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直线方程与两条直线的位置关系(教师版)


同步训练——直线方程与两条直线的位置关系
一、基础知识 (一) 、两条直线的位置关系 1、当直线方程为 l1 : y ? k1 x ? b1 、 l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, 若 l1 ∥ l 2 ,则 k1 ? k 2且b1 ? b2 ; 若 l1 、 l 2 重合,则 k1 ? k 2且b1 ? b2 ; 若 l1 ⊥ l 2 ,则 k1 ? k 2 ? ?1. 2、当两直线方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0、l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 时, 若 l1 ∥ l 2 ,则 A1 B2 = A2 B1且A1C2 ≠A2C1 ; 或B1C2 ≠B2C1 , 若 l1 、 l 2 重合,则 A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2 C1且B1C2 ? B2C1 ; 若 l1 ⊥ l 2 ,则 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . (二) 、点到直线的距离、直线到直线的距离 1、点 P ?x0 , y0 ? 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

2、当 l1 ∥ l 2 ,且直线方程分别为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0、l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 时,两直线间的距离 为: d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

.

(三) 、两直线的交点 两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数. (四) 、对称问题 1、中心对称: 设 平 面 上 两 点 P?x, y ?和P 1 ?x1 , y1 ? 关 于 点 A?a, b ? 对 称 , 则 点 的 坐 标 满 足 :
x ? x1 y ? y1 ? a, ? b ;若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系,那么这两个 2 2

图形关于点 A 对称. 2、轴对称:

1

(1)设平面上有直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和两点 P?x, y ?、P 1 ?x1 , y1 ? ,若满足下列两个条件: ①PP1⊥直线 l ; ②PP1 的中点在直线 l 上,则点 P、P 1 关于直线 l 对称;若一个图形与另一个图形上任意一对对 应点满足这种关系,那么这两个图形关于直线 l 对称. (2)对称轴是特殊直线的对称问题: 对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解: ①关于 x 轴对称,以 ? y 代 y ; ②关于 y 轴对称,以 ? x 代 x ; ③关于直线 y ? x 对称, x 、 y 互换; ④关于直线 x ? y ? 0 对称,以 ? x 代 y ,同时以 ? y 代 x ; ⑤关于直线 x ? a 对称,以 2a ? x 代 x ; ⑥关于直线 y ? b 对称,以 2b ? y 代 y ; (3)对称轴是一般直线的对称问题,可根据对称的意义,由垂直平分列方程找到坐标之间的 关系:设点 P?x1 , y1 ?、Q?x2 , y2 ? 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0? AB ? 0? 对称

? y 2 ? y1 B ? ? ? x 2 ? x1 A 则? ? A ? x1 ? x 2 ? B ? y1 ? y 2 ? C ? 0 ? 2 2 ?
二、基本题型 (一)平行与垂直 【例 1—1】直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) A. 3x+2y-1=0 C. 2x-3y+5=0 B. D. 3x+2y+7=0 2x-3y+8=0

3 【解析】由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- , 2 3 由点斜式可得直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0。故选答案:A。 2

2

【例 1—2】 已知直线 l1 : ?a ? 1?x ? y ? 2 ? 0 与直线 l 2 : ax ? ?2a ? 2?y ? 1 ? 0 互相垂直, 则实数 a 的 值为( A. B ) -1 或 2 B. -1 或-2 C. 1或2 D. 1 或-2 )

【例 1—3】 (2011 广东)过点 P?? 1, 2? 且方向向量为 a ? ?? 1 , 2? 的直线方程为( A A.
2x ? y ? 0

B.

x ? 2y ? 5 ? 0

C.

x ? 2y ? 0

D.

x ? 2y ? 5 ? 0

【例 1—4】 已知过点 A(-2, m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行, 则 m 的值为 ( B ) A. 0 B. -8 C. 2 D. 10 )

【例 1—5】 (2008 南京)与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的方向向量共线的一个单位向量是( D
4? A. ?3,

B.

?4, ? 3?

C.

?3 4? ? ,? ?5 5?

D.

? 4 3? ? ? ? , ?5 5?

【例 1—6】直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 A. x-2y+4=0 C. x-2y-4=0 B. D.

π 所得的直线方程是( D 2



x+2y-4=0 x+2y+4=0

【练习 1—1】过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A.2 x ? y ? 1 ? 0 B.2 x ? y ? 5 ? 0 C.x ? 2 y ? 5 ? 0

) D.x ? 2 y ? 7 ? 0 ) D.10 ) D.

【练习 1—2】 已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 m 的值为 ( A.0 B.? 8 C.2

【练习 1—3】两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( A. 2 -1 【练习 1—4】已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 1 C.0



D. x ? 2 y ? 5 )

【练习 1—5】直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交

D. 与 a, b,? 的值

3

有关 【练习 1—6】 (1) 经过点 A (3, 2) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程为 (2)经过点 B(3,0)且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为 (二)两直线的交点: 。 。

【例 2—1】求点 P=(-1,2)到直线

3x=2 的距离。

【例 2—2】求点 P(2,-1)到直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离.

【例 2—3】已知点 A(a,6)到直线 3x ? 4 y ? 2 的距离 d=4,求 a 的值

【例 2—4】已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,求证 l1 与 l 2 的距离为 d ?

| C1 ? C2 |
新疆

王新敞
学案

A2 ? B 2

【练习 2—1】若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号). 【练习 2—2】已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1 ) )

【练习 2—3】两直线 x-y-2=0 与 2x-2y+3=0 的距离为(

4

A.

5 2 2

B.

7 2 4

C.

2 2

D.

7 4

【练习 2—4】设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是方程 x2+x+

c=0 的两个实根,且 0≤c≤ ,求这两条直线之间的距离的最大值和最小值.

1 8

(三)两直线相交 【例 3—1】 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) (1,2) 【例 3—2】若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范 围是( ) B. (-∞, -1] C. (1, +∞) D. [1, B (2,1) C (1,-2) D

A. (-∞, -1) +∞)

【例 3—3】若方程 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( A. m ? 0 B. m ? ?
3 2



C. m ? 1

D. m ? 1 , m ? ?

3 ,m ? 0 2

【例 3—4】直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) B. (0,1) C. (3,1)

) D. (2,1)

【例 3—5】已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的 取值范围是( A. k ? 当0 ? k ?
3 4

) B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2 象限.

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2

【练习 3—1】 经过直线 l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0 , l 2 : 2 x ? y ? 5 ? 0 的交点,且过原点的直线方程

5





【练习 3—2】 求经过两直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 , l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点 P,且与直线 l 3 :
3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂直的直线 l 的方程。

【练习 3—3】 求过点 A(?5, ?4) 的直线 l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积 为 5.

1 1 【练习 3—4】 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于.

a b

(四)对称问题 【例 4—1】直线 ax+by+c=0 关于直线 y=x 对称的直线方程是( A、bx-ay+c=0 B、bx+ay+c=0C、bx+ay-c=0 D、bx-ay-c=0 ) )

【例 4—2】 (2010· 秦皇岛模拟)点 P(-3,4)关于直线 x+y-2=0 的对称点 Q 的坐标是( A.(-2,1) 答案:B 解析:验证法,线段 PQ 的中点在直线 x+y-2=0 上,只有 B 答案满足. 【例 4—3】点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( A.(-a-1,-b-1) 答案:B 【例 4—4】已知直线 l:x+2y-2=0. (1)求直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; ) D.(-b,-a) B.(-2,5) C.(2,-5) D.(4,-3)

B.(-b-1,-a-1)C.(-a,-b)

6

(2)求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程.

【练习 4—1】( 山东实验中学)如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是( A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5 )

【练习 4—2】直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( A.4x+3y-4=0 答案: B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0

)

D.4x-3y-12=0

【练习 4—3】求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4) 的距离为 2 的直线方程. 【练习 4—4】 已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A. 7 9 ) B.- 1 3 7 1 C.- 和- 9 3 7 1 D. 和 9 3

7



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