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黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期开学考试数学试题



齐齐哈尔市实验中学 2014~2015 学年度高二下学期开学考试

数学试卷
本试卷满分 120 分,考试时间 90 分钟
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.从一批产品中取出 3 件产品,设事件 A 为“三件产品全不是次品” ,事件 B 为“三件产品全

是次品” ,事件 C 为“三件产品不全是次品” ,则下列结论正确的是( ) A.事件 B 与 C 互斥 B.事件 A 与 C 互斥 C.任何两个均不互斥 D.任何两个均互斥 2.已知双曲线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点到渐近线的距离 2 a b 3
) C.

为 1,则双曲线的方程为( A.

3x 2 y 2 ? ?1 4 4

B.

x2 3 y 2 ? ?1 4 4

x2 y 2 ? ?1 4 4

D.

x2 4 y 2 ? ?1 4 3

3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出 了一个容量为 n 且支出在 ?20,60? 元的样本,其频率分 布直方图如图所示,根据此图估计学生在课外读物方面 的支出费用的中位数为( )元. A.45 B.46 C.

390 9

D.

400 9

4.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码 为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做问卷 A,编号落入区间 ? 451,720? 的人做 问卷 B,其余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表,这五人入选的机会均等,则甲或乙被选中的 概率是( ) A.

2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10

?y ?1 ? 6.已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 , 则实数 m 等于 ( ) ?x ? y ? m ?
A.5 B.7 C.4 D.3

7.已知实数 x , y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,那么 x ? ? y ? 3? 的最小值为( )
2 2

A.

8 5 5

B.

6 5 5

C.

4 5 5

D.

2 5 5

8.F 是椭圆 值是( ) A. 9 ? 2

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,P 是椭圆上的动点, A ?1,1? 为定点,则 PA ? PF 的最小 9 5

B. 3 ? 2

C. 6 ? 2

D. 6 ? 2

9.已知命题 p : ?x ? R ,使 sin x ? ①命题“ p ? q ”是真命题; ②命题“ ? p ? q ”是真命题; ③命题“ ? p ? ? q ”是假命题; ④命题“ p ? ?q ”是假命题. 其中错误的是( ) A.②③
?

5 2 ;命题 q : ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 .给出下列结论: 2

B.②④

C.③④

D.①③

10.已知 ?xoy ? 90 , A 在 ox 上, B 在 oy 上,且 OA ? OB ,点 P 是 ?AOB 内的动点,射线

OP 交线段 AB 于点 C ,则 AC ? AO 的概率为( )
A.

3 4

B.

1 4

C. 1 ?

2 2

D.

2 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , F 是左焦点, O 是坐标原点,若双曲线左支上存 a 2 b2

在点 P ,使 PO ? PF ,则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 1, 2 ?

?

?

B. ? 2, ???

C. ?1,3?

D. ?1, ?? ?

12. 圆 x2 ? y 2 ? ax ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1关于直线 y ? x ? 1 对称,过点 C ? ?a, a ? 的圆

P 与 y 轴相切,则圆 P 的圆心轨迹方程为( )
A. y ? 4 x ? 4 y ? 8 ? 0
2

B. y ? 4 x ? 4 y ? 8 ? 0
2

C. y ? 2 x ? y ? 1 ? 0
2

D. y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0
2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13.已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10,方差是 4,则 xy ? 14.过抛物线 y ? px ? p ? 0? 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线段
2
?

AB 的长为 8,则 p ?
15.设命题 p : 2x2 ? 3x ? 1 ? 0 ;命题 q : x2 ? ? 2a ?1? x ? a ? a ?1? ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要不 充分条件,则实数 a 的取值范围是 16.在直角坐标系 xoy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数) ,若以直角坐 ? y ? sin 2?

标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为

?? 2 ? ? sin ?? ? ? ? t (其中 t 为常数).当曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点时, t 的取值范 4 2
? ?
围为

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 8 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆) : 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 标准型 100 300

z
450

400 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 B 类轿车中抽取一个容量为 8 的样本,将该样本看成一个总体,从 中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率.

18.(本小题满分 10 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ?14 y ? 45 ? 0 及点 Q ? ?2,3? . (1)若点 P ? m, m ? 1? 在圆 C 上,求直线 PQ 的斜率; (2)若 M 是圆 C 上任一点,求 MQ 的最大值和最小值; (3)若点 N ? a, b ? 满足关系式 a ? b ? 4a ? 14b ? 45 ? 0 ,求
2 2

b?3 的最大值. a?3

19.(本小题满分 10 分) 极坐标系的极点为直角坐标系 xoy 的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 两种坐标系中的长度单位相 同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos? ? sin ? ? . (1)求 C 的直角坐标方程;

1 ? x? t ? 2 ? (2) 直线 l : ? ( t 为参数) 与曲线 C 交于 A, B 两点, 与 y 轴交于点 E, 求E A ? E B ? y ? 1? 3 t ? ? 2
的值.

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

6 ,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦 3

长为

2 3 . 3

(1)求椭圆的方程; (2) 若一条不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 M, N 两点, A 为椭圆的下顶点, 且 AM ? AN , 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.

数学试题答案
本试卷满分 120 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 D 10 C 11 B 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.91 14. 4 15. ?0, ? 2

? 1? ? ?

16. ?t 1 ? 2 ? t ? 1 ? 2或t ? ? ?

? ?

5? 4?

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 8 分) 解析: (1)设该厂本月生产轿车为 N 辆,

50 10 ? N ? 2000 ? ??1 分 N 100 ? 300 ? z ? 2000 ? 100 ? 300 ? 450 ? 400 ? 600 ? 150 ??2 分
则 (2)设抽取的样本中有 m 辆舒适型轿车, 则

m 150 ? 8 150 ? 450

?m ? 2

??4 分

即抽取了 2 辆舒适型轿车,6 辆标准型轿车,分别记作 A、B、1、2、3、4、5、6 基本事件为(A,B) , (A,1) , (A,2) , (A,3) , (A,4) , (A,5) , (A,6) , (B,1) , (B,2) , (B,3) , (B,4) , (B,5) , (B,6) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6)共 28 个,其 中至少有一辆舒适型轿车的有 13 个. ??6 分

故至少有一辆舒适型轿车的概率为 18、 (本小题满分 10 分)

13 . 28

??8 分
2

2 解析: (1)? 点 P ? m, m ? 1? 在圆上,? m ? ? m ? 1? ? 4m ? 14 ? m ? 1? ? 45 ? 0

解得 m ? 4

?P ? 4 , 5 ?
2 2

? k PQ ?

1 3

??2 分

(2)圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 7 ? ? 8

则r ? 2 2

CQ ? 4 2

? MQ max ? CQ ? r ? 6 2

??4 分

??6 分 MQ m i n? CQ ? r ? 2 2 b?3 (3)设 E ? ?3,3 ? , k ? ,如图,当过点 E 的直线与圆相切时, k 取最大值. a?3 ? 切线方程为 y ? 3 ? k ? x ? 3? ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0

?d ?
?

5k ? 4 k 2 ?1

?2 2

?k ?

2 0? 2 6 6 17
??10 分

b?3 20 ? 2 66 的最大值为 a?3 17

19、 (本小题满分 10 分) 解析: (1) x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 (2)设 t1 , t2 分别为点 A,B 对应的参数 把 l 与 C 的方程联立得: t ? t ? 1 ? 0
2

??4 分 ??6 分
2

?t1 ? t2 ? 1, t1t2 ?? ?1
? EA ? EB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ?
20、 (本小题满分 12 分)

?t1 ? t2 ?

? 4t1t2 ? 5

??10 分

?c 6 ? ? ?a 3 解析: (1)? ? ?a ? 3 ,b ? 1 2 ? 2b ? 2 3 ? 3 ? a 2 x ? y2 ? 1 故椭圆方程为 ??2 分 3 (2) A ? 0, ?1? ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, ? k ? 0? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?
线段 MN 的中点为 P ? x0 , y0 ?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得: ? 3k ? 1? x ? 6kmx ? 3 ? m ? 1? ? 0 2 ? ? y ?1 ?3 x ?x 6km 3km ? x0 ? 1 2 ? ? 2 则 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 2 3k ? 1 ? AM ? AN

??4 分

y0 ? kx0 ? m ?

m 3k 2 ? 1

m ?1 2 1 3 k ? 1 ? AP ? MN ? ?? 3km k ? 2 3k ? 1 2 ?? ? 0 ?3k ? m2 ? 1 ? 0 ② 把①代入②得: 0 ? m ? 2
又由②得: 3k ? 2m ? 1 ? 0
2

? 2m ? 3 k2 ? 1 ①

??8 分

??9 分 ??10 分

?m ?

1 2
??12 分

综上,

1 ?m?2 2



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