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直线的方程新课



直线的方程
在直角坐标系内,确定一条直线,需要 哪些条件? ?直线上一点和直线的倾斜角(斜率) ?直线上两点

探究1:一条直线由一个点和一个斜率所确定,
那么这条直线对应着什么方程? 已知:一条直线l经过点P0(x0 ,y0) ,其斜率为k , 求它的方程。 设直线上任一点P ( x , y ) y P0 (x0 , y0) P (x

, y) (异于P ),由k ? y ? y0 得 0 x ? x0 O 其它特例 y0 l: y=y0 x

点斜式:

y-y0= k(x-x0)
l: x=x0

x0

点斜式:y-y0= k(x-x0)
y ? y0 1、k ? 与y ? y0 ? k ( x ? x0 )表示不同的集合. x ? x0

2、若l过点P(x0,y0),l∥x轴,k=tanα=0,直线方 程为y=y0,符合点斜式 3、若l过点P(x0,y0),l⊥x轴,k不存在,直线方程 为x=x0,不能用点斜式 过P(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类: (1)k存在, y-y0= k(x-x0) (2)k不存在, x=x0 例:一条直线经过P1(-2,3),倾斜角α=45°,求 这条直线的方程,并画出图形。

已知:一条直线l经过点P0(0 ,b) ,其斜率为k ,求它的方程。

k (0,b)

斜截式:(点斜式的特例) y=kx+b

当k≠0时,方程是一次函数的表达式。 直线l与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标叫做直线l在 x轴(y轴)上的截距; ? 截距可正可负可零,区别距离;
?

求截距的方法:令x=0,得纵截距y=b;
b 令y=0,得横截距x= ? k

课本95页练习

探究2:已知两定点,如何确定直线方程? 已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2),求 l的方程。

y2 ? y1 解:设直线的斜率为k,则k ? x2 ? x1 又直线过点(x1 ,y1 ),由点斜式得直线方程 y2 ? y1 y-y1 ? ( x ? x1 ), x2 ? x1 y-y1 ( x ? x1 ) 整理得 : ? y2 ? y1 x2 ? x1

y ? y1 x ? x1 两点式:y ? y ? x ? x ( y2 ? y1且x2 ? x1 ) 2 1 2 1
1、局限性:不可以表示与x轴平行(y1=y2)的直线 以及与x轴垂直的直线(x1=x2)

y ? y1 x ? x1 2、 ? y2 ? y1 x2 ? x1

不能表示α=0°和90°的情况

y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) 不能表示α=90°的情况 x2 ? x1 (x2 ? x1 )(y ? y1 )=(y2 ? y1 )(x ? x1 ) 都可以

已知直线l与x轴的交点为(a,0), 与y轴的交 点为(0, b), 其中a ? 0, b ? 0, 求直线l的方程.

若直线在x轴和y轴上的截距分别为a,b, 则直线方程的截距式为: x y ? ? 1(截距存在且不为零) a b

局限性:不可以表示与两坐标轴平行的直线以及过 原点的直线(注意讨论截距不存在的情况)

选择恰当的直线方程
1.三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角 形所在直线的方程,以及BC边上中线所在直线的方程。
C A O y

x

B

2.经过点A(1,2)并且在两坐标轴上截距的绝对值相等 的直线. 答案:x+y=3,-x+y=1,y=2x

课本97页练习

直线方程的四种形式
方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 已知条件 斜率k, 定点(x0,y0) 斜率k, 纵截距b 方程 适用范围
斜率存在
(不垂直x轴)

y ? y0 ? k( x ? x0 )
y ? kx ? b

斜率存在
(不垂直x轴)

两点(x1,y1)、 y ? y1 ? x ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1 (x2,y2 ) 纵截距b, 横截距a
x y ? ?1 a b

x1 ? x2 , y1 ? y2 不平行坐标轴
a,b存在且都不为零 (不平行坐标轴, 不过原点)

1、对于平面直角坐标系中任一条直线,都有一个表示 这条直线的关于x,y的二元一次方程。 2、任何关于x,y的二元一次方程都表示一直线。 直线方程的一般式:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
C (1) B ? 0时,x ? ? ( 斜率不存在); A A C A C ( 2) B ? 0时,y ? ? x ? , 斜率 ? , 纵截距 ? B B B B C C (3) A ? 0, B ? 0时,横截距 ? , 纵截距 ? A B

课本99页练习

两直线的位置关系(一)
——平行与垂直

一、两直线平行的判定
当直线l1与l2有斜截式方程: l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2 时,

l1 ∥ l2的充分必要条件是:k1=k2且b1≠b2
特殊情况:当l1 ⊥x轴, l2 ⊥x轴时, l1 ∥ l2

当直线l1与l2有一般式方程:
若l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0 且l1∥l2 ,则它们的系数之间存在何种关系?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

( A1 A2 B1B2C1C2 ? 0)

二、两直线垂直的判定
若两直线l1与l2都有斜率k1、k2, 则l1 ⊥ l2 的充要条件是: k1?k2 =-1

特殊情况:当一条直线的斜率不存在,另一条斜率为零
时,它们也互相垂直。

若l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0
且l1⊥l2 ,则它们的系数之间存在何种关系?

A1 A2 ? B1B2 ? 0
课本89页练习,90页A8、B1~6

练习:平行垂直应用
1.a为何值时,直线(a ? 1) x ? 2 y ? 4 ? 0 与x ? ay ? 1 ? 0, (1)平行; ( 2)垂直. 2.(1)求过A(1,?4)且与直线2 x ? 3 y ? 5 ? 0平行的直线方程 ( 2)求过A( 2,1)且与直线2 x ? y ? 10 ? 0垂直的直线方程 (3)求与直线3 x ? 4 y ? 7 ? 0平行,且在两坐标轴上 的 截距之和为 1的直线方程.

与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0 (其中m为待定常数) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+m=0 (其中m为待定常数)

直线方程形式的灵活选择技巧
直线方程的几种形式都有使用的局限性 一般地,已知一点通常选用点斜式;已知斜率选择 斜截式和点斜式;已知截距或两点选择截距式或两 点式 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法, 一般几个待定系数就应列出几个方程(一般,已知 一点就待定斜率k,但应注意斜率不存在的情况; 如果已知斜率k,一般选择斜截式待定纵截距b;如 果已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距 式,待定横、纵截距) 有的直线方程可以同时选用几种形式,但选择的形 式不同,导致运算繁简程度不同

1、求过点(2,1)和点(a,2)的直线方程. 注意各个形式的局 限性,分类讨论. 2、求过点A(5,2),且在坐标轴上 截距互为相反数的直线l的方程. 3、直线l经过点P(-4,3)与x轴、y轴分别 交于A、B两点,且AP:PB=3:5,求直线 l的方程. 4、如图,在△ABC中,BC边上的高 AD所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线的方程为y=0,若点B A 的坐标为(1,2),求AC和BC的方程. 注意求截 距的方法
B

D
O

5、一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点 B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程

C

6.倾斜角为 120?的直线l与两坐标轴围成的三角 形 面积S不大于 3,求l的纵截距b的取值范围 .
直线在x,y轴上的截距分别为a,b,与截距有关的问题: (1)与坐标轴成三角形的周长为 a ? b ? a 2 ? b 2 1 ()与坐标轴成三角形的面积为 2 S ? ab 2 ()直线在两坐标轴上的截距相等,则 3 k ? ?1或过原点, 常设方程为x ? y =a或y ? kx

7、证明a∈R时,直线ax+y+a+2=0必过定点. 8、如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不在第 ()象限.

9、已知?ABC的顶点是A( ?1,?1), B(3,1), C (1,6), 直线l平行于AB , 且分别交Ac , BC于点E , F, 1 ?CEF的面积是?ABC面积的 , 求直线l的方程. 4 10、点A是x轴上的动点, 一条直线经过点M ( 2,3), 垂直于MA, 且交y轴于点B , 过点A, B分别作x轴, y轴的垂线交于点P , 求点P的坐标( x , y )满足的关系 .

实质为求点P的 轨迹方程



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