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4-2 换元积分法



换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的 方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应 的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后, 把换元法分成第一类换元和第二类换元。

积分的基本公式

70
60
9
0

10
20

? ?1 x ? x ? dx ? ? ? 1 ? c (? ? ?1)

? kdx ? kx ? c

? cos xdx ? sin x ? c
? sin xdx ? ? cos x ? c
1 2 dx ? sec ? cos2 x ? xdx ? tan x ? c 1 2 dx ? csc ? sin 2 x ? xdx ? ? cot x ? c

3

0

1 ? x dx ? ln x ? c
1 1? x
2

40

?

dx ? arcsin x ? c

100

50

1 ? 1 ? x 2 dx ? arctan x ? c
x a x a ? dx ? ln a ? c

110
12 0

? sec x tan xdx ? sec x ? c
? csc x cot xdx ? ? csc x ? c

60

x x e dx ? e ?c ?

转换成复合函数积分 u ? ?( x)

1

0

20

3

0

1 ? u du ? ln u ? c

? ?1 u ? u ? du ? ? ? 1 ? c (? ? ?1) 60

? kdu ? ku ? c

70

? cos udu ? sin u ? c ? sin udu ? ? cos u ? c
2 sec ? udu ? tan u ? c

90

40

50

1? u 1 ? 1 ? u 2 du ? arctan u ? c
u a u a ? du ? ln a ? c

?

1

du ? arcsinu ? c 10 0 2

2 csc ? udu ? ? cot u ? c

11

0

? sec u tan udu ? sec u ? c
? csc u cot udu ? ? csc u ? c

60

12 0

u u e du ? e ?c ?

换元公式:

?F (? ( x)) ?? ?
找出 ? ( x)

f (? ( x)) ? ? ?( x)

观察被积函数中的复 合函数 f (? ( x)) 求出 ? ?( x )

? f [? ( x )] ? ?( x ) d x ? ? f [? ( x )] d ? ( x )
? ? f ( u) d u ? F ( u) ? C

并凑成

d ? ( x)

? F [? ( x )] ? C .

? ?( x) d x ? d ? ( x)

y ? sin 2 x 是复合函数,

? sin 2 xd x
1. 凑常数

如何积分?

一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
1 例1: ? sin 2 xd x ? ? sin 2 x d 2 x 2

? ( x) ? 2 x
(2 x)? ? 2

1 1 1 ? ? sin u d u ? ? cos u ? C ? ? cos 2 x ? C . 2 2 2

例 2: 1 ) ? 4e

3 x?5

dx

( 3 x ? 5 ? u)
(3x ? 5)? ? 3

1 ? ?4 e d ( 3 x? 5) 3 4 u 4 u ? ?e du ? e ?C 3 3 4 3 x?5 ? e ? C. 3

?

3 x?5

[d ( 3 x ? 5 ) ? 3 d x ]

1 dx 2)求 ? 3 ? 2x 1 1 1 解: dx ? ? ( 3 ? 2 x )?dx ? 3 ? 2x ? 2 3 ? 2x
u? 3? 2 x

?

1 1 1 1 du ? ln | u | ?C ? ln | 3 ? 2 x | ?C . ? 2 u 2 2

2. 凑函数(变量)

1 前例: ? sin 2 x d x ? ? cos 2 x ? C . 2

x d x ? 2? sin x d sin x ? sin 2 x d x ? 2? sin x cos ? ? ?
(sin x )? d x ? d sin x

(u = sin x)

? 2 ? u d u ? u 2 ? C ? sin 2 x ? C .

题目做得熟练后,中间变量 u 可以不写出来。 例 3: 1 ) ?
1 1 sin d x 2 x x
1 1 d x ? d (? ) 2 x x 1 ? ?d ( ) 1 x ? cos ? C .

1 1 ? ? ? sin d x x
2) 解:

x

? 2 xe
x2

x2

dx
x2

2 2 xe dx ? e d ( x ) ? ?

u? x2

?

? e du
u

? e ?C ? e ?C
u

x2

1 dx 例 4: ? x ln x

u ? ln x

1 1 ?? d ln x ? ? d u ln x u
? ln | u | ?C ? ln | ln x | ?C.
1 思考 ? dx x ln x ln ln x 1 ?? d ln ln x ln ln x

u ? ln x

1 (ln x )? ? x

1 d x ? d ln x x

u ? ln ln x

(ln ln x )? ?

? ln | lnln x | ?C

1 ? (ln x )? ln x 1 ? x ln x

1 dx. 例5 求 ? x(1 ? 2 ln x)


u ? 1 ? 2 ln x

1 ? x(1 ? 2 ln x )dx

1 1 ? ? d (1 ? 2 ln x ) 2 1 ? 2 ln x

1 1 1 ? ? du ? ln | u | ?C 2 u 2 1 ? ln | 1 ? 2 ln x | ?C. 2

例 6:

?

dx a ?x
2 2

( a ? 0)

a 1 ? a

?

x ? arcsin ? C . 2 a ? x? 1? ? ? ?a?

? x? d? ? d x? ?a

?

x ? arcsin ? C . a a2 ? x2

dx

dx 1 x 同理: ? 2 ? arctan ? C . 2 a a a ?x

?

dx a2 ? x2

x (a ? 0) ? arcsin ? C . a

dx 1 x ? a 2 ? x 2 ? a arctan a ? C .

思考题:

?

1 d (a 2 ? x 2 ) ?? ? 2 2 2 a ?x a2 ? x2
xd x

? ? a2 ? x2 ? C

xd x 1 d (a 2 ? x 2 ) 1 2 2 ? ln ( a ? x )?C ? ? a 2 ? x2 2 ? a2 ? x2 2

?

x2d x a ?x
2 2

??

( x 2 ? a 2 ? a 2 )d x a2 ? x2

? ? (? a 2 ? x 2 ?

a2 a2 ? x2

)dx

x2d x ( x 2 ? a 2 ? a 2 )d x a2 ? ? (1 ? 2 )dx ? a2 ? x2 ? ? a2 ? x2 2 a ?x

例7(1) 解

?x

1 ? x dx
2

1 2 2 1 2 2 ? 1 ? x d x 原式 ? ? ? ? 1 ? x d ?1 ? x ? ? 2 2 1 2 3 ? ? 1? x ? ? C 3 3 x dx ( 2) ? 1 ? 4x4
4 d x d 1 ? 4 x ? ? ? ? 1 1 原式 ? 4 ? ? 4 ? 4 1? 4x 16 1 ? 4 x 1 4 ? ln 1 ? 4 x ? C 16 4



?

?

dx 1 ?? d ( x +1) 例8:? 2 2 x ? 2x ? 2 1 ? ( x ? 1)

(x + 1 = u)

1 ? arctan u ? C ?? d u 1 ? u2
? arctan ( x ? 1) ? C .

dx ( a ? 0) 例 9: ? 2 2 x ?a
1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? dx 2a ? x ? a x ? a?

1 ( x ? a)(x ? a)
A B ? ? x?a x?a

1 ? d ( x ? a) ? ?? ? 2a ? x?a

?

d ( x ? a )? x?a ? ?

1 ? [ ln x ? a ? ln x ? a ] ? C 2a
1 x?a ? ln ? C. 2a x?a

A( x ? a) ? B( x ? a) ? ( x ? a)(x ? a)
? A( x ? a) ? B( x ? a) ? 1

返回

dx dx ( a ? 2 , u ? x ?1) ?? 如:? 2 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 2x ? 1
x ?1? 2 ? ln ? C. 2 2 x ?1? 2 1

?

dx 1 x?a ? ln ?C 2 2 2a x ? a x ?a

e ? x 2 dx

1 x

? ?e ? C
dx

1 x

1 u? x

1 ? (arcsin x)2 1 ? x2 ? ? arcsin x ? C u ? arcsin x
1 sec 2 x ? (1 ? tan x) 2 dx ? ? 1 ? tan x ? C
u ? 1 ? tan x

?

1 dx x ? (1 ? x)

? 2arctan x ? C

u? x

2 d sin x sin 2 x dx ?? 例11: ? 4 1 ? sin4 x 1 ? sin x

u ? sin 2 x

? arctan(sin x ) ? C
例12: ?

2

(sin2 x)? ? 2 sin x cos x
? sin 2 x

arctan x dx x (1 ? x )
x d arctan

? 2 ? arctan

u ? arctan x 1 1 (arctan x )? ? ? 1? x 2 x

x

? 2 ? u du ? u 2 ? C

? ( arctan x ) 2 ? C .

1 dx. 例13 求 ? x 1? e 1 1? ex ? ex dx ? ? dx 解 ? x x 1? e 1? e x x e ? e ? dx ?dx ? ? dx ? ? ? ? ?1 ? x x 1? e ? 1? e ?

1 x ? ? dx ? ? d ( 1 ? e ) x 1? e
? x ? ln(1 ? e x ) ? C .

x 例14 求 ? dx . 3 (1 ? x ) x ? 1 ?1 x dx dx ? ? 解 ? 3 3 (1 ? x ) (1 ? x) 1 1 ? ?[ ? ]d (1 ? x ) 2 3 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 ?? ? C1 ? ? C2 2 1? x 2(1 ? x ) 1 1 ?? ? ? C. 2 1 ? x 2(1 ? x )

三角函数积分:
m n sin x ? cos x d x 当 m ? 0, n ? 0 时: ?

n 是奇数, 令 u ? sin x , cos 2 x ? 1 ? sin 2 x m 是奇数, 令 u ? cos x , sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

m , n 都是偶数,则降低 m 和 n 的幂, 利用 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 2 2 sin x ? ,cos x ? 2 2

例15: ? sin x d x
2

? sin x d x ? ? cos x ? C ? cos x d x ? sin x ? C

1 ? cos 2 x ?? dx 2 1 1 ? [ ? d x ? ? cos 2 x d 2 x ] 2 2 1 1 ? x ? sin 2 x ? C . 2 4

1 1 同理,? cos x d x ? x ? sin 2 x ? C . 2 4
2

? sin x d x ? ? cos x ? C ? cos x d x ? sin x ? C
例16: sin x d x ? ? sin x ? sin x d x

?

3

2

? ? ? (1 ? cos 2 x ) d cos x
? ? ? (1 ? u 2 ) d u ? ? (u 2 ? 1) d u

u3 ? ?u ?C 3 1 ? cos 3 x ? cos x ? C. 3

4 例17:? cos x d x

? 1 ? cos 2 x ? ??? ? dx 2 ? ?
1 ? 2 cos 2 x ? cos2 2 x ?? dx 4 1 ? cos4 x 1 ? 2 cos2 x ? 2 ?? dx 4 3 ? 4 cos 2 x ? cos 4 x ?? dx 8 3 1 1 ? x ? sin 2 x ? sin4 x ? C . 8 4 32

2

? sin x d x ? ? cos x ? C ? cos x d x ? sin x ? C

例18:

? cos x sin
5

5

xdx

? ? sin 5 x d sin x ??

u u du ? ? C 6
6

6

sin x ? ?C 6

? sin x cos x dx 解 原式 ? ? sin x cos xd ? cos x ? ? ? ? ? ?1 ? cos x ? cos xd ? cos x ? ? ? ? ? cos x ? cos x ? d ? cos x ?
例19
3 2
2 2
2 2
2 4

1 1 3 ? ? cos x ? cos5 x ? C 3 5

一奇一偶,则将奇次方的函数拆出一个,凑成另一个的微分

例20 解

凑微分d(5x) 1 原式 ? ?sin ?5 x ? ? sin ?? x ??dx ? 2 1 ?1 ? ? ? ? sin ?5 x ?d ?5 x ? ? ? sin xdx? 2 ?5 ? 1 1 ? ? cos ?5 x ? ? cos x ? C 乘积化和差 10 2

? sin?2x?cos?3x?dx

1 sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? 2

◆几个常用的三角公式

1 ? cos ? 2 x ? sin x ? , 2
2

1 ? cos ? 2 x ? cos x ? 2
2

1 sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? 2 1 cos ? cos ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? 2 1 sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? 2

2 例21:(1) ? tan x d x (2) tan xdx sin x ?? dx 2 cos x ? (sec x ? 1) dx 1 ?? ? d cos x cos x ? ? ln cos x ? C . ? sec2 xdx ? dx

? ?
?

?

同理:

? cot x d x ? ln
2

sin x ? C .

? tan x ? x ? C

1 ? sec x d x ? ? cos 2 x d x? tan x ? C 1 2 ? csc x d x ? ? sin 2 x d x? ? cot x ? C

(3)

? tan

3

xdx
2

1 ? sec x d x ? ? cos 2 x d x? tan x ? C 1 2 ? csc x d x ? ? sin 2 x d x? ? cot x ? C
2

解 原式

? ? tan x ?sec x ?1? dx
? ? tan xd tan x ? ? tan xdx
1 2 ? tan x ? ln cos x ? C 2

cos x 1 例22: ? sec x d x ? ? cos x d x ? ? cos2 x d x
1 sin x ? 1 1 ?C ? ?? d (sin x ) ? ? ln 2 2 sin x ? 1 sin x ? 1

dx 1 x?a ? x 2 ? a 2 ? 2a ln x ? a ? C .



? sec x d x ? ?
??

sec x (sec x + tan x) dx (sec x + tan x)

sec 2 x ? sec x tan x dx sec x ? tan x

??

d (tan x ? sec x ) ? ln sec x ? tan x ? C sec x ? tan x

? sec x d x ? ln

sec x ? tan x ? C

同理: ? csc x d x ? ln csc x ? cot x ? C

例23: ?

sec 4 x d x ? ? sec 2 x d tan x
2

1 ? ? (tan x ? 1) d tan x ? tan 3 x ? tan x ? C . 3
例24:? tan 5 x ? sec 3 x d x ? ? tan 4 x ? sec 2 xd sec x

? ? (sec x ? 1) ? sec xd sec x
2 2 2

1 7 2 5 1 3 ? sec x ? sec x ? sec x ? C 7 5 3
sin x ? sec x tan x d x ? ? cos 2 x d x? sec x ? C cos x ? csc x cot xd x ? ? sin 2 x d x? ? csc x ? C

cos x ? sin x dx 例25 ? sin x ? cos x 解 分子恰为分母的导 数 (sin x ? cos x )? cos x ? sin x ? sin x ? cos xdx ? ? sin x ? cos x dx 1 ?? d (sin x ? cos x ) sin x ? cos x

? ln | sin x ? cos x | ?C

1 1 例26: ? sin x ? cos x d x ? ? sin 2 xd (2 x )

? ? csc(2 x )d ( 2 x ) ? ln | csc 2 x ? cot 2 x | ? C
1 dx ? 或 ? sin x ? cos x 1 1 ? tan x? cos2 x d x

1 ?? d tan x ? ln tan x ? C tan x



1 ? sin x ? cos x d x ?

?

sin x ? cos x dx sin x ? cos x

2

2

?

? (tan x ? cot x ) d x

? ? ln cos x ? ln sin x ? C

? ln tan x ? C

二、第二类换元法 (变量代换法)
定理2. 设 x =ψ (t) 是单调的可导函数,
且? ?( t ) ? 0, 则有换元公式:

? f ( x ) d x ? [? f [? (t )]? ?(t ) d t ] t ?? ( x )
其中 t ? ? ( x ) 是 x ? ? ( t ) 的反函数。
即对

? f ( x) d x

令 x =ψ (t), d x ? ? ?( t ) d t ,

? ? f [? ( t )] ? ?( t ) d t ? ? ? ( t ) d t ? ?( t ) ? C

???
? (t )

? ? [? ( x )] ? C .

1. 三角代换
目的:消去根式。

a2 ? x2 ,

x2 ? a2 ,
2

x2 ? a2

利用三角恒等式:sin

t ? cos t ? 1.
2

若令 x = a sin t , 取 t ? ( ? , ), 则单调可导,
2 2

? ?

x 且导数 a cos t ? 0, 反函数为 t ? arcsin , a

被积函数

a 2 ? x 2 ? a 2 ? a 2 sin 2 t ? a cos t .

对于 令

a ? x , 1 ? tan t ? sec t.
2 2

2

2

x ? a tan t ,



a ? x ? a sec t
2 2

对于

x ?a ,
2 2

sec t ? 1 ? tan t.
2 2



x ? a sec t ,



x ? a ? a tan t
2 2

例 1: ?

1 (1 ? x 2 )3

dx

? ? 解: 令 x = sin t , ? ? t ? 2 2 dx = d (sint) = cos t dt ,

cost ? 1 ? sin 2 t ? 1? x2

?

1 (1 ? x )
2 3

dx

??

1 cos t
6

? cos t d t

1 sin t ?? d t ? tant ? C ? ?C 2 cos t cos t x ? ?C 1? x2

例 2: ?

1 x
2

x ?1
2

dx

解: 令 x = sec t , 0 ? t ? ?
dx = d (sec t) = tan t sec t dt ,

?x
??
??

1
2

1? x2

dx

sec t ? x

1 sec t tan t
2 2

? tant sec t d t

1 ? cos t ? x

1 d t ? ? cos t d t ? sin t ? C ? 1 ? cos2 t ? C sec t

1 ? 1? 2 ? C x

例 3: ? a 2 ? x 2 d x 解: 令 x = a sin t ,

(a ? 0)

dx = d (asint) = a cos t dt ,

?原式 ? ?

a ? 2

a 2 ? a 2 sin 2 t ? d (a sin t ) ? ? a cos t ? a cos t d t 2 1 ? cos 2t 2 2 dt ? ? a cos t d t ? a ? 2 2 2
a ? 1 ? ? t ? sin 2 t ? ? C ? ( t ? sin t cos t ) ? C 2 ? 2 ?
x 2 ??C 1? ( ) ? a ?

a2 ? x x ? ? arcsin ? 2? a a

x ? sin t ? a

x ? t ? arcsin a

?

2 a x x 2 2 2 a ? x dx ? arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 2



求不定积分

?

4 ? x dx
2


原式

x x ? 4 ? x2 ? 2arcsin ? ?C 2 2

公式

?
1

2 a x x 2 2 2 a ? x dx ? arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 2

?

(1 ? x )

2 3

dx

例4 求不定积分

?


3

dx x ?1





x?u

3

dx ? du3 ? 3u 2 du

原式

u ? 3( ? u ? ln | u ? 1 |) ? C 2
3 2

3u 1 ? ? ?? du ? 3? ? u ? 1 ? du ? u ?1 u ?1 ? ?
2

2

x 3 ? 3( ? x ? ln | 3 x ? 1 |) ? C 2

例5 求不定积分

dx ? (1 ? 3 x ) x


解 原式



dx ? du6 ? 6u 5 du
? 1 ?1

例6:?

dx x ?a
2 2

( a ? 0)

2 2 利用公式 tan t ? 1 ? sec t 化去根式。 分析: ? ? 若令 x = a tan t , 取 t ? ( ? , )

2 2



x 2 ? a 2 ? a tan 2 t ? 1 ? a sec t .

解:令 x = a tan t ,
? 原式 ? ?

d x = a sec2t d t .

x ? tan t ? a

a sec 2 t d t ? ? sec t d t a sec t

x2 ? a2

? ln sec t ? tan t ? C1
? ln

t

x

a

x2 ? a2 x ? ? C1 ? ln a a

x2 ? a2 ? x ? C.

例7 求

?

1 dx (a ? 0). 2 2 x ?a

解 令x ? a sec t

dx ? a sec t tan tdt

?

1 a sec t ? tan t dx ? ? dt 2 2 x ?a a tan t
x

?? ? t ? ? 0, ? ? 2?

? ? sec tdt ? ln(sec t ? tan t ) ? C
?x ? ln? ?a ? ? x ?a a
2 2

? ? ? ? C. ?

x2 ? a2
a

t

? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C

基 (16) 本 (17 ) 积 分 (18) 表 ? (19)

? tan xdx ? ? ln cos x ? C; ? cot xdx ? ln sin x ? C; ? sec xdx ? ln(sec x ? tan x ) ? C; ? csc xdx ? ln(csc x ? cot x ) ? C;

1 1 x ( 20) ? 2 dx ? arctan ? C ; 2 a ?x a a

1 1 x?a ( 21) ? 2 dx ? ln ? C; 2 x ?a 2a x ? a 1 1 a? x ( 22) ? 2 dx ? ln ? C; 2 a ?x 2a a ? x
( 23) ( 24)

? ?

1 x dx ? arcsin ? C ; 2 2 a a ?x 1 2 2 dx ? ln( x ? x ? a ) ? C . 2 2 x ?a

三、小结
两类积分换元法:
?(一)凑微分 ? ?(二)三角代换、倒代换、根式代换

基本积分表(2)

◆第一换元法

? f ?x ?dx ? ? g ?? ?x ??? ??x ?dx
令u ? ? ? x ?
◆第二换元法

凑微分

? g ? u ? du ? ?? ?

u ?? ( x )

d? ( x)

? f ? x?dx
注:x ? ?

令x ? ? ? u ?

?? f ? ?? ? u ?? ? ? ? ? u ? du?

u ?? ?1 ( x )

?u ? 单调、可导,且 ?? ?u ? ? 0

4-2

P235

1.

1 (1) dx ? d( ax) a 1 (3) xdx ? d( x 2 ) 2 1 (5) xdx ? ? d(1- x 2 ) 2 1 2x (7) e dx ? d(e2 x ) 2

1 (2) dx ? d(7 x ? 3) 7 1 (4) xdx ? d(5x 2 ) 10 1 (6) x dx ? d(3x 4 ? 2) 12
3

(8) e dx ? ? 2 d(1 ? e )

-

x 2

-

x 2

2 3x 3x (9) sin dx ? ? d( cos ) 3 2 2 1 dx (10) ? d(5lnx) 5 x 1 dx (11) ? ? d(3 - 5lnx) 5 x 1 dx (12) ? d( arctan 3x) 2 3 1? 9x

(13) (14)

dx 1? x2 xdx 1? x2

? ? d(1- arcsin x) ? ? d( 1 ? x 2 )

2. 求下列不定积分 p235

(1) ? e5 x dx

(2) ? (3 ? 2 x)100 dx
(3) ? dx 1? 2x
3

( 4) ?

dx 2 ? 3x

2. 求下列不定积分 p235

(5) ? cos 3tdt
2

sin t (6) ? dt t

( 7) ? 2

1? 2 x

dx

(8) ? tan 10 x sec 2 xdx

2. 求下列不定积分 p236

(9 ) ?

dx sin x cos x

(10 ) ?

dx x ?x e ?e
2

(11) ? x cos(x )dx
(12) ? x 2 ? 3x
2

dx

2. 求下列不定积分 p236

(13) ?

x dx 4 1? 2x
2

(14) ? cos (?t ? ?) sin(?t ? ?)dt
(15) ? sin x dx 3 cos x

(16) ?

2x ?1 1? x2

dx

2. 求下列不定积分 p236

(17) ? cos xdx
3

sin x ? cos x (18) ? 3 dx sin x ? cos x

(19) ? x(1 ? x)99 dx
( 20 ) ? sin 2 x cos 3 xdx

2. 求下列不定积分 p236

(21) ? sin 5x sin 7 xdx
(22) ? tan3 x sec xdx
(23) ?
( 24) ?

arct an x dx x (1 ? x)
1 dx x ln x ln ln x

2. 求下列不定积分 p236

(25) ? t an 1 ? x
( 26 ) ?

2

x 1? x
2

dx

sin x cos x dx 4 1 ? sin x

(27) ?

x ?9 dx x
2



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§4.2 换元积分法(第二类换元法)
4 dt 2cos t 2 4 ? x2 x2 = ? (2 ? 2cos2t )dt ? 2t ? sin 2t ? C §4.2 换元积分法 2 x x ? 2t ? 2sin t cos t ? C ? 2...
§4.2 换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法(第一类换元法)_理学_高等教育_教育专区。高等数学不定积分...d (3x ? 2) ? 3dx , ? (3x ? 2) dx= 3 ? (3x ? 2) 例4 1 ...
第一换元积分法
(2 x ? 1)2 dx ? (4 x2 ? 4 x ? 1)dx ? 2. (2 x ? 1)10 dx =? 二.新课讲解 第一换元积分法: 凑微分 ? ? ? 4 3 x ? 2 x2 ? ...
3.2.1换元积分法
3.2.1 换元积分法一、第一换元法(适用 u ? 为常数,或 u ? 中含 x ...2 2 4 1 1 1 1 sin u ? x, cosu ? 1 ? sin 2 u ? 1 ? x 2...
第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理
第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理_理学_高等教育_教育专区。硕士论文第...x 4 处理方法二更简便的方法是,从导函数的角度出发。由于 d a a arcsin ?...
4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法_理学_高等教育_教育专区。高等数学...定积分的计算问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积 分法、换元积分法和...
换元积分法
章 不定积分(§2 换元积分法) 第换元积分法 要求:掌握用第一、二换元积分法求不定积分。 要求 重点:第一、二换元积分法。 重点 难点:选择恰当...
关于换元积分法的一个问题
?a 2 ?? 2 0 1 ? cos 2t ? a2 dt ? 2 4 2 0 综合以上两种方法,虽然都没有错,但是你应该看到,在第换元法(令 ,在换限的时候积分上限比积分...
换元积分法与分部积分法
二换元积分法;分部积分法. 基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法...3x ? 4 代入,有 2 《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理...
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