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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第九章第四节变量间的相关关系、统计案例



新课标 ·理科数学(广东专用)

第四节
自 主 落 实 · 固 基 础

变量间的相关关系、统计案例

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





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自 主 落 实 · 固 基 础

1.两个变量的线性相关

左下角 右上角 (1)在散点图中,点散布在从____________到_________
的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相 关. 右下角 左上角 (2)在散点图中,点散布在从_________到_________的区

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域,两个变量的这种相关关系称为负相关.

(3) 如 果 散 点 图 中 点 的 分 布 从 整 体 上 看 大 致 在
一条直线附近 ______________,就称这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做回归直线.
菜 单

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2.回归方程
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(1) 最 小 二 乘 法 : 使 得 样 本 数 据 的 点 到 回 归 直 线 的
距离的平方 _____________和最小的方法叫最小二乘法.
(2)回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数 ^ ^ 据:(x1,y1)、(x2,y2),?,(xn,yn).其回归方程为y =b x ^ +a ,则

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其中___________称为样本点的中心.





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3.残差分析 (1)残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn), 它们的随机误差为 ei=yi-bxi-a,i=1,2,?,n,其估计 ^ ^ ^ ^ ^ 值为e i=yi-y i=yi-b xi-a ,i=1,2,?,n.e i 称为相应于点 (xi,yi)的残差. ^ (2)残差平方和为∑ (yi-y i)2. i= 1
n

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(3)相关指数:R2=____________________.

4.独立性检验 K2 来 判 断 “ 两 个 分 类 变 量 (1) 利 用 随 机 变 量 ______ 有关系 __________”的方法称为独立性检验.
菜 单

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(2)列联表:列出的两个分类变量的频数表,称为列联 表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为 {x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 x1 x2 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

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总计

构造一个随机变量K2=
n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) _________________________________________ , 其 中 n

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a+b+c+d =_______________为样本容量.
菜 单

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^ 1. 线性回归方程y =bx+a 是否一定过样本点的中心(x, y),为什么?
^ ^ ^ ^ 【提示】 一定过点(x,y),∵a =y-b x,∴y=b x+a , ^ ^ ^ 即点(x,y)一定在回归直线y =b x+a 上.

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2.残差分析中的相关指数R2对模型拟合效果的影响是 怎样的? 【提示】 果越 R2越大,意味着残差平方和越小,即模型的

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拟合效果越好.R2越小,残差平方和越大,即模型的拟合效

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差.在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量

变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.

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1.(人教A版教材习题改编)下面是2×2列联表: y1 x1 x2 a 22 b y2 21 25 46 ) B.52,50 D.74,52 合计 73 47 120

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合计

则表中a,b的值分别为( A.94,72 C.52,74
菜 单

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【解析】

∵a+21=73,∴a=52.

又a+22=b,∴b=74.

【答案】

C

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2.(2012· 课标全国卷)在一组样本数据(x1 ,y1),(x2 , y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图 1 中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x 2 +1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) A.-1 B.0 1 C. D.1 2 【解析】 样本点都在直线上时,其数据的估计值与真 ^ 实值是相等的,即 yi=y i,

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代入相关系数公式 r= 【答案】 D
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3.(2013·汕头质检)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收 入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y

对x的回归直线方程:=0.254x+0.321.由回归直线方程可
知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加 ________万元.

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【解析】 0.321)=0.254.

由题意知[0.254(x+1)+0.321]-(0.254x+

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【答案】

0.254





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4.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1 671 人,经过计算K2的观测值k=27.63,根据这一数据分析,我 们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填有关或无

关).
【解析】 ∵k=27.63>6.635,

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∴有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”.
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【答案】

有关

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下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据: 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480

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(1)将上述数据制成散点图; (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什 么关系吗?水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗?

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【思路点拨】
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分析观测数据、制图,分析散点图,做

出判断.

【尝试解答】

(1)散点图如下:

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(2)①从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相 关关系,当施化肥量由小到大变化时,水稻产量由小变大,

图中的数据点大致分布在一条直线的附近,因此施化肥量和
水稻产量近似成线性相关关系.②不会,水稻产量只是在一 定范围内随着化肥施用量的增加而增长.

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1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较 直观简便的方法.如果所有的样本点都落在某一函数的曲 线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落 在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.

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2.在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区
域,称为正相关;若散布在从左上角到右下角的区域称为 负相关.
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(2013·中山调研)变量X与Y相对应的一组数据为(10, 1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相 对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5, 2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示 变量V与U之间的线性相关系数,则( )

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A.r2<r1<0 C.r2<0<r1

B.0<r2<r1 D.r2=r1

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【解析】
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对于变量Y与X,Y随着X的增大而增大,

∴Y与X正相关,即r1>0.
对于变量V与U而言,V随U的增大而减小, 故V与U负相关,即r2<0, 因此r2<0<r1.

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【答案】

C
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(2013· 广 州 模 拟 ) 某 地 最 近 十 年 粮 食 需 求 量 逐 年 上 升,下表是部分统计数据:

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年份
需求量 (万吨)
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2004
236

2006
246

2008
257

2010
276

2012
286
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(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方 ^ 程y =bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食 需求量.
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【思路点拨】
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(1)为 了 方 便 计 算,可将数据适当 处

理,再列对应表格,求回归系数;(2)根据回归方程进行预测

分析.
【尝试解答】 预处理如下: (1)由所给数据看出,年需求量与年份

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之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程,为此对数据

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年份-2008 需求量-257

-4 -21

-2 -11

0 0

2 19

4 29

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对预处理后的数据,容易算得 =0, =3.2, ^= b (-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29 42+22+22+42 260 = =6.5, 40

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^ ^ ∴a = -b =3.2, 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^-257=b(x-2 006)+a =6.5(x-2 006)+3.2 ^ ^ y ^ 即y =6.5(x-2 006)+260.2. ①

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(2)利用直线方程①,可预测2012年的粮食需求量为
6.5×(2 012-2 006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万 吨)≈300(万吨).

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1.解答本题将年份-2008,需求量-257,有利于计算, 进而由回归直线方程进行有效地预测分析. ^ ^ 2.正确运用计算b 、a 的公式和准确的计算,是求线性 回归方程的关键. 3.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作 出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线 性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

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为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间

的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单
位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:

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时间x 命中率y
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1 0.4

2 0.5

3 0.6

4 0.6

5 0.4
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(1)试求小李这5天的平均投篮命中率; (2)请你用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小 时篮球的投篮命中率.
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【解】 (1)由图表知,5 天的平均投篮命中率 0.4+0.5+0.6+0.6+0.4 = =0.5, 5 1 (2) = (1+2+3+4+5)=3, 5 ∴ ^ b =

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-2×(-0.1)+(-3)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1) (1-3) 2+(2-3) 2+(4-3)2+(5-3)2 =0.01, ^= -b =0.5-0.01×3=0.47, ^ a
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^ 故回归直线方程为y =0.47+0.01x ^ 将 x=6 代入,得y =0.53, ∴6 号打 6 小时篮球命中率约为 0.53.

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为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本 班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表: 喜爱打 篮球 男生 不喜爱打 合计 篮球 6 10

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女生

合计

48

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已知在全班 48 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的 2 学生的概率为 . 3 (1)将列联表补充完整; (2)你是否有 95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关? 说明你的理由. 下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635

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n(ad-bc) (参考公式 K = , (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

2

其中 n=a+b+c+d)
【思路点拨】 由已知数据补充; (1)先计算喜爱打篮球的总人数,然后

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(2)由公式算出K2后,再根据临界值表作出回答.
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【尝试解答】
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(1)由题意喜欢打篮球人数为48×=32,

故男生中喜欢打篮球的有22人. 列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 22 10 32 不喜爱打篮球 6 10 16 合计 28 20 48

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合计

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48×(220-60) (2)由 k= ≈4.286 28×20×32×16 因为 4.286>3.841,有 95%的把握认为喜爱打篮球与性 别有关.

2

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1.独立性检验的关键是准确的计算 K 2,在计算时,要 充分利用 2×2 列联表. 2.独立性检验的步骤: (1)根据样本数据制成 2×2 列联表. n(ad-bc)2 (2)根据公式 K2= (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) 计算 K 2 的观测值 k. (3)比较 k 与临界值的大小关系作统计推断.

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为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单 随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

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(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人

的比例;
(2)在犯错误的概率不超过1%的条件下,你能否认为该地

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区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
菜 单

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(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该
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地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说 明理由.附:

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n(ad-bc)2 K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
【解】 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者 提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例 70 的估计值为 =14%. 500
菜 单

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500×(40×270-30×160)2 (2)k= ≈9.967. 200×300×70×430 由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老 年人是否需要帮助与性别有关. (3)由(2)的结论知, 该地区老年人是否需要帮助与性别有 关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人 中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地 区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采 用分层抽样方法,比采用简单随机抽样方法更好.

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1.函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定 的关系.事实上,相关关系是非随机变量与随机变量的关 系.

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2.当K2≥3.841时,则有95%的把握说事A与B有关;当 K2≤2.706时,认为两个分类变量无关.
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1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析

的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程
才有实际意义. 2.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估 计而来的,存在误差,这种误差会导致预报结果的偏差.

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3.独立性检验的随机变量K2 的观测值k=3.841是判断

是否有关系的临界值,K2 的观测值k≤3.841应判断为没有充
分证据显示事件A与B有关系,而不能作为小于95%的量化 值来判断.
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从近两年高考看,以考查独立性检验,回归分析 为主,多为选择题、填空题,也可能以解答题形式考 查,主要以实际问题为背景,考查阅读理解、分析问 题、解决问题的能力,在解决一些简单实际问题的过

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程中考查基本的统计思想.

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思想方法之十八 利用回归分析思想进行科学预测 (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进 行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如 下数据:

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单价x(元)
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8
90

8.2
84

8.4
83

8.6
80

8.8
75

9
68
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销量y(件)





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^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程y =bx+a(其中b =-20, = -b ); a (2)预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1)中的关 系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该 产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 【规范解答】 (1)由于 = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)= 6 8.5, 1 = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. 6

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^ 又b =-20. ^ ^ 所以a = -b =80+20×8.5=250, ^ 从而回归直线方程为y =-20x+250.
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(2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) 33 2 2 =-20x +330x-1 000=-20(x- ) +361.25. 4 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.

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易错提示:(1)在求回归直线方程时,易因为数据较多, ^ ^ 公式结构复杂,计算b 及a 的值时容易出错. ^ ^ ^ (2)把回归直线中的b 和a 弄颠倒, 把回归直线写为 y=a x ^ +b ,导致结果错误.

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^ ^ 防范措施: (1)把计算b 及a 的公式结构把握好, 代入数据, 谨慎运算; ^ ^ ^ (2)注意回归直线方程y =b x+a 和通常的一次函数 y= kx+b 在系数上的表达习惯不一样,不要把两系数弄颠倒.
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1.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与 身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi, ^ yi)(i=1, ?, 用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x 2, n), -85.71,则下列结论中不正确的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 )

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B.回归直线过样本点的中心 C. 若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必 为 58.79 kg

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【解析】
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由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y
,因此B正确.由线性回归方程中系数
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与x具有正的线性相关关系,故A正确.又线性回归方程必 过样本中心点 的意义知,x每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故C正 确.当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58.79

kg,而不是具体值,因此D不正确.
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【答案】

D
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2.(2013·深圳模拟)通过随机询问110名性别不同的大
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学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

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n(ad-bc)2 由 K2 = 算得, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 110×(40×30-20×20)2 k= ≈7.8. 60×50×60×50

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附表:
P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 )

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参照附表,得到的正确结论是(

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好
典 例 探 究 · 提 知 能

该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好 该项运动与性别无关”

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有
自 主 落 实 · 固 基 础

关”

D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无
关”

高 考 体 验 · 明 考 情

【解析】

由相关系数K2的意义,附表所对应的概率为

“爱好该运动与性别有关”,
典 例 探 究 · 提 知 能

∴ 有 99% 以 上 的 把 握 认 为 “ 爱 好 该 项 运 动 与 性 别 有 关”. 【答案】 C

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

课后作业(六十三)

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业







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