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2016届 数学圆锥曲线专项


2016 届 圆锥曲线
一.解答题(共 22 小题) 2 2 1. (2015?河北)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= 的面积. (ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN

2. (2015?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0) ,其中 cosθ.

0≤α≤π, 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ=2sinθ, C3: ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 3. (2015?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0,0≤α< cosθ.

π) 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ=2sinθ, 曲线 C3: ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

4. (2015?陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原

点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

5. (2015?湖南)已知直线 l:

(t 为参数) .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, ) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值.

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6. (2015?福建) 在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为

(t 为参数) . 在

极坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以轴非负半轴 为极轴)中,直线 l 的方程为 ρsin(θ﹣ )=m, (m∈R)

(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 7. (2014?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,θ∈[0, ].

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 参数方程,确定 D 的坐标.
2 2

x+2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的

8. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲 线 C. (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

9. (2014?新课标 I)已知曲线 C:

+

=1,直线 l:

(t 为参数)

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小 值.

10. (2014?福建)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(θ 为常数) . (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 11. (2013?辽宁)在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1, 直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; )=2 .

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(Ⅱ)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值.

12. (2013?新课标Ⅰ) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 13. (2013?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的 极坐标为 ,直线 l 的极坐标方程为 ,且点 A 在直线 l

上. (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

14. (2013?新课标Ⅱ)选修 4﹣﹣4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: 上,对应参数分别为 β=α 与 β=2α

(0<α<2π) ,M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 15. (2012?辽宁)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2: (x﹣2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示) ; (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 16. (2012?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( ) , 圆 C 的参数方程
2 2 2 2

(θ 为参数) . (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

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17. (2012?新课标)选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B, C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围. 18. (2011?新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 与 C1 的异于极点的 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2 (α 为参
2 2 2 2

) .

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2015 年 12 月 19 日我不懂的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 22 小题) 1. (2015?河北)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN
2 2

的面积. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (Ⅰ)由条件根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得 C1,C2 的极坐标方程. 2 (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ ﹣3 ρ+4=0,求得 ρ1 和 ρ2 的值,结合圆的半径可得
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C2M⊥C2N,从而求得△ C2MN 的面积 ?C2M?C2N 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 故 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1 的极坐标方程为: 2 2 (ρcosθ﹣1) +(ρsinθ﹣2) =1, 2 化简可得 ρ ﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程 θ=
2 2 2

(ρ∈R)代入

ρ ﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,求得 ρ1=2 ,ρ2= , ∴|MN|=ρ1﹣ρ2= ,由于圆 C2 的半径为 1,∴C2M⊥C2N, △ C2MN 的面积为 ?C2M?C2N= .

【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.

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2. (2015?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0) ,其中 cosθ.

0≤α≤π, 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ=2sinθ, C3: ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程.
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【分析】 (I)由曲线 C2:ρ=2sinθ,化为 ρ =2ρsinθ,把

2

代入可得直角坐标方

程.同理由 C3:ρ=2 cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得 C2 与 C3 交点的直角坐标. (2)由曲线 C1 的参数方程,消去参数 t,化为普通方程:y=xtanα,其中 0≤α≤π,其极坐标 方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0) ,利用|AB|= 2 【解答】解: (I)由曲线 C2:ρ=2sinθ,化为 ρ =2ρsinθ, 2 2 ∴x +y =2y. 同理由 C3:ρ=2 cosθ.可得直角坐标方程: 即可得出.



联立



解得





∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0) , (2)曲线 C1:



(t 为参数,t≠0) ,化为普通方程:y=xtanα,其中 0≤α≤π,其极

坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0) , ∴A(2sinα,α) ,B ∴|AB|= 当 =4 时,|AB|取得最大值 4. . ,

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、 两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

3. (2015?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0,0≤α< cosθ.

π) 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ=2sinθ, 曲线 C3: ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】选作题;坐标系和参数方程.
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【分析】 (1)把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标; (2)求出曲线 C1 的极坐标方程,可得 A,B 的极坐标,即可求|AB|的最大值. 2 2 2 【解答】解: (1)曲线 C2:ρ=2sinθ 化为 ρ =2ρsinθ,∴x +y =2y. 2 2 2 曲线 C3:ρ=2 cosθ 化为 ρ =2 ρcosθ,∴x +y =2 x.

联立

,解得





∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和(

, ) ;

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0) ,其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sinα,α) ,B 的极坐标为(2 cosα,α) , 所以|AB|=|2sin 当 α= cosα|=4|sin(α﹣ )|,

时,|AB|取得最大值,最大值为 4.

【点评】本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、极坐标方程的运用,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题.

4. (2015?陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原

点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】坐标系和参数方程.
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【分析】 (I)由⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 代入即可得出; . (II)设 P |PC|= ,又 C

sinθ.化为 ρ =2

2

,把

.利用两点之间的距离公式可得

,再利用二次函数的性质即可得出. sinθ.

【解答】解: (I)由⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 ∴ρ =2 配方为 (II)设 P ∴|PC|=
2

,化为 x +y = =3. ,又 C

2

2



. = ≥2 ,

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因此当 t=0 时,|PC|取得最小值 2 .此时 P(3,0) . 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二 次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5. (2015?湖南)已知直线 l:

(t 为参数) .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, ) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】选作题;坐标系和参数方程. 2 2 2 【分析】 (1) 曲线的极坐标方程即 ρ =2ρcosθ, 根据极坐标和直角坐标的互化公式得 x +y =2x, 即得它的直角坐标方程; (2)直线 l 的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.
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【解答】解: (1)∵ρ=2cosθ,∴ρ =2ρcosθ,∴x +y =2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1) 2 2 +y =1;

2

2

2

(2)直线 l:

(t 为参数) ,普通方程为
2 2

, (5,

)在直线 l 上,

过点 M 作圆的切线,切点为 T,则|MT| =(5﹣1) +3﹣1=18, 2 由切割线定理,可得|MT| =|MA|?|MB|=18. 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.

6. (2015?福建) 在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为

(t 为参数) . 在

极坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以轴非负半轴 为极轴)中,直线 l 的方程为 ρsin(θ﹣ )=m, (m∈R)

(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 【考点】圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (1)直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可. (2)直接利用点到直线的距离个数求解即可. 2 2 【解答】解: (1)消去参数 t,得到圆的普通方程为(x﹣1) +(y+2) =9,
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ρsin(θ﹣

)=m,得 ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0,

所以直线 l 的直角坐标方程为:x﹣y+m=0. (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即
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,解得 m=﹣3±2



【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想. 7. (2014?新课标 II)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,θ∈[0, ].

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= x+2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标. 【考点】参数方程化成普通方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;圆的参数方程. 【专题】坐标系和参数方程.
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【分析】 (Ⅰ) 半圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1, 令 x﹣1=cosα∈[﹣ 1,1],y=sinα,可得半圆 C 的参数方程. (Ⅱ)由题意可得直线 CD 和直线 l 平行.设点 D 的坐标为(1+cosα,sinα) ,根据直线 CD 和直线 l 的斜率相等求得 cotα 的值,可得 α 的值,从而得到点 D 的坐标. 【解答】解: (Ⅰ)半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,θ∈[0,
2 2

2

2

],即 ρ =2ρcosθ,

2

化为直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1,x∈[0,2]、y∈[0,1]. 令 x﹣1=cosα∈[﹣1,1],y=sinα,α∈[0,π]. 故半圆 C 的参数方程为 ,α∈[0,π]. x+2 垂直, = ,

(Ⅱ)由于点 D 在 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l:y= ∴直线 CD 和直线 l 平行,故直线 CD 和直线 l 斜率相等. 设点 D 的坐标为(1+cosα,sinα) ,∵C(1,0) ,∴ 解得 tanα= ,即 α= , ) .

故点 D 的坐标为( ,

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程,把直角坐标方程化为参数方程,注 意参数的范围,属于基础题. 8. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲 线 C. (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 【考点】参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】直线与圆;坐标系和参数方程.
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2

2

【分析】 (Ⅰ)在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,再根据点(x, )在圆 x +y =1 上,求出 C 的方程,化为参数方程.

2

2

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(Ⅱ)解方程组求得 P1、P2 的坐标,可得线段 P1P2 的中点坐标.再根据与 l 垂直的直线的 斜率为 ,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的 极坐标方程. 【解答】解: (Ⅰ)在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,由题意可得点(x, )在圆 x +y =1 上, ∴x +
2 2 2

=1,即曲线 C 的方程为 x +

2

=1,化为参数方程为

(0≤θ<2π,θ

为参数) .

(Ⅱ)由

,可得



,不妨设 P1(1,0) 、P2(0,2) ,

则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1) , 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 , 故所求的直线的方程为 y﹣1= (x﹣ ) , 即 x﹣2y+ =0. 再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为 ρcosα﹣2ρsinα+ =0, 即 ρ= .

【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法,极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线 的方程,属于中档题.

9. (2014?新课标 I)已知曲线 C:

+

=1,直线 l:

(t 为参数)

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小 值. 【考点】参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程,直接 消掉参数 t 得直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) .由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距 离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
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【解答】解: (Ⅰ)对于曲线 C: 故曲线 C 的参数方程为

+

=1,可令 x=2cosθ、y=3sinθ,

, (θ 为参数) .
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对于直线 l:



由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ)设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) . P 到直线 l 的距离为 则 . ,其中 α 为锐角. . .

当 sin(θ+α)=﹣1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转 化思想方法,是中档题.

10. (2014?福建)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(θ 为常数) . (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 【考点】圆的参数方程;直线的参数方程. 【专题】选作题;坐标系和参数方程. 【分析】 (1)消去参数,把直线与圆的参数方程化为普通方程; (2)求出圆心到直线的距离 d,再根据直线 l 与圆 C 有公共点?d≤r 即可求出.
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【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为

,消去 t 可得 2x﹣y﹣2a=0;
2 2

圆 C 的参数方程为

,两式平方相加可得 x +y =16;

(2)圆心 C(0,0) ,半径 r=4. 由点到直线的距离公式可得圆心 C(0,0)到直线 L 的距离 d= ∵直线 L 与圆 C 有公共点,∴d≤4,即 ≤4,解得﹣2 ≤a≤2 . .

【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键. 11. (2013?辽宁)在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1, 直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; )=2 .

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(Ⅱ)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值.

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【专题】压轴题;直线与圆.

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【分析】 (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐 标,最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程 为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的

值. 2 2 【解答】解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x +(y﹣2) =4,x+y﹣4=0, 解 得 或 ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法, 方程思想的应用,属于基础题. 12. (2013?新课标Ⅰ) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【考点】参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】压轴题;直线与圆. 2 2 【分析】 (Ⅰ)对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到圆 C1 的普通 方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标.
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【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式
2 2

(t 为参数) ,

得(x﹣4) +(y﹣5) =25 即为圆 C1 的普通方程, 2 2 即 x +y ﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. 2 ρ ﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程; 2 2 (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x +y ﹣2y=0, 由 ,解得 或 .

∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(



) , (2,

) .

【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化.熟练掌握 极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键. 13. (2013?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的 极坐标为 ,直线 l 的极坐标方程为 ,且点 A 在直线 l

上. (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
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【考点】参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)根据点 A 在直线 l 上,将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出 a 值, 再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)欲判断直线 l 和圆 C 的位置关系,只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可,根 据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较. 【解答】解: (Ⅰ)点 A 在直线 l 上,得 ,∴a= ,

故直线 l 的方程可化为:ρsinθ+ρcosθ=2, 得直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣2=0; 2 2 (Ⅱ)消去参数 α,得圆 C 的普通方程为(x﹣1) +y =1 圆心 C 到直线 l 的距离 d= <1,

所以直线 l 和⊙C 相交. 【点评】 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系 的判定,属于基础题. 14. (2013?新课标Ⅱ)选修 4﹣﹣4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: (0<α<2π) ,M 为 PQ 的中点.
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上,对应参数分别为 β=α 与 β=2α

(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【考点】参数方程化成普通方程;两点间的距离公式;轨迹方程. 【专题】压轴题. 【分析】 (I)根据题意写出 P,Q 两点的坐标:P(2cosα,2sinα) ,Q(2cos2α,2sin2α) , 再利用中点坐标公式得 PQ 的中点 M 的坐标,从而得出 M 的轨迹的参数方程;
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(II)利用两点间的距离公式得到 M 到坐标原点的距离 d=

=

,再验证

当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 【解答】解: (I)根据题意有:P(2cosα,2sinα) ,Q(2cos2α,2sin2α) , ∵M 为 PQ 的中点,故 M(cosα+cos2α,sin2α+sinα) , ∴求 M 的轨迹的参数方程为: (II)M 到坐标原点的距离 d= = (α 为参数,0<α<2π) . (0<α<2π) .

当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,两点间的距离公式的应用,轨迹方 程,属于基础题. 15. (2012?辽宁)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2: (x﹣2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示) ; (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 【专题】计算题;压轴题.
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2

2

2

2

【分析】 (I)利用

,以及 x +y =ρ ,直接写出圆 C1,C2 的极坐标方程,求出

2

2

2

圆 C1,C2 的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示) ; (II)解法一:求出两个圆的直角坐标,直接写出圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出 方程. 【解答】解: (I)由 可知圆 圆 解 得:ρ=2, ,x +y =ρ , ,的极坐标方程为 ρ=2, ,即 , ) , (2, ) . 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,
2 2 2

, 然后求出圆 C1 与 C2 的公共弦的参数

故圆 C1,C2 的交点坐标(2,

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(II)解法一:由

得圆 C1,C2 的交点的直角坐标(1,

) , (1 ,

) .

故圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为 (或圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为 (解法二)将 x=1 代入 从而 于 . 得 ρcosθ=1 )

是圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,直线的参数方程的求法,极坐标与直角坐标的互 化,考查计算能力. 16. (2012?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( ) , 圆 C 的参数方程

(θ 为参数) . (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 【考点】圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)求出圆的圆心与半径,判断圆心与直线的距离与半径的关系,即可判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
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【解答】解: (Ⅰ)M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 所以 M、N 的直角坐标分别为:M(2,0) ,N(0, 直线 OP 的平面直角坐标方程 y= ;

) , ) ,P 为线段 MN 的中点(1, ) ,

(Ⅱ)圆 C 的参数方程 (y+ ) =4, 圆的圆心坐标为(2,﹣
2

(θ 为参数) .它的直角坐标方程为: (x﹣2) +

2

) ,半径为 2, ) ,

直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , (

方程为 y=﹣

(x﹣2)=﹣

(x﹣2) ,即

x+3y﹣2

=0.

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圆心到直线的距离为:

=

= <2,

所以,直线 l 与圆 C 相交. 【点评】 本题考查圆的参数方程, 极坐标方程与直角坐标方程的转化, 直线与圆的位置关系, 考查计算能力. 17. (2012?新课标)选修 4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 (φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立坐标系,曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B, C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) .

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; 2 2 2 2 (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围. 【考点】椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)确定点 A,B,C,D 的极坐标,即可得点 A,B,C,D 的直角坐标; 2 2 2 2 (2)利用参数方程设出 P 的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取 值范围. 【解答】解: (1)点 A,B,C,D 的极坐标为
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点 A,B,C,D 的直角坐标为

(2)设 P(x0,y0) ,则
2 2 2 2 2 2

为参数)
2

t=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| =4x +4y +16=32+20sin φ 2 ∵sin φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查圆的参数方程的运用,属于中档题.

18. (2011?新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 【专题】计算题;压轴题.
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(α 为参

=2

,P 点的轨迹为曲线 C2

与 C1 的异于极点的

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【分析】 (I)先设出点 P 的坐标,然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程即可求出曲 线 C2 的方程; (II)根据(I)将求出曲线 C1 的极坐标方程,分别求出射线 θ= ρ1,以及射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为

与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.

【解答】解: (I)设 P(x,y) ,则由条件知 M( , ) .由于 M 点在 C1 上,

所以



从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 射线 θ= 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin , .

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= . 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于 中档题.

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