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高中数学必修1练习题集



高中数学必修 1 练习题集
第一章、集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示 例 1. 用符号 ? 和 ? 填空。 ⑴ 设集合 A 是正整数的集合,则 0_______A, 2 ________A, ?? 1? ______A;
0

⑵ 设集合 B 是小于 11 的所有实数的集合,则 2 3 ______B,1+ 2 ___

___B;

⑶ 设 A 为所有亚洲国家组成的集合, 则中国_____A, 美国_____A, 印度_____A, 英国____A 例 2. 判断下列说法是否正确,并说明理由。 ⑴ 某个单位里的年轻人组成一个集合; ⑵ 1,

3 6 1 1 , , ? , 这些数组成的集合有五个元素; 2 4 2 2

⑶ 由 a,b,c 组成的集合与 b,a,c 组成的集合是同一个集合。

例 3. 用列举法表示下列集合: ⑴ 小于 10 的所有自然数组成的集合 A;
2

⑵ 方程 x = x 的所有实根组成的集合 B;

⑶ 由 1~20 中的所有质数组成的集合 C。

例 4. 用列举法和描述法表示方程组 ?

? x ? y ?1 的解集。 ? x ? y ? ?1

1

典型例题精析 题型一 集合中元素的确定性 例 1. 下列各组对象:① 接近于 0 的数的全体;② 比较小的正整数全体;③ 平面上 到点 O 的距离等于 1 的点的全体;④ 正三角形的全体;⑤ 成集合的组数是( A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 5

2 的近似值得全体,其中能构

题型二 集合中元素的互异性与无序性 例 2. 已知 x ? {1,0,x},求实数 x 的值。
2

题型三 元素与集合的关系问题 1. 判断某个元素是否在集合内 例 3.设集合 A={x∣x =2k, k ? Z},B={x∣x =2k + 1, k ? Z}。若 a ? A,b ? B, 试判断 a + b 与 A,B 的关系。

2. 求集合中的元素 例 4. 数集 A 满足条件,若 a ? A,则 他元素。

1? a 1 (a≠ 1) ,若 ? A,求集合中的其 ? A, 1? a 3

3. 利用元素个数求参数取值问题 例 5. 已知集合 A={ x∣ax + 2x + 1=0, a ? R },
2

⑴ 若 A 中只有一个元素,求 a 的取值。

2

⑵ 若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围。

题型四 列举法表示集合 例 6. 用列举法表示下列集合 ⑴ A={x∣ x ≤2,x ? Z};⑵ B={ x∣ ?x ? 1? ⑶ M={ ?x, y ? x+ y= 4,x ? N ,y ? N }.
* *

2

?x ? 2? =

0}

题型五 描述法表示集合 例 7. ⑴ 已知集合 M={ x ? N∣ ⑵ 已知集合 C={

6 ? Z},求 M; 1? x

6 ? Z∣x ? N},求 C. 1? x

例 8. 用描述发表示图(图-8)中阴影部分(含边界) 的点的坐标的集合。

3

例 9. 已知集合 A={a + 2,(a + 1) ,a + 3a + 3},若 1 ? A,求实数 a 的值。
2 2

例 10. 集合 M 的元素为自然数,且满足:如果 x ? M,则 8 - x ? M,试回答下列问题: ⑴ 写出只有一个元素的集合 M; ⑵ 写出元素个数为 2 的所有集合 M; ⑶ 满足题设条件的集合 M 共有多少个?

创新、拓展、实践
1、实际应用题 例 11. 一个笔记本的价格是 2 元,一本教辅书的价格是 5 元,小明拿 9 元钱到商店,如 果他可以把钱花光,也可以只买一种商品,请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来, 并用集合表示。

2、信息迁移题 例 12. 已知 A={1,2,3},B={2,4},定义集合 A、B 间的运算 A*B={x∣x ? A 且 x ? B},则集合 A*B 等于( ) A. {1,2,3} B. {2,4} C. {1,3} D. {2}

4

3、开放探究题 例 13. 非空集合 G 关于运算 ? 满足:⑴ 对任意 a、b ? G,都有 a ? b ? G;⑵ 存在 e ? G,使得对一切 a ? G,都有 a ? e = e ? a = a,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” 。现给 出下列集合与运算: ① G={非负整数}, ? 为整数的加法。 ② G={偶数}, ? 为整数的乘法。 ③ G={二次三项式}, ? 为多项式的加法。 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是__________。 (写出所有“融洽集”的序号) 例 14. 已知集合 A={0,1,2,3,a},当 x ? A 时,若 x - 1 ? A,则称 x 为 A 的一个“孤 立”元素,现已知 A 中有一个“孤立”元素,是写出符合题意的 a 值_______(若有多个 a 值,则只写出其中的一个即可)。 例 15. 数集 A 满足条件;若 a ? A,则

1 。 ? A(a≠1) 1? a

⑴ 若 2 ? A,试求出 A 中其他所有元素; ⑵ 自己设计一个数属于 A,然后求出 A 中其他所有元素; ⑶ 从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并大胆证明你发现的“道理” 。

高考中出现的题
例 1. (2008·江西高考)定义集合运算:A*B={z∣z = xy,x ? A,y ? B}。设 A={1, 2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 例 2. (2007· 北京模拟) 已知集合 A={a 1 , a2 , ?, a k }(k≥2), 其中 a i ? Z (i=1, 2, ?, k),由 A 中的元素构成两个相应的集合:S={(a,b)∣a ? A,b ? A,a + b ? A};T={(a, b)∣a ? A,b ? A,a - b ? A },其中(a,b)是有序数对。 若对于任意的 a ? A,总有- aA ? A,则称集合 A 具有性质 P。 试检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质 P,并对其中具有性质 P 的集合, 写出相应的集合 S 和 T。

5

1.1.2 集合间的基本关系 例 1 用 Venn 图表示下列集合之间的关系:A={x∣x 是平行四边形},B={ x∣x 是菱 形},C={ x∣x 是矩形},D={ x∣x 是正方形}。

例 2 设集合 A={1,3,a},B={1,a - a + 1},且 A ? B,求 a 的值
2

例3

已知集合 A={x,xy,x - y},集合 B={0, x ,y},若 A=B,求实数 x,y 的值。

例4

写出集合{a、b、c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空真子集。

例 5 判断下列关系是否正确: (1)0 ? {0}; (2) ? ? {0}; (3) ? ? {0}; (4)

题型一 判断集合间的关系问题 例 1 下列各式中,正确的个数是( ) (1) {0} ? {0,1,2}; (2){0,1,2} ? {2,1,0}; (3) ? ? {0,1,2}; (4) ? ? {0}; (5){0,1}={(0,1)}; (6)0={0}。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6

题型二 确定集合的个数问题 例 2 已知{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有__________个。

题型三 利用集合间的关系求字母参数问题 例3 已知集合 A={x︱1<ax<2},B={x∣ x <1},求满足 A ? B 的实数 a 的范围。

例4 设集合 A={x∣x + 4x=0, x ? R}, B={x∣x + 2(a + 1)x + a - 1=0, x ? R }, 若 B ? A,
2 2 2

求实数 a 的值。

一、数形结合思想:1. 用 Venn 图解题 例5 设集合 A={x︱x 是菱形}, B={x︱x 是平行四边形}, C={x︱x 是正方形}, 指出 A、 B、C 之间的关系。

7

例6 (2. 用数轴解题) 已知 A={x︱x<-1 或 x>5}, B={x ? R︱a<x<a + 4}, 若 A ? B, 求实数 a 的取值范围。

二、分类讨论思想 例7 已知集合 A={a,a + b,a + 2b},B={a,ac,ac },若 A=B,求 c 的值。
2

创新、拓展、实践 1. 数学与生活 例8 写出集合{农夫,狼,羊}的所有子集,由此设计一个方案:农夫把狼、羊、菜从 河的一岸送到另一岸,农夫每次乘船只能运送一样东西,并且农夫不在场的情况下,狼和羊 不能在一起,羊和菜不能在一起。

2. 开放探究题 例9 已知集合 A={x∣ x ? a = 4},集合 B={1,2,b}. (1) 是否存在实数 a,使得对于任意实数 b 都有 A ? B?若存在,求出对应的 a 值, 若不存在,说明理由。 (2) 若 A ? B 成立,求出对应的实数对(a,b)

8

高考要点阐释 例 1 (山东模拟)设 a、b ? R,集合{1,a + b,a }={0, (请写出解题过程) A. 1

b ,b},则 b – a =( a
D. -2

)

B. -1

C. 2

例 2 (湖北模拟)已知集合 A={-1,3,2m -1},集合 B={3,m },若 B ? A,则实数
2

m=___________. 例 3 (2008·福建高考)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若任意 a、b ? P,都 有 a + b、ab、

a ,则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域;数集 F={a ? P(除数 b≠0) b

+b 2 ∣a 、b ? Q}也是数域。有下列命题:①整数集是数域;②若有理数 Q ? M,则数集 M 必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域。 其中正确的命题的序号是__________.(把你认为正确的命题的序号都填上) <名师专家专辑 1·空集> 1. 空集的概念及性质 例1 在 (1) {0}; (2) { ? }; (3) {x∣3m<x<m}; (4) {x∣a + 2<x<a}; (5) {x∣x +1=0,
2

x ? R}中表示空集的是__________. 2. 空集性质的应用 例 2 已知集合 A={x∣x>0, x ? R}, B={x∣x - x + p=0}, 且 B ? A, 求实数 p 的范围。
2

例 3 已知 A={x∣x - 3x + 2=0},B={x∣ax - 2=0},且 B ? A,求实数 a 组成的集合
2

C.

9

1.1.3 集合的基本运算 例 1 设集合 A={x︱-1<x<2},集合 B={ x︱1<x≤3 },求 A ? B.

例 2 A={ x︱-1<x≤4},B={ x︱2<x≤5},求 A ? B.

例 3 若 A、B、C 为三个集合,A ? B = B ? C,则一定有( A. A ? C 例 4 不等式组 B. C ? A C. A≠C

) D. A = ?

的解为 A,U=R,试求 A 及 C U A,并把它们分别表示

在数轴上。

题型一 基本概念 例 1 设集合 A={(x,y)∣a 1 x + b 1 y + c 1 = 0},B={(x,y)∣a 2 x + b 2 y + c 2 = 0}, 则方程组 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, 的解集是__________;方程(a 1 x + b 1 y + c 1 )(a 2 x + b 2 y + ? a 2 x ? b2 y ? c 2 ? 0

c 2 )= 0 的解集是__________.

题型二 集合的并集运算 例 2 若集合 A={1, 3, x}, B={1, x }, A ? B ={1, 3, x}, 则满足条件的实数有 ( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2



10

题型三 集合的交集运算 例 3 若集合 A={x∣x - ax + a - 19 = 0},B={x∣x - 5x + 6 = 0},C={x∣x + 2x - 8 = 0},求 a 的值使得 ? ? (A ? B)与 A ? C= ? 同时成立。
2 2 2 2

例 4 集合 A={1,2,3,4},B ? A,且 1 ? (A ? B),但 4 ? (A ? B),则满足上述条件 的集合 B 的个数是( ) A. 1 B. 2 题型四 集合的补集运算
2

C. 4

D. 8

例 5 设全集 U={1,2,x - 2},A={1,x},求 C U A

例6 设全集 U 为 R,A={x︱x - x –2 = 0},B={x︱ x = y + 1,y ? A},求 C U B
2

题型五 集合运算性质的简单应用

? B=2, 例 7 已知集合 A={x︱x + ax + 12b = 0} 和 B= {x︱x - ax + b = 0}, 满足 (C U A)
A ? (C U B)={4},U = R,求实数 a、b 的值。

2

2

11

例 8 已知 A={x︱x - px –2 = 0}, B= {x︱x + qx + r = 0}, 且 A ? B ={-2, 1, 5}, A? B ={-2},求实数 p、q、r 的值。

2

2

数学思想方法 一、数形结合思想 例 9(用数轴解题)已知全集 U={ x︱x≤4 },集合 A={x︱-2<x<3},集合 B={ x︱ -3<x≤3 },求 C U A,A ? B ,C U ( A ? B),(C U A) ? B

例 10(用 Venn 图解题)设全集 U 和集合 A、B、P 满足 A= C U B,B= C U P,则 A 与 P 的关系是( ) B. A=P C. A ? P D. A ? P

A. A= C U P

二、分类讨论思想 例 11 设集合 A={ a ? 1 ,3,5},集合 B={2a+1,a + 2a,a + 2a - 1},当 A ? B={2,
2 2

3}时,求 A ? B

三、 “正难则反”策略与“补集”思想

12

例 12 已知方程 x + ax + 1 = 0,x + 2x - a = 0,x + 2ax + 2 = 0,若三个方程至少有一 个方程有实根,求实数 a 的取值范围。

2

2

2

四、方程思想 例 13 设集合 A={x︱x + 4x = 0,x ? R},B= {x︱x + 2(a + 1)x + a - 1 = 0,x ? R },
2 2 2

若 B ? A,求实数 a 的值。

创新、拓展、实践 例 14(实际应用题) 在开秋季运动会时,某班共有 28 名同学参加比赛,其中有 15 人 参加径赛,有 8 人参加田赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加田赛和径赛的有 3 人,同时 参加径赛和球类比赛的有 3 人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田赛和球类比赛的 有多少人?只参加径赛的同学有多少人?

例 15(开放探究题)定义集合 A 和 B 的运算为 A﹡B ={ x︱x ? A 且 x ? B},试写出含
13

有几何运算符号“﹡” 、 “? ” 、 “? ” ,并对任意集合 A 和 B 都成立的一个式子__________ ______________________________________________________________________________ 例 16 我们知道, 如果集合 A ? U, 那么 U 的子集 A 的补集为 C U A={ x︱x ? U, 且 x ? A}, 类似地,对于集合 A、B,我们把集合{ x︱x ? A,且 x ? B}叫做 A 与 B 的差集,记作 A - B, 例如 A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则 A - B={1,2,3,},B – A={4,6,7}。 据此,回答以下问题: ⑴ 补集与差集有什么异同点? ⑵ 若 U 是高一⑴班全体同学的集合,A 是高一⑴班全体女同学组成的集合,求 U – A 及 C U A. ⑶ 在图 1-1-24 所示的各图中,用阴影 表示集合 A – B ⑷ 如果 A – B= ? ,那么 A 与 B 之间具 有怎样的关系。

高考要点阐释
例 1(2008·陕西高考)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A= {x︱x - 3x + 2 = 0}, B= {x︱x= 2a,a ? A},则集合 C U (A ? B)中元素的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4
2

例 2(2008·上海高考)若集合 A= {x︱x≤2},B= {x︱x≥a},满足 A ? B={2},则实 数 a = _________________________________. 例 3(2008·北京高考)已知集合 A= {x︱-2≤x≤3},B= {x︱x<-1 或 x>4},则集合 A ? B 等于( ) A. {x︱x≤3 或 x>4} B. {x︱-1<x≤3} C. {x︱3≤x<4} D. {x︱-2≤x<-1}

1.2
例 1 判断下列对应是否为函数 ⑴ x?

函数及其表示

2 2 ,x≠0,x ? R;⑵ x ?y,这里 y = x,x ? N,y? R x

14

2.1
例 1 求下列各式的值 ⑴
3

指数函数

6

(?2) 3 =



4

(?2) 4 =

(3 ? ? ) 6 =



x 2 ? 2 xy ? y 2 =

例 2 ⑴ 把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式(a>0) ; ① a =256
3
5

② a

?4

=28

③ a

?7

=5

6

④ a

?3 n

=3

5m

(m, n? N )
*

⑵ 计算:① 9 2 ② 16
? 3 2

例 3 化简

a a

2 3

b ?3 b

1 ? 2

÷?

?a b ? b a ?
?1

?1

? ? ? ?

?

2 3

例 4 化简(式中字母都是正数) ⑴ (x
2

y

3



6

⑵ (2x

2

+ 3y

? 3

)(2x

2

- 3y

? 3

)

1

⑶ 4x

2

·3x

?

1 2

(- y

3

)·y

?

3 3

例 化简下列各式 ⑴

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

-

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

15

4

1



a 3 ? 8a 3 b a ? 23 ab ? 4b
2 3 2 3

÷(1 – 2 3

b )× 3 a a

典型例题
题型一、根式的性质 例1 求值

a2 a ? 3 a2

(a>0).

例 2 计算:⑴

5?2 6 ? 5?2 6



3

2? 5 ?3 2? 5

题型二、分数指数幂及运算性质 1. 计算问题:例 3 计算: a 2 a ?3 ?
3 9 3

a ?7 3 a13

16

2. 化简问题:例 4 化简下列各式:⑴

3

a

7 2

a ?3 ?

3

a ?8 3 a15 ? 3

a ?3 a ?1

⑵ (x ? x ? x ) (x
0

?1

?

1 2

?x )

1 2

3. 带附加条件的求值问题
1

例 5 已知 a 2 + a ⑴ a + a
?1

?

1 2

= 3,求下列各式的值:

⑵ a + a

2

?2



a ?a
1

3 2

? ?

3 2 1 2

a2 ? a

数学思想方法
一、化归与转化思想

例 6 化简:

a2 b

b3 a

a b3

(a>0,b>0).

17

二、整体代换思想 例 7 ⑴ 已知 2 ?2
x ?x x ?x ? a (常数) ,求 8 ?8 的值。

1

1

⑵ 已知 x + y = 12, xy = 9,且 x<y,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值。

创新、拓展、实践
1. 数学与科技 例 8 已知某两星球间的距离 d 1 = 3.12×10
34

千米, 某两分子间的距离 d 2 = 3.12×10

?32

米,请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍?

2. 创新应用题 例 9 已知 a、b 是方程 x - 6x + 4 = 0 的两根,且 a>b>0,求
2

a? b a? b

的值。

18

3. 开放探究题 例 10 已知 a>0,对于 0≤r≤8,r ? N ,式子( a ) 数幂的可能情形有几种?
? 8? r

(

1
4

a

) 能化为关于 a 的整数指

r

高考要点阐释(写出解题的过程) 例 1(2008· 重庆文高考)若 x>0,则(2x + 3 ) (2x - 3 )- 4x =_____________________________.
1 4 3 2 1 4 3 2 ? 1 2

· (x - x )

1 2

1 ? ?1 例 2(上海高考)若 x 1 、x 2 为方程 2 =( ) x 的两个实数解,则 x 1 + x 2 =_____. 2
x

1

例 3(北京高考改编)函数 f(x)= a (a>0,且 a≠1)对于任意的实数 x、y 都有( A. f(x·y)= f(x) ·f(y) C. f(x + y)= f(x) ·f(y) B. f(xy)= f(x)+ f(y) D. f(x + y)= f(x)+ f(y)

x



名师专家点穴 一、巧用公式 引入负指数幂及分数指数幂后, 初中的平方差、 立方差、 完全平方公式有了新的特征; 如: (a ? a
?1

) =a ? 2+a
2 2

?2

;a – b = (a + b )(a - b );a + b = (a + b )· (a - a b + b )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

19

例 1 化简下列各式 ⑴ (x + x + 1)(x
?

?

1 2

- x )

1 2

二、整体带入 例 2 已知 x + x
1 2 ? 1 2

=3 求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

例 3 计算(1 +

1 2
2048

) (1 +

1 2
1024

)?(1 +

1 1 1 ) (1 + 2 ) (1 + ). 4 2 2 2

三、根式、小数化为指数幂 例 4 计算(0.0081)
? 1 4

- [3×(

7 0 ?1 3 ? ? ?0.25 ) ] ·[81 +(3 ) 3 ] 2 . 8 8

1

1

20

2.1.2 指数函数及其性质 例 1 指出下列函数哪些是指数函数 ⑴ y = 4 ;⑵ y = x ;⑶ y = - 4 ;⑷ y = (-4) ;⑸ y = ? ;⑹ y = 4x ;
x 4 x x

x

2

⑺ y = x ;⑻ y = (2a - 1) (a>

x

x

1 ,且 a ≠ 1) 2

例 2 比较下列各题中两个值的大小。 ⑴ 1.7
2.5

,1.7 ;

3

⑵ 0.8

?0 . 1

,0.8

?0 .2



⑶ 1.7

0 .3

,0.9

3 .1

例 3 求下列函数的定义域和值域: ⑴ y=

1? 2 ;
x

⑵ y = 2

1 x ?1

⑶ y = (

1 x2 ?2 x?3 ) 2

教材问题探究
1. 函数图像的变换 例 1 画出下列函数的图像,并说明他们是由函数 f (x) = 2 的图像经过怎样的变换得 到的。 ⑴ y = 2
x ?1 x



⑵ y = 2

x ?1



⑶ y = 2

x



x ⑷ y = 2 ?1 ;

⑸ y = -2 ;

x

⑹ y = -2

?x

21

2.图像变换的应用
x 例 2 设 f (x) = 3 ? 1 ,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的

是(


c b

A. 3 <3

B. 3 >3

c

b

C. 3 + 3 >2

c

a

D. 3 + 3 <2

c

a

探究学习 例 3 选取底数 a (a>0,且 a ≠ 1)的若干个不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出 相应的指数函数的图像. 观察图像, 你能发现他们有哪些共同特征?

22

典型例题精析
题型一 指数函数的定义 例 1 函数 y = (a + 3a + 3) a 是指数函数, 则 a 的值为___________________________
2 x

题型二 指数函数的图像和性质 1. 过定点问题 例 2 函数 y = 2
x ?3

+ 3 恒过定点________________.

2. 指数函数的单调性 例 3 讨论函数 f (x) = (

1 x 2 ?2 x ) 的单调性,并求其值域。 3

23

例 4 已知函数 f (x) =

a x ?1 ( a >1) ax ?1

⑴ 求该函数的值域;⑵ 证明 f (x)是 R 上的增函数

3. 指数函数的图像 例 5 若函数 y = a + b – 1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定 有( ) A. a>1,且 b<1 C. 0<a<1,且 b>0
x

B. 0<a<1,且 b<0 D. a>1,且 b<1

变试训练 1:当 a ≠0 时,函数 y = ax + b 和 y = b

ax

的图象只可能是下列中的(



题型三 指数函数图像和性质的综合应用 1. 比较大小 例 6 右图是指数函数:① y = a ,② y = b ,③ y = c , ④ y = d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c
24
x x x x



2. 解不等式

?1? 例 7 ⑴ 解不等式 ? ? ?2?

x2 ?2

≤2.

⑵ 已知 a 2 ? a ? 2 > a 2 ? a ? 2

?

? ?
x

?

1? x

,则 x 的取值范围是________________。

?x ? ?2 1? 1?x ? 0?, ⑶ 设函数 f(x)= ? 若 f (x 0 )>1,则 x 0 的取值范围是( 2 ? ? ? x x ? 0 , ?



变试训练 2:设 y 1 = a 有:⑴ y 1 = y 2 ;

3 x ?1

,y 2 = a

?2 x

,其中 a>0,a≠1,确定 x 为何值时, ⑵ y1 > y 2 .

3. 定义域和值域 例 8 求下列函数的定义域与值域 ⑴ y=2
1 x?4



?2? ⑵ y = ? ? ?3?

?x

.

25

例10 已知 -1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3

x ?1

? 9 x 的值域

4. 指数方程 例 10 解方程:3
x?2

-3

2? x

=80

例 11 若方程 ? ? ? ? ? A. ( ? ? ,1)

?1? ? 4?

x

?1? ?2?

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是(
C. (-3,-2) D.(-3,0)



B. ( ? ? ,2)

5. 单调性问题 例 12 已知 a>0 且 a≠1,讨论 f(x)=a
? x 2 ?3 x ? 2

的单调性

26

例 13 设 a >0,f(x)= ⑴ 求 a 的值

ex a ? 在 R 上满足 f(-x)=f(x)。 a ex
⑵ 证明:f(x)在(0,+ ? )上是增函数

6. 奇偶性问题 例 14 已知函数 f(x)= ? ⑴ 求 f(x)的定义域

1? ? 1 ? ? ? x3 , x ? 2 ?1 2 ?

⑵ 讨论 f(x)的奇偶性

⑶ 证明 f(x)>0

题型四 指数函数的实际应用 例15 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿。如果今后能将人口平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口约为多少?(精确到亿)

27

数学思想方法
一、数形结合思想 1. 比较大小 例 16 比较 3
?1 .5

和4

?1 .7

2. 求参数的取值范围 例 17 关于 x 的方程 ? ? ?

? 3? ? 4?

x

3a ? 2 有负根,求 a 的取值范围。 5?a

3. 研究函数的单调性 例 18 求函数 y = 1 ? 2 x?1 ? 2 2 x 的单调区间

二、分类讨论思想

?1? 例 19 根据下列条件确定实数 x 的取值范围: a < ? ? ?a?

1?2 x

(a>0 且 a≠1)

28

三、函数与方程思想 例 20 已知 x,y ? R,且 3 +5 >3
x y ?y

+ 5

?x

,求证 x + y>0.

创新、拓展、实践 1. 数学与科技 例 21 家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量 Q 呈指数函数型变化,满足关系式 Q = Q 0 e ?0.0025t ,其中 Q 0 是臭氧的初始量,t 为时间。 ⑴ 随着时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? ⑵ 多少年以后将会有一半的臭氧消失?

例 22 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定 的剂量服用, 据监测: 服药后每毫升血液中的含药量 y (微克) 与时间 t(小时)之间近似满足右图所示的曲线。 ⑴ 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y = f(t); ⑵ 据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微 克时,治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间。

29

2. 数学与生产 例 23 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后各月的产量,以这三个的月产量为依据,用一个函数模拟产品月产量 y (万件)与月份数 x 的关系,根据经验,模拟函数可以选用二次函数或 y=ab +c(其中 a、 b、c 为常数) ,已知 4 月份该产品产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较 好?并求此函数的解析式。
x

3. 创新应用 例 24 设 f(x)= ⑴ f(a)+ f(1-a)的值

4x ,若 0<a<1,试求: 4x ? 2



30

高中数学必修 4
第一章 三角函数 三角函数是中学数学的重要内容,还是学习解三角形、向量、立体几何中有关内容的 重要工具。 学法指导:1.要掌握三角函数中各个函数的基本概念,熟悉他们之间的内在联系。 2.在熟练掌握概念、公式的基础上,要不断总结解题规律,掌握变形方法 与技巧。 3.注意化归思想、数形结合思想在本章中的应用 1.1 任意角和弧度制 题型三 已知角 a 所在象限,求 2 a、 所在象限问题 例4 已知角 a 是第二象限角,求角 2 a 是第几象限角。

a 2

例5

若 a 是第一象限角,则

a 是第几象限角? 2

题型四 弧度制的概念问题 例 6 下列诸命题中,假命题是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的

1 1 ,一弧度的角是周角的 360 2?

C. 1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位。 D. 不论使用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 题型七 用弧度表示终边相同角的问题 例9 将 - 1485°表示成 2k ? + a ,k ? Z 的形式,且 0 ≤ a <2 ? .

题型八 由两角终边的位置确定两角的关系 例10 若角 ?、? 的终边互为反向延长线,则 ? 与 ? 之间的关系一定是( A. C. )

? = -? ? =k·360°+ ? (k? Z )
31

B. D.

? =180°+ ? ? =k·360°+ 180°+ ? (k? Z )

数学思想方法 一、分类讨论思想 例 11 若 a 是第二象限角,则

a 是第几象限角? 3

二、函数思想 例 12 扇形的周长 C 一定时,它的圆心角 ? 取何值才能使该扇形面积 S 最大?最大值 是多少?

创新·拓展·实践 一、实际应用题 例 13 经过 5 小时 25 分钟,时钟的分针和时针各转多少度?

二、数学与应用 例 14 一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为 2 km,一列火车用每小时 30 km 的 速度通过,10 s 间转过多少弧度?

32

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