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湖北省重点高中2013年自主招生考试数学试题



湖北重点高中 2013 年自主招生考试数学试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。。 )
?x ? 7 ? 4x ? 2 1、若不等式组 ? 的解集是 x ? 3 ,则 m 的取值范围是( ?x ? m

10、若 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,

A ?

1

1?
4

? 3

1 1?
4

1 ? ? ?? ? 4 3 ?1? 3 ?

0

,则 ? A ? =



11、如图, M 、 N 分别为 ? ABC 两边 AC 、 BC 的中点, )
AN 与 BM 交于点 O ,则
? BON 的面积 ? ABC 的面积

=

. C D

A、 m ? 3 B、 m ? 3 C、 m ? 3 D、 m ? 3 0 0 2、在 ? ABC 中, ? ACB ? 90 , ? ABC ? 15 , BC ? 1 ,则 AC ? (

A ) O B M A O P

A、 2 ? 3 B、 2 ? 3 C、 0 . 3 D、 3 ? 2 3、如图, AB 为⊙ O 的一固定直径,自上半圆上一点 C 作弦 CD ? AB , ? OCD 的平分线交⊙ O 于 点 P ,当点 C 在上半圆(不包括 A 、 B 两点)上移动时,点 P ( ) A、到 CD 的距离不变 4、已知 y ?
x ?1 ?

B

B、位置不变 C、等分 C、 3 ? 2 2

D、随 C 点的移动而移动 ) D、 2 2 ? 2

5 ? x ( x , y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为(

C N 第 12 题 12、如图,已知圆 O 的面积为 3 ? , AB 为直径,弧 A C 的度数为 80 ? ,弧 BD 的度数为 20 ? ,点 P 为 图 直径 AB 上任一点,则 PC ? PD 的最小值为 . 13、从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a ,是 3 的倍数的 个数为 b ,则样本 6 、 a 、 b 、9 的中位数是 . 14、由直线 y ? kx ? 2 k ? 1 和直线 y ? ( k ? 1 ) x ? 2 k ? 1 (k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围成的图形面积 为 S ,则 S 的最小值是 . 15、如图矩形纸片 ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有一点 P,PD =3cm,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的长是____________cm. 16.将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面积最大时, 圆柱的底面半径是___________cm.

A、 2 2 ? 1

B、 4 ? 2 2

5、已知 O 为圆锥的顶点, M 为圆锥底面圆上一点,点 P 在 OM 上。一只蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧 面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展平,所得侧面 展开图是( )

6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形 的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( ) A、 6 圈 B、 6 . 5 圈 C、 7 圈 D、 8 圈 7 、 二 次 函 数 y ? ax
2

? bx ? c 的 图 象 如 图 所 示 , 现 有 以 下 结 论 : ① abc ? 0 ; ② b ? a ? c ; ③

第 15 题图
三、解答题(72)

第 16 题图

4 a ? 2 b ? c ? 0 ;④ 2 c ? 3 b ;⑤ a ? b ? m ( am ? b ) , ( m ? 1 ) 其中正确的结论有(

) 连结 )

A、 4 个 B、 3 个 C、 2 个 D、 1 个 8、如图,正 ? ABC 中, P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD ? BC , PE ? AB , PF ? AC
AP 、 BP 、 CP ,如果 S ? APF ? S ? BPE ? S ? PCD ?
3 2 3

17、 (14 分)已知抛物线y ? ? x ? bx ? c ( c ? 0 ) 过点 C ( ? 1, 0 ) ⑴ 求抛物线的解析式;
2

,且与直线 y ? 7 ? 2 x 只有一个交点.

,那么 ? ABC 的内切圆半径为(
3 2

⑵ 若直线 y ? ? x ? 3 与抛物线相交于两点 A 、 B ,则在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,使
? ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由.

A、 1

B、 3

C、 2

D、

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9、 3 ? a ?
1 a

与3?a ?

1 a

是相反数,计算 a ?

1 a

=



18、有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度 iBC =

3 3

20、 分) (15 如图, 已知菱形 ABCD 边长为 6 3 , ? ABC ? 120 ? ,点 P 在线段 BC 延长线上, 半径为 r1 的 ,坝高为 5 m,坝顶 CD = 6 m,现有一工程车 圆 O 1 与 DC 、 CP 、 DP 分别相切于点 H 、 F 、 N , 半径为 r 2 的圆 O 2 与 PD 延长线、CB 延长线和 BD 分别相切于点 M 、 E 、 G . (1)求菱形的面积; (2)求证: EF ? MN ; (3)求 r1 ? r 2 的值. M

需从距 B 点 50 m 的 A 处前方取土,然后经过 B—C—D 放土,为了安全起见,工程车轮只能停在离 A、D 处 1 m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1 m,求车轮从取土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的 路径长。 (tan150=2- 3 )
N

A D O2 G

D N O1 H E B CF P

C
M

A

B b

F

19、(14 分)如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB 、 AD 延长线于点 M 、 N , DM 与 BN 交于点 H , DM 与 BC 交于点 E , BN 与 DC 交于点 F . ⑴ 猜想: CE 你的猜想. N 与 DF 的大小关系? 并证明你的猜想.⑵ 猜想: H 是 ? AEF 的什么心? 并证明

21.(15 分)如图,已知抛物线的方程C1:y=- (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于 点B、C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值.(2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在, 求m 的值;若不存在,请说明理由.

D

F

C

H E

A

B

M

一、选择题(8×3’=24’) 1~4 CBBD 5~8 DCBA 二、填空题(8×3’=24’) 9、 5 10、-2 11、
1 6
2

12、3

13、5.5

14、

7 4

15.

3 4

16. 2 3 ?

三、解答题(本大题共 5 小题, 14 ' ? 14 ' ? 1 4 ? ? 15 '? 15 ' ? 7 2 ? ) 17、(14 分)解: (1) y ? ? x ? 2 x ? 3 (6 分)(2)Q (1 , 3 ? 18. 60+ 2 3 ?
?
6
17 ) 或 (1 , ? 14 ) 或 (1 ,1 )

(14 分)

19.1) CE ? DF .(2 分) 证:∵正方形 ABCD ∴AD∥BC,DC∥AB∴ ∴
CE BC ? ND NA
CE ND ? MC MN ? BC NA

,(4 分)

DF AB

?

ND NA

(6 分)



DF AB

?

CE BC

又 AB ? BC ∴ CE ? DF (7 分)

(2)垂心. (9 分) 易证 ? ADF ≌ ? D CE (11 分)∴ ? DAF ? ? FDE 又 ∴ ? DAF ? ? ADE ? 90 ? ∴ AF ? DE (13 分)同理 FB ? AE . H 为 ? AEF 的垂心. (14 分) 20.(1)∴菱形的面积=2S△DBC=54 3 (2)证明:∵PM 与 PE 都是⊙O1 的切线,∴PM=PN,又∵PN 与 PF 都是⊙O2 的切线,∴PN=PE, ∴PM-PN=PE-PB,即 EF=MN; (3)∴r1+r2=9. 21.



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