一记: 三、二次根式 一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够 开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a2 ? b2 等是无理式,而
2 x2 ? 2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式. 2

1、分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子) 有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它 们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为 有理化因式 ,例如 2 与 2 , 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等. 一般 地, a x 与 x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式, 化去分母中的根 号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中 的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行, 运算中要运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写 成分式的形式, 然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加 减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2、二次根式 a2 的意义
a2 ? a ? ?
1、填空: (1)

?a, a ? 0, ??a, a ? 0.

练一练:

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? 2、

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

3 、 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x 2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) x2



记一记

四、因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另 外还应了解求根法及待定系数法. 1、十字相乘法 对二次三项式 ax2+bx+c 进行分解因式 方法一 对 a,c 进行分解 a=a1*a2, c=c1*c2 ax2+bx+c a1 c1 a2 c2 ------------a1c2 +a2c1=b(一次项的系数) ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2+c2) 方法二 对 b 进行分解 ax2+bx+c 试值 b=a1c2 +a2c1 而 a=a1*a2, c=c1*c2 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2+c2) 练一练:
1、分解因式 (1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2 2

(2) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2

(4) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2

(5) x ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。
2

(8) 4m ? 12m ? 9 ? __________________________________________________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? __________________________________________________。
2

(10) 12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? __________________________________________________。

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x 2 ? 4 x ?
2

?

,b ?



2、提公因式与分组分解

分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ;

(2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6

3、求根法 令 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 求实数根 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分 解为 a( x ? x1 )( x ? x2 )
练习:分解因式(1) x ? 2 x ? 1 ;
2

(2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2



4、公式法 (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b (5)两数差立方公式 练习
把下列各式分解
2 2
3 3 2 (a ? b) ? a ?3 a b? 3 a2b ? 3b

1、 ? 9?m ? n? ? ?m ? n?

2、 3 x ?
2

1 3
2

3、 4 ? x 2 ? 4 x ? 2

?

?

2

4、 x ? 2 x ? 1
4



初高中数学教材衔接(代数部分) 第二讲 函数与方程 一、正比例函数 y=kx(k≠0) K>0 时

k<0 时

二、一次函数 y=kx+b(k≠0) K>0,b>0 k>0,b<0

k<0, b>0

k<0,b<0

三、反比例函数 y= K<0

k (k≠0) x

k>0

四、二次函数

1、表达式(1)一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) (3)零点式 y=a(x+x1)(x+x2)其中(x1,0)(x2,0)二次函数与 x 轴的交点 2、图像和性质
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质:

b 4ac ? b2 , ), 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b2 , ), (2)当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a
(1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (?



y

b x=- 2a

y

b 4ac ? b2 , ) A (? 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后 解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 练习 1、 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最 小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象. A(-1,4) y

D(0,1) 小结: 2 函数 y=ax +bx+c 图象作图要领:

(1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定 b (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x ? ? x=-1 2a 2 图 2.2-5 b 4ac ? b (3) 确定顶点坐标(- , ) 2a 4a (4) 确定图象与 x 轴的交点情况, ①若△>0 则与 x 轴有两个交点, 可由方程 x2+bx+c=0 求出 x1,x2 ②若△=0 则与 x 轴有一个交点, 可由方程 x2+bx+c=0 求出 x1=x2 ③①若△<0 则与 x 轴有无交点。 (5) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c, 所以交点坐标为 (0, c) 由以上各要素出草图。

C

O

B

x



小结: 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2-4ac 存在下列关 系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的 顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成 立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. Δ=b2-4ac>0
y

Δ=b2-4ac=0
y y

Δ=b2-4ac<0

x1

O x2

x O x1= x2 x

O ③

x



② 图 2.3-2



初高中数学教材衔接(代数部分) 第三讲 方程与不等式 一、一元一次方程与不等式 1、ax+b=0 x=b/a 2、ax+b>0 x>b/a(a>0) x<b/a(a<0) 二、一元二次方程与一元二次不等式 一元二次方程 ax2+bx+c=0 1、判别式 Δ=b2-4ac
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数 根 x1,2=

b 2 b2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2



(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

b 2 ) 一定大 2a

于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我 们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表 示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ; 2a
(1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2= (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根.

练一练 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根, 写出方程的实数根. (1)x2-3x+4=0; (2)x2-2ax-1=0; (3) x2-ax+(2a+1)=0; (4)x2-x+a=0



2、一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系
(1) 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1· x2= .这一 a a

关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦 达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 2 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 练习: 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数 根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值.

(2)设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? ∴| x1-x2|= 2a 2a 2a

?

b2 ? 4 a c ? . ? |a | a | |

练习 : 关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

10

3、一元二不等式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0 与一元二次方程 ax2+bx+c=0、二次函数 y=ax2+bx+c Δ=b2-4ac Δ>0 y=ax2+bx+c (a>0) ax2+bx+c=0(a>0) 有两相异实根 ax2+bx+c>0 (a>0)
1

?x x ? x 或x ? x ? ?x x
2

ax2+bx+c<0 (a>0)
1

? x ?x 2 ?

x1 , x2 ( x1 ? x2 )
x1,2=

?b ? b2 ? 4ac 2a

结论: 1 、若 ">" 则 从两根的两边取值 2、可观察图像 x 轴 上方

结论:1、若"<" 则从两根的中 间取值 2、可观 察图像 x 轴下方

Δ=0

有两相等实根

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
可观察图像 x 轴上 方 R 可观察图像 x 轴上 方

?
可观察图像 x 轴 下方

Δ<0

无解

?

?
可观察图像 x 轴 下方

做一做 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

三、分式方程与分式不等式 分式不等式通常转化为整式不等式来解(同学来解) 1、 2 x ? 5 >0 转化为(2x-5)(3x+2)>0 来解

3x ? 2

2、 2 x ? 5 ≥0 转化为(2x-5)(3x+2)≥0 且 3x+2≠o 来解

3x ? 2 3、 2 x ? 5 <0 转化为(2x-5)(3x+2)<0 来解 3x ? 2 4、 2 x ? 5 ≤0 转化为(2x-5)(3x+2)≤0 且 3x+2≠o 来解 3x ? 2

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四、一元高次方程与一元高次不等式 方法:将高次不等式化成一次因式积的形式,然后再应用数轴标根法求不等式的解 步骤:1、化一次因式的积 2、变不等式为方程求根 3、在数轴标根 4、穿针引线(注意“奇穿偶不穿” ,奇指根出现的次数是奇次,偶指根出现的次数是 偶次) 5、利用图形定解 例析:解不等式 (x3+5x2+4x)(x-3)2(x+1)2>0 解:令 x(x2+5x+4)(x-3)2(x+1)2=0 x(x+1)(x+4)(x-3)2(x+1)2=0 x(x+1)3(x+4)(x-3)2=0 x=0,x=-1,x=-4,x=3

-4

-1

0

3

{ x│-4<x<-1 或 0<x<3 或 x>3} 练习 解不等式 x3(x+2)4(x-6)2<0

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