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高二数学第二学期期中考试试题


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高二数学第 学期期 高二数学第二学期期中考试试题

高二数 理科) 高二数 学(理科 理科
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 选择题, 注意: 注意:

7.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…(2n-1)(n∈N*)”时,从 n=k 变到“n=k+1”时,左边应增添的因式是( ) 2k + 1 (2k + 1)(2k + 2) 2k + 3 (A)2k+1 (B) (C) (D) k +1 k +1 k +1 8.已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c的导数为f ′( x), f ′(0) > 0 ,对于任意实数 x,有 f ( x) ≥ 0, 则
(A)

f (1) 的最小值为( f ′(0)
(B)

)

1.选择题答案要用铅笔在答题卡指定位置上填涂; 2.填空及解答题用黑色钢笔或签字笔在答题卷上指定位置作答.

3 2

5 2

(C) 3

(D) 2

小题, 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四 选择题: 个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.一个物体的运动方程为 s = 1 ? t + t 2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是( ) (A ) 7 米/ 秒 (B) 6 米/秒 (C ) 5 米/ 秒
(D) 8 米/秒

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 非选择题, 110

小题, 把答案填在答题卷中 二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卷中 填空题: .... 相应横线上. 相应横线上.
9. 曲线 y = 2 x 2 + 1 在点 P(-1,3)处的切线方程为 .

2.若复数 (1 + bi )(2 + i ) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数),则 b = (



10. 图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京

1 1 (A)2 (B) (C) ? (D) ?2 2 2 3.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平面 α ,直线 a ? 平面 α ,直线 b ∥平面 α ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的, 这是因为 (A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误 k 1 4.若 ∫ (2 x + )dx = 3 + ln 2, 则 k =( ) 1 x (A)6 (B) 4 (C) 3 (D).2
5.已知3 + 3i = z ? ( ?2 3i ), 那么复数z在平面内对应的点位于 ( )

奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃 迎迎”,则 f (5) = ; f ( n) ? f ( n ? 1) = 。(答案用数字或 n 的解析式表示)

(A)第一象限

(B) 第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 ) (D) 0

6.曲线 y = ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y + 3 = 0 的最短距离是( (A) 5 (B) 2 5 (C) 3 5

高二数学理试卷第 1 页 (共 4 页) 高二数学理试卷第 2 页(共 4 页)
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11.设数函 f ( x ) = cos

(

3 x + ? ( 0 < ? < π ) 。若 f ( x ) + f / ( x ) 是奇函数,则 ? = _________。

)

12.已知定义在区间 [0 ,1] 上的函数 y = f ( x) 的图像如图所示, 对于满足 0 < x1 < x2 < 1 的任意
x1 、 x2 ,给出下列结论: f ( x2 ) ? f ( x1 ) > x2 ? x1 ; x2 f ( x1 ) > x1 f ( x2 ) ;

18.已知 a、b 为实数,且 b>a>e,其中 e 为自然对数的底,求证: a b > b a .(提示:可考虑
用分析法找思路)

f ( x1 ) + f ( x2 ) < 2

?x +x ? f? 1 2? ? 2 ?.

19.一物体按规律 x = bt 3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于

速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功. .(把所有正确结论的序号都填上)
.

其中正确结论的序号是
1

13.已知 f (a ) = ∫ 0 (2ax 2 ? a 2 x)dx ,则 f (a ) 的最大值是

1 1 1 = 2+ 2 2 14.在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、b ,设 h 为斜边上的高,则 h a b ,由此类比:

20.已知函数 f ( x) = x 3 + 3ax ? 1, a 为实常数.

三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设棱锥 底面 ABC 上的高为 h ,则


(1)、a 在什么范围内时, y = f ( x)与y = 3 只有一个公共点? (2)、若 ? ( x) =
f ( x) + 1 在[?2,0) ∪ (0,2] 上有最小值 2,求 a 的值. x2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程 解答题: 小题, 解答应写出文字说明, 把答案写在答题卷 或演算步骤 , 把答案写在答题卷上指定位置处 . ...
15.已知 z + ( z + z )i =
2

3?i ,其中 z 是 z 的共轭复数,求复数 z . 2+i

16.求由 y 2 = 4 x 与直线 y = 2 x ? 4 所围成图形的面积.

17.函数 y = f ( x ) 对任意实数 x, y 都有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy .

(1)求 f (0) 的值; (2)若 f (1) = 1 ,求 f (2), f (3), f (4) 的值,猜想 f ( n) 的表达式并用数学归纳法证明你的 结论; (n ∈ N ? )
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高二数学理试卷第 4 页(共 4 页)

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学年第二学期期 考试答题卷 南雄中学 2007-2008 学年第二学期期中考试答题卷

17. (14 分)

座位号:

高二数 理科) 高二数 学(理科 理科
………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………….密……………封………………线……….…..内………….不…………..准…………..答………..……题…………... 注意事项: 1.用黑色钢笔或黑色签字笔答在指定位置处. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:(30 分) 9.______________. 10.____________. 11._______________. 12.__________________. 13、 ; 14、 。 三、解答题:(共 6 小题,80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(12 分)

班别_______姓名:________学号:________试室号

18. (14 分)

_16. 16。(12 分)

学校

.

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高二数学理答题卡第 2 页 (共 4 页)

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19(14 分)

20. (14 分)

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高二数学理答题卡第 4 页 (共 4 页)

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高二数 理科)答案及评分标准 高二数 学(理科 答案及评分标准 理科
一、选择题 题号 答案 C 二、填空题
6 2 1 1 1 1 12.2,3;13. ,;14. 2 = 2 + 2 + 2 9 h a b c 三、解答题 15 解:由已知得 | z |2 + ( z + z )i = 1 ? i
设 z = x + yi, ( x, y ∈ R ) ,代入上式得 x 2 + y 2 + 2 xi = 1 ? i

4 3 4 4 3 2 = ( x 2 ) |0 ?( x 2 ? 4 x) |4 + ( x 2 ) |1 ?( x 2 ? 4 x) |1 = 9 2 0 3 3 17. 解:(Ⅰ)

令 x = y = 0 ,得
f (0 + 0) = f (0) + f (0) + 2 × 0 × 0 ? f (0) = 0 ……

1 C

2 A

3 D

4 B

5 A

6 C

7 D

8

证明: (Ⅱ) f (1) = 1 ,
f (2) = f (1 + 1) = 1 + 1 + 2 = 4 f (3) = f (2 + 1) = 4 + 1 + 2 × 2 × 1 = 9 f (4) = f (3 + 1) = 9 + 1 + 2 × 3 × 1 = 16

9. y = ?4 x ? 1 ;10.41; 4(n ? 1) ;11.

π

猜想 f (n) = n 2 ,下用数学归纳法证明之. (1)当 n=1 时,f(1)=1,猜想成立; (2)假设当 n=k 时,猜想成立,即 f (k ) = k 2 , 则当 n=k+1 时, f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k2+2k+1=(k+1)2 即当 n=k+1 时猜想成立。 由(1)(2)可知,对于一切 n∈N*猜想均成立。 、
18.证法一:∵b>a>e,∴要证 a b > b a ,只要证 blna>alnb,设 f(b)=blna-alnb(b>e),则

1 ? ?x = ? 2 ?x + y = 1 ? ∴? ,解得 ? ? 2 x = ?1 ?y = ± 3 ? 2 ?
2 2

故复数 z 为 ?

1 3 ± i 分 2 2 ? y2 = 4x 16、解:由 ? 得交点坐标为 (1, ?2), (4, 4) ,如图 ? y = 2x ? 4

a a f′(b)=lna- b .∵b>a>e,∴lna>1,且 b <1,∴f′(b)>0.∴函数 f(b)=blna-alnb 在(e,+∞)上

(或答横坐标) 方法一:阴影部分的面积

y
B ( 4,4 )
C(2,0 )

是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即 blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ a b > b a .
ln x ,设 f(x)= x (x>e),则

S = 2∫ 2 xdx + ∫ [2 x ? (2 x ? 4)]dx
0

1

4

4 4 4 = 2( x ) |1 + ( x ? x 2 + 4 x) |1 0 3 3 =9
方法二:阴影部分的面积 S =

3 2

1 3 2

证法二:要证 a b > b a ,只要证 blna>alnb(e<a<b ) ,即证

0
2

y+4 y ? )dy 2 4 1 1 4 = ( y 2 + 2 y ? y 3 ) |?2 = 9 4 12



4

A(1, ?2)

x

?2

(

1 ? ln x 2 f′(x)= x <0,∴函数 f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b, ln a ln b > b ,∴ a b > b a . ∴f(a)>f(b),即 a

方法三:直线与 x 轴交点为(2,0)所以阴影部分的面积

S = ∫ 2 xdx ? ∫ (2 x ? 4)dx ? ∫ (?2 x )dx ? ∫ (2 x ? 4)dx
0 2 0 1

4

4

1

2

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19 解:物体的速度 V = 比例常数,k>0.

dx = (bt 3 )′ = 3bt 2 .媒质阻力 Fzu = kv 2 = k (3bt 2 ) 2 = 9kb 2 t 4 ,其中 k 为 dt
1

由 ? (? x) = ? ( x) ,可知 ? (x) 为偶函数,则原题即为 ? (x) 在 (0,2] 上有最小值 2. 设 g ( x) = x +
3a 3a x 2 ? 3a ( x ∈ (0,2] ),则 g ′( x) = 1 ? 2 = . x x x2
3a ]. 2

a 当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t = t1 = ( ) 3 ,又 ds=vdt,故阻力所作的功为 b t1 t1 t1 27 3 7 27 3 7 2 W zu = ∫ Fzu ds = ∫ kv 2 ? vdt = k ∫ v 3 dt = k ∫ (3bt 2 ) 3 dt = kb t1 = k a b 0 0 0 7 7

① a < 0 时, g ′( x) > 0 ,所以 g (x) 在 (0,2] 上单调增,所以 g ( x) ∈ (?∞,2 +
因为 ? (x) 在 (0,2] 上有最小值 2,所以 2 +
3a 8 = ?2 ,所以 a = ? . 2 3

20.解:已知函数 f ( x) = x 3 + 3ax ? 1, a 为实常数. (1)a 在什么范围内时, y = f ( x)与y = 3 只有一个公共点? (2)若 ? ( x) = f ( x) + 1 在[?2,0) ∪ (0,2] 上有最小值 2,求 a 的值. x2

② a = 0 时, ? ( x) = x ,无最小值,不合题意. ③ a > 0 时, ? ( x) = g ( x) , g ′( x) =
(I)
3a ≥ 2 , 即 a ≥

x 2 ? 3a ( x + 3a )( x ? 3a ) = . x2 x2

【解析】(1) f ′( x) = 3 x 2 + 3a = 3( x 2 + a ) .

①当 a ≥ 0 时, f ′( x) ≥ 0 ,所以 f (x) 在 R 上单调增,此时 y = f ( x)与y = 3 只有一个公共
点;

②当 a < 0 时, f ′( x) = 3( x + ? a )( x ? ? a ) .由 f ′( x) = 0 ,得 x1 = ? ? a , x 2 = ? a .
在 x ∈ R 上列表:

4 时 , g ′( x) < 0 , 所 以 g (x) 在 (0,2] 上 单 调 减 , 所 以 3 3a 3a g ( x) ∈ [2 + ,+∞) ,此时 ? (x) 在 (0,2] 上的最小值为 2 + ≠ 2 ,不合题. 2 2 4 (II) 3a < 2 ,即 0 < a < 时,由 g ′( x) = 0 ,得 x = 3a . 3

在 x ∈ (0,2] 上列表:
x
(0, 3a )

3a

( 3a ,2)

2

x

(?∞,? ? a )

? ?a

( ? ? a ,? ? a )

?a

( ? a ,+∞)

g ′(x) g (x)

─ ↘

0



f ′( x) f ( x)





0 ─ 极 大 ↘ 值

0



极小值



2+

3a 2

极小值



∴ ? ( x) min = g ( x) min = g ( 3a ) = 2 3a = 2 ,即 a =

因为 y = f ( x)与y = 3 只有一个公共点,所以 f ( x) 极大值 < 3 或 f ( x) 极小值 > 3 . 所以 f (? ? a ) < 3, 或f ( ? a ) > 3 ,得 ? 3 4 < a < 0 .
综上, a > ?3 4 , y = f ( x)与y = 3 只有一个公共点. ( 2) ? ( x ) =

1 8 1 .综上, a 的值为 ? 或 . 3 3 3

f ( x) + 1 x 3 + 3ax ? 1 + 1 3a = = x+ . 2 2 x x x

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