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江西省九江市九江实验中学高中数学 第二课时 圆的参数方程及应用教学案 新人教A版选修4-4


江西省九江市九江实验中学高中数学 第二课时 圆的参数方程及应 用教学案 新人教 A 版选修 4-4
知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求 最值(数形结合) 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数 方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程 教学难点:选择圆的参数方程求 最值问题. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. y M 四、教学过程: r (一) 、圆的参数方程探求 ? O 1、学生阅读课本 P32,根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。 x M0 x

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

(?为参数)
这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。

说明: (1)参数θ 的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。 (2)随着选取的参数不同,参数 方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。 (3)在建立 曲线的参数方程时,要注明参数 及参数 的取值范围。 思考交流:你能回答课本第 33 页的思考交流题吗?

?x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所表示圆的圆心坐标、 半径,并化为普通方程 。 ? ? y ? 3 ? 2 sin ?
8 6 4

P

2

A

-10

-5

C

5

10

-2

c1
-4

-6

-8

3 、若如图取<PAX= θ ,AP

的斜率为 K,如何建立圆的参数方程,同学们讨论交流,自我解决。并阅读课本 P33 页。 结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数 方程。 4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。 (二) 、应用举例 例 1 、 【 课 本 P33 页 例 3 】 已 知 两 条 曲 线 的 参 数 方 程

45 : ( ? 为参数)和 : c1 ?y ?5sin? c 2 ?y ?3?t sin 450 (t为参数) (1) 、
x ?5cos? x ? 4 ? t cos

0

判断这两条曲线的形状; (2) 、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师准对问题讲评。
1

(二) 、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合) 例 2、1、已知点 P(x,y)是圆 x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y 的最值, (3)P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。 解: 圆 x2+y2- 6x- 4y+12=0 即(x- 3)2+(y- 2)2=1,用参数方程表示为 ? x ? 3 ? cos ? ? 由于点 P 在圆上,所以可设 P(3+cosθ ,2+sinθ ) , ? y ? 2 ? sin ? (1) x2+y2 = (3+cosθ )2+(2+sinθ )2 =14+4 sinθ +6cosθ =14+2 tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 14+2

13 sin(θ +ψ ). (其中


13 ,最小值为 14- 2 13

(2) x+y= 3+cosθ + 2+sinθ =5+ 2 sin( θ + 值为 5 - 2 。

? 4

)∴ x+y 的最大值为 5+

2

,最小

(3)

d?

3 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 2
? 4

4 ? 2 sin(? ? ? 2

?
4

)

显然当 sin ( θ +

)= ? 1 时,d 取最大值,最小值,分别为 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 .

2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+ y2-2x+4y=0 截得的弦:为最长的直线方程是_________;为 最短的直线方程是__________; 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的 最大值为 。 (三) 、课堂练习:学生练习:1、2 (四) 、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参 数取的不 同,可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程 求最值。要求大家掌握方法和步骤。 (五) 、作业:课本 P39 页 A 组 6、7、8 B组5
2 2 2 1、方程 x ? y ? 4tx ? 2ty ? 5t ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D)

A.一个定点

B.一个椭圆

C.一条抛物线
( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2

D.一条直线

2、已知

? x ? 2 ? cos? (?为参数) ? ? y ? sin?

,则

的最大值是 6。

? x ? cos? (?为参数) ? y ? 1 ? sin? 8.曲线 x ? y ? 2 y 的一个参数方程为 ?
2 2

2



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