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第二章 2.1.1 离散型随机变量



2.1.1
明目标、知重点 与联系.

离散型随机变量

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别

1.随机试验 一般地,一个试验如果满足下列条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行; (2)试验所有可能的结果是明确的,并且不只一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的

一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验 的结果会出现哪一个. 这种试验就是一个随机试验. 2.随机变量 在随机试验中,可以确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,数 字随试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 3.离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.

[情境导学] 在射击运动中,射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件. (1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点? (2)如何比较两个选手的射击情况? (3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率大?这些问题的解决需要 离散型随机变量的知识. 探究点一 随机变量的概念 思考 1 掷一枚骰子,出现的点数可以用数字 1,2,3,4,5,6 来表示,那么掷一枚硬币的结果是 否也可以用数字来表示呢? 答 掷一枚硬币,可能出现正面向上、正面向下两种结果,我们可以分别用 1 和 0 表示,这 样就可以用数字来表示试验结果,数字随试验结果的变化而变化,这就是随机变量. 思考 2 随机变量和函数有类似的地方吗?

答 随机变量和函数都是一种映射, 随机变量把随机试验的结果映为实数, 函数把实数映为 实数,两种映射间试验结果相当于函数的自变量,随机变量相当于函数的函数值,随机变量 可以看作函数概念的推广. 例 1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)上海国际机场候机室中 2013 年 10 月 1 日的旅客数量; (2)2013 年某天济南至北京的 D36 次列车到北京站的时间; (3)2013 年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数; (4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长. 解 (1)候机室中的旅客数量可能是:0,1,2,?,出现哪一个结果都是随机的,因此是随机

变量. (2)D36 次济南至北京的列车,到达终点的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,亦 可能晚点,故是随机变量. (3)在《拉呱》节目播放的时刻,收看人数的变化是随机的,可能多,也可能少,因此是随 机变量. (4)体积为 1 000 cm3 的球半径长为定值,故不是随机变量. 反思与感悟 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数, 即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数, 但这些数是预先知道所有可能的值, 而不知 道究竟是哪一个值. 跟踪训练 1 指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数; (2)任意掷一枚均匀硬币 5 次,出现正面向上的次数; (3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值; (4)某个人的属相. 解 (1)某人射击一次,可能命中的环数是 0 环,1 环,?,10 环结果中的一个而且出现哪 一个结果是随机的,因此是随机变量. (2)任意掷一枚硬币 1 次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷 5 次硬币,出 现正面向上的次数可能是 0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果都是随机的,是随机变量. (3)一颗骰子投掷两次,所得点数的最小值可以是 1,2,3,4,5,6,因此是随机变量. (4)属相是人出生时便确定的,不是随机变量. 探究点二 离散型随机变量的概念 思考 1 阅读教材 45 页上半页,回答什么是离散型随机变量? 答 所有取值都可以一一列出的随机变量叫离散型随机变量. 思考 2 电灯泡的寿命 X 是离散型随机变量吗?为什么? 答 不是,因为电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一

一列出,所以 X 不是离散型随机变量. 思考 3 你能构造一种对应关系, 使思考 2 中关于电灯泡的寿命的变量对应着一个离散型随 机变量吗? 答 如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过 1 000 小时, 那么就可以定义如下的随机变 量:
?0,寿命<1 000小时; ? Y=? ? ?1,寿命≥1 000小时.

与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量 Y 的构造更简单,它只取两个不同的值 0 和 1,是一个 离散型随机变量,研究起来更加容易. 例2 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为 ξ;②某网站中歌曲《爱我中华》一天内

被点击的次数为 ξ;③一天内的温度为 ξ;④射手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击 中目标得 0 分,用 ξ 表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的 ξ 是离散型随机变量的 是( ) B.①②④ D.②③④

A.①②③④ C.①③④ 答案 B

解析 ③中一天内的温度不能把其取值一一列出, 是连续型随机变量, 而非离散型随机变量. 反思与感悟 该题主要考查离散型随机变量的定义, 判断时要紧扣定义, 看是否能一一列出. 跟踪训练 2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)白炽灯的寿命 ξ; (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ξ; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位 ξ; (4)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数. 解 (1)白炽灯的寿命 ξ 的取值是一个非负实数, 而所有非负实数不能一一列出, 所以 ξ 不是 离散型随机变量. (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量. (3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值我们不能按一定次序 一一列出. (4)是离散型随机变量.从 10 个球中取 3 个球,所得的结果有以下几种: 3 个白球,2 个白球和 1 个黑球,1 个白球和 2 个黑球,3 个黑球,即其结果可以一一列出, 符合离散型随机变量的定义. 探究点三 离散型随机变量的应用 例3 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出 3 只球,被

取出的球的最大号码数 ξ.写出随机变量 ξ 可能取的值, 并说明随机变量所取的值表示的随机

试验的结果. (2)抛掷两枚骰子各一次, 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ξ, 试问: “ξ>4”表示的试验结果是什么? 解 (1)ξ 可取 3,4,5. ξ=3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3; ξ=4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4; ξ=5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5. (2)因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一, 由已知得-5≤ξ≤5,也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”. 所以,“ξ>4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点. 反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值, 以及其取每一个值 时对应的意义, 即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果, 解答过程中不 要漏掉某些试验结果. 跟踪训练 3 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可 能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔,从中任意取出 3 支,其中所含白粉笔的支数 ξ,所含 红粉笔的支数 η. (2)从 4 张已编有 1~4 的卡片中任意取出 2 张,被取出的卡片号数之和 ξ. (3)离开天安门的距离 η. 解 (1)ξ 可取 1,2,3. {ξ=i}表示取出 i 支白粉笔,3-i 支红粉笔,其中 i=1,2,3. η 可取 0,1,2. {η=i}表示取出 i 支红粉笔,3-i 支白粉笔,其中 i=0,1,2. (2)ξ 可取 3,4,5,6,7.其中, {ξ=3}表示取出分别标有 1,2 的两张卡片; {ξ=4}表示取出分别标有 1,3 的两张卡片; {ξ=5}表示取出分别标有 1,4 或 2,3 的两张卡片; {ξ=6}表示取出分别标有 2,4 的两张卡片; {ξ=7}表示取出分别标有 3,4 的两张卡片. (3)η 可取[0,+∞)中的数.η=k 表示离开天安门的距离为 k(km).不是离散型随机变量.

1.抛掷质地均匀的硬币一次,下列能称为随机变量的是( A.出现正面的次数

)

B.出现正面或反面的次数 C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和 答案 A 解析 掷一枚硬币, 可能出现的结果是正面向上或反面向上, 以一个标准如正面向上次数来 描述一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量 ξ,ξ 的取值是 0,1,故选 A.而 B 中标 准模糊不清,C 中掷硬币次数是 1,不是随机变量,D 中对应的事件是必然事件.故选 A. 2.10 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件,可作为随机变量的是( A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 答案 C 解析 对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量,B、D 也是一个定值,而 C 中取到次 品的件数可能是 0,1,2,是随机变量. 3.抛掷 2 枚骰子,所得点数之和记为 ξ,那么“ξ=4”表示的随机试验的结果是( A.2 枚都是 4 点 B.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点 C.2 枚都是 2 点 D.1 枚是 1 点,另 1 枚是 3 点,或者 2 枚都是 2 点 答案 D 解析 抛掷 2 枚骰子,其中 1 枚是 x 点,另 1 枚是 y 点,其中 x,y=1,2,?,6.
?x=1, ?x=2, ? ? 而 ξ=x+y,ξ=4?? 或? ?y=3 ? ? ?y=2.

)

)

4.写出下列随机变量 ξ 可能取的值,并说明随机变量 ξ=4 所表示的随机试验的结果. (1)从 10 张已编号的卡片(编号从 1 号到 10 号)中任取 2 张(一次性取出),被取出的卡片的较 大编号为 ξ; (2)某足球队在点球大战中 5 次点球射进的球数为 ξ. 解 (1)ξ 的所有可能取值为 2,3,4,?,10.其中“ξ=4”表示的试验结果为“取出的两张卡 片中的较大号码为 4”.基本事件有如下三种:取出的两张卡片编号分别为 1 和 4,2 和 4,3 和 4. (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.其中“ξ=4”表示的试验结果为“5 次点球射进 4 个球”. [呈重点、现规律] 1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数

量化,变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件. 2.写随机变量表示的结果,要看三个特征:(1)可用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能 出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取值.

一、基础过关 1.袋中有 2 个黑球 6 个红球,从中任取 2 个,可以作为随机变量的是( A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率 答案 B 2.①某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X; ②某人射击 2 次,击中目标的环数之和记为 X; ③测量一批电阻,在 950 Ω~1 200 Ω 之间的阻值记为 X; ④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为 X. 其中是离散型随机变量的是( A.①② C.①④ 答案 A 3.一个袋子中有质量相等的红,黄,绿,白四种小球各若干个,一次倒出三个小球,下列 变量是离散型随机变量的是( A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的三个小球的质量之和 D.倒出的三个小球的颜色的种数 答案 D 4.某人进行射击,共有 5 发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为 ξ,则“ξ =5”表示的试验结果是( A.第 5 次击中目标 B.第 5 次未击中目标 C.前 4 次均未击中目标 D.第 4 次击中目标 ) ) ) B.①③ D.①②④ )

答案 C 解析 ξ=5 表示射击 5 次,即前 4 次均未击中,否则不可能射击第 5 次,但第 5 次是否击 中目标,就不一定,因为他只有 5 发子弹. 5.袋中装有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回取出的条件下 依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 ξ,则 ξ 所有可能取值的个数是________. 答案 9 解析 两个球号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 个. 6.一木箱中装有 8 个同样大小的篮球,编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出 3 个篮球, 以 ξ 表示取出的篮球的最大号码,则 ξ=8 表示的试验结果有________种. 答案 21
2 解析 ξ=8 表示 3 个篮球中一个编号是 8,另外两个从剩余 7 个号中选 2 个,有 C7 种方法,

即 21 种. 7.某篮球运动员在罚球时,罚中 1 球得 2 分,罚不中得 0 分,则该队员在 5 次罚球中命中 的次数 ξ 是一个随机变量. (1)写出 ξ 的所有取值及每一个取值所表示的结果. (2)若记该队员在 5 次罚球后的得分为 η,写出所有 η 的取值及每一个取值所表示的结果. 解 (1)ξ 可取 0,1,2,3,4,5.表示在 5 次罚球中分别罚中 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次,5 次. (2)η 可取 0,2,4,6,8,10.表示 5 次罚球后分别得 0 分,2 分,4 分,6 分,8 分,10 分. 二、能力提升 1,x∈?0,+∞?, ? ? 8.设实数 x∈R,记随机变量 ξ=?0,x=0, ? ?-1,x∈?-∞,0?. 值为( A.1 C.-1 答案 A 1 解析 解 ≥1 得其解集为{x|0<x≤1},∴ξ=1. x 9.袋中装有大小和颜色均相同的 5 个乒乓球,分别标有数字 1,2,3,4,5,现从中任意抽取 2 个,设两个球上的数字之积为 X,则 X 所有可能值的个数是( A.6 C.10 答案 C 解析 X 的所有可能值有 1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共计 10 B.7 D.25 ) ) B.0 D.1 或 0 1 则不等式 ≥1 的解集所对应的 ξ 的 x

个. 10.一用户在打电话时忘记了最后 3 个号码,只记得最后 3 个数两两不同,且都大于 5.于是 他随机拨最后 3 个数(两两不同),设他拨到正确号码的次数为 X,随机变量 X 的可能值有 ________个. 答案 24
3 解析 后 3 个数是从 6,7,8,9 四个数中取 3 个组成的,共有 A4 =24(个).

11.设一汽车在开往目的地的道路上需经过 5 盏信号灯,ξ 表示汽车首次停下时已通过的信 号灯的盏数,写出 ξ 所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果. 解 ξ=0,1,2,3,4,5.ξ=k(k=0,1,2,3,4)表示在遇到第 k+1 盏信号灯时首次停下. ξ=5 表示在途 中没有停下,直达目的地. 12.某车间两天内每天生产 10 件某产品,其中第一天、第二天分别生产了 1 件、2 件次品, 而质检部门每天要在生产的 10 件产品中随机抽取 4 件进行检查,若发现有次品,则当天的 产品不能通过. 若厂内对车间生产的产品采用记分制, 两天全不通过检查得 0 分, 通过一天、 两天分别得 1 分、2 分,设该车间在这两天内总得分为 ξ,写出 ξ 的可能取值. 解 ξ 的可能取值为 0,1,2. ξ=0 表示在两天检查中均发现了次品. ξ=1 表示在两天检查中有 1 天没有检查到次品,1 天检查到了次品. ξ=2 表示在两天检查中都没有发现次品. 三、探究与拓展 13.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答 3 个问题,组委会为每位 选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 5 道文史类题目,3 道科技类题目,2 道体育 类题目,测试时,每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取 3 次,每次抽取一道题, 回答完该题后,再抽取下一道题目作答.某选手抽到科技类题目 ξ 道. (1)试求出随机变量 ξ 的值域; (2){ξ=1}表示的事件是什么?可能出现多少种结果? 解 (1)由题意得 ξ 的值域是{0,1,2,3}.

(2){ξ=1}表示的事件是“恰抽到一道科技题”. 考虑顺序,三类题目各抽取一道有 5×3×2×A3 3=180 种结果.
1 2 3 1 道科技题,2 道文史题有 C3 · C5· A3=180 种结果. 1 2 3 1 道科技题,2 道体育题有 C3 · C2· A3=18 种结果.

由分类加法计数原理知可能出现 180+180+18=378 种结果.



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