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2012学年高二数学第二学期期中考试试题(沪教版)



2012 学年第二学期高二数学期中考试试卷
一、填空题: (每小题 3 分,共 36 分) 1、空间不相交的两条直线的位置关系可以为 2、 若复数 z 满足: ? i (1 ? i ( i 为虚数单位)则其共轭复数 z ? , z ) 。 。
A1

D1

C1

B1 P D Q C
<

br />3、动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与它到直线 x ? 1 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹 方程为 。
A

( i ? 2)(2 ? i ) 4、已知: z ? ,则 | z | = (1 ? i )2

B



5、在正方体 ABCD ? A B1 C1 D1 中,直线 DA1 与平面 ABC1 D1 的位置关系是 1 (填:平行、垂直、斜交、线在面内) 6、 双曲线



y2 x2 ? ? 1 t 为常数) ( 的焦点为 (0, ?5) , 则其渐近线方程为 t 9




7、已知复数 z ? m2 ? 2m ? 3 ? (m ? 3)i (m ? R) ,若 z 为纯虚数,则 z ? 8、如图:平面 ? 外一点 P 在 ? 内的射影为 O,

PO ? 3 ,A, B 为平面 ? 内两点,PA 与平面 ? 成 300
角, ?APB ? 90 , AB ? 10 , PB 平面 ? 所成的 且 则
0

正弦值为


2

9、已知点 A(2,1) ,抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F,若 点 P 在抛物线上移动,则 | PA | ? | PF | 取最小值时, P 点坐标为 。 10、以下命题中,正确的是



① ?,? 为空间两个不重合的平面,若平面 ? 内有三个不共线的点到平面 ? 的距离相等, 则 ? // ? ; ②有三个角为直角的空间四边形为矩形; ③若空间三个平面可以把空间分成 x 个 部分,则 x 的取值可为 4,6,7,8;④两两相交的四条直线最多可以确定 6 个平面。 11、已知抛物线 y ? 4ax(a ? 0) ,过抛物线焦点且倾斜角为 60 的直线交抛物线于 A, B 两
2
0

点, ? AOB 的面积为 4 3 ,则 a ?



12、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 Q 在平面 ABCD 内,且 ? BCQ 是正三角形, 点 P 在 侧 面 B1 BCC1 内 运 动 , 并 且 满 足 PQ=P C1 , 则 点 P 的 轨 迹

为 二、选择题: (每小题 3 分,共 18 分) 则下面说法正确的是 ( ) A、直线 a 在平面 ? 内; C、平面 ? 不一定经过直线 a ;

。 (可根据题意在图中取点、 添线, 并说明)

13、已知空间一条直线 a 和一个平面 ? ,若两个点 A,B 满足:“ A, B ? a, 且 A, B ? ? ”,
B、直线 a 上只有两点在平面 ? 内; D、直线 a 与平面 ? 可能平行。

14 、 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 3 ,那么 | AB | 的值为(



A、2; B、3; C、4; D、5。 15、已知 ? , ? 表示两个不同的平面,直线 a 在平面 ? 内,则“ ? / / ? ”是“ a / / ? ”的 ( ) A、充分不必要条件 ;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分也不必要条件。 16、双曲线

x2 y2 ? =1 的左焦点为 F1,点 P 为双曲线右支上的一点,如果线段 PF1 的中点 12 3
) C、±

M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是( A、±

3 4

B、±

3 2

2 2

D、±

3 4

17、在下列四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是(

) 。

18、 给出下列命题: ①若 z1 , z2 是两个虚数, z1 ? z2 也为虚数; 则 ②若 z 为虚数, | z |?| z | ; 则
3 3

③ z 为复数,若 z ? z ? 0 ,则 z 为纯虚数;④若复数 z 满足: z ? 1 ,则 z ?1 ? 2i 的取值 范围是 ? 0, 5 ? 1? 。其中,错误的命题有(

?

?

)个。 D、4。

A、1;

B、2;

C、3;

三、解答题: (本大题共 5 题,46 分) 19、简答题: (本题 12 分,每题 6 分) (1)已知关于 x 的实系数一元二次方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有两个虚根 x1 , x 2 ,若实数 b , c 满足 等式: (2 ? ci)i ? 5 ?

b ,请在复数范围将二次三项式 x 2 ? bx ? c 分解因式。 i

(2)如图:已知直线 a , b 为异面直线, A, A1 ? a; B, B1 ? b ,试 用反证法证明:直线 AB 与 A1 B1 为异面直线。

20、(本题 8 分,第 1 题 3 分,第 2 题 5 分)

x2 y2 ? ? 1 , F1 , F2 为该双曲线的两个焦点。 9 16 (1)求 | F1 F2 | ;
已知双曲线 (2) P 为双曲线上一点,且 | PF1 | ?|PF2 |? 2 ? (1 ? i )8 ( i 为虚数单位) ,求 ?F1 PF2 的大 小。

21、 (本题 8 分,第 1 题 3 分,第 2 题 5 分)

x2 y2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,经过右焦点 F2 垂直于 x 轴的直线交椭 a b 圆于点 ( 2,1) 。
(1)求椭圆方程; (2)若直线 l 的斜率为 2,与椭圆相交于 A, B 两点,求弦 AB 的中点轨迹。

22、 (本题 10 分,第 1 题 4 分,第 2 题 6 分)

M N 已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长均为 1, 为棱 A1B1 的中点, 为 1
棱 BB1 的中点。 (1)在图中,作出直线 D1 N 与平面 ABCD 的交点,保留作图痕迹,勿 用铅笔; (2)求异面直线 AM 与 CN 所成角的大小(用反三角函数表示) 。

23、已知抛物线 y ? x , F 为抛物线的焦点,点 N 为抛物线的准线与 x 轴的交点。某同学在探究
2

“经过 N 点的直线与抛物线的关系”中,发现以下两个问题: (1)通过研究过 N 点斜率为 2 的直线 l ,他发现直线 l 上存在这样的点 P:可以找到一条过 P 点的

直线与抛物线相交于 A, B 两点,满足 A 为 BP 的中点,他称这样的 P 点为“ ? 点” ,请你进一步探 索:是否上述直线 l 上所有的点都是“ ? 点”?说明理由。 (2)该同学又发现:经过 N 点的直线 m 与抛物线相交于 C、D 两点,直线 CF 与 DF 的斜率之和 是定值。请你求出该定值,并进一步探索:在 x 轴上是否存在这样的定点 M,对过点 N 的任意直线

m ,如果 m 与抛物线相交于 C、D 两点,均能使得 kMC ? kMD 为定值。若存在,找出满足条件的点
M;若不存在,则说明理由。 请就以上两个探索问题,选择一个进行解答,满分 8 分,都答只算第(1)题得分。



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