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平面向量数乘运算及其几何意义[1]



2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义

1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相连,自始而 终
C

2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和

? ? a?b

? b
B

B

? a
? ? ?a

?b b

C

? b
A

? A a

O

? a

3.向量减法三角形法则:

特点:平移同起点,方向指被减

? a

? b

? b

B

O

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b
A

? ? ? ? 3a = a + a + a
A B C D

? a

? (- ? ) ? ? - 3a =(- a + (- a ) + a
)
A B C D

? a

思考:

(1)3 a ,?3 a 与 a 的方向和模 有什么关系? (2)? a 呢?
?

?

?

?

作一作,看成果
? ? ? ? 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? ? a ? ? ? ? ? ? 3a与 a 方向相同 a a a ? ? O 3a 即 3a A C B ?3a
? ? ? (?a) ? (?a) ? (?a) 类比上述结论,

? ?a

? ?a

? ?a

N

M

Q

P

? ?3a

又如何呢? ? ? 方向相反 ?3a 与 a ? ? 即 ?3a ? 3 a

? 一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量, ? 这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向
规定如下:
(1)

? ? | ? a |?| ? || a |;
的方向相同; 的方向相反。

? ? (2)当 ? ? 0时, 的方向与 a ?a ? ? 当? ? 0时, ? a 的方向与 a

? ? 特别的,当 ? ? 0 时, ? a ? 0.

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ? a
? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b

? 2a

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) a ? ? ?a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

思考 :

(1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

? ? b // a
成立

(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?

向量共线定理:
? ? ? ? 向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , ? ? 使b ? ? a.

? ? 即a与b共线

? ? ? ? b ? ? a (a ? 0)

? 思考:1) a 为什么要是非零向量?
? 2) b 可以是零向量吗?

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
C E

? AE ? AD ? DE 解:

A B D

? 3 AB ? 3BC

? 3 AB ? BC

?

?

? 3 AC
∴ AC 与 AE 共线.

例3.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且

? ? ??? ? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ? b 来表示MA AB ? a, AD ? b ,你能用 a 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C



b
A

? a

B

??? ? ? ? ? ? 例3.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作OA ? a ? b, ??? ? ? ? ??? ? ? ? OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
? a ? b ? 3b ? 2b ? b
O C

B

A

? a

总结:
证明三点共线的方法:

AB=λBC
且有公共点B

A,B,C三点共线

?? ?? ? 已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? 3e2, BC ? 6e1 ? 23e2, CD ? 4e1 ? 8e2, 求证 : A、B、D三点共线.

1 (1 D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 ) A 则AD等于 ( C ) 1 1 A. ( a ? b) B. (b ? a ) 3 3 1 1 D. ( 2b ? a ) B D C . ( 2a ? b) C 3 3
(2) 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ ? a? b 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? ( 3 a ? b) , AM ? a ? b, 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 4 2 4 4



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