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2015届高考数学一轮复习课时作业:9 幂函数与二次函数



课时提升作业(九)幂函数与二次函数
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知幂函数 f(x)的图象经过点(9,3),则 f(2)-f(1)=( A.3 B.1C.
α

)

-1

D.1
α 2α

【 解 析 】 选 C. 设

幂 函 数 为 f(x)=x , 由 f(9)=9 =3, 即 3 f(x)= = , -1.

=3, 所 以 2 α =1, α = , 所 以

所以 f(2)-f(1)=

2.(2014·温州模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的 是( ) B.y=-x ,x∈R D.y= ,x∈R
3

A.y=sinx,x∈R C.y=x,x∈R

【解析】选 B.根据函数奇偶性的定义知 A,B,C 在定义域内为奇函数,但 A 中函数 y=sinx 在定 义域内不单调,C 中 y=x 在定义域内单调递增,因此选 B. 3.(2014·衡阳模拟)若(2m+1 A. C.(-1,2) >(m +m-1 B. D. 在 [0,+ ∞ ) 上 为 增 函 数 , 所 以 由 已 知 得
2

,则实数 m 的取值范围是(

)

【 解 析 】 选 D. 因 为 函 数 y=

解得:

≤m<2.
2

4.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R),若 a=c,则函数 f(x)的图象不可能是(

)

-1-

【解析】 选 D.由 A,B,C,D 四个选项知,图象与 x 轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为 x1,x2, 若只有一个交点,则 x1=x2,由于 a=c,所以 x1x2= =1,比较四个选项,可知选项 D 的 x1<-1,x2<-1, 所以 D 不满足. 5.(2013·金华模拟)函数 y=x的图象大致为( )

【解析】选 A. 函数为奇函数 , 图象关于原点对称 , 所以排除 C,D. 当 x=1 时 ,y=0, 当 x=8 时,y=8=8-2=6>0,排除 B,故选 A.
2

6.(2014·台州模拟)函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范 围是( A.[-3,0) C.[-2,0] ) B.(-∞,-3] D.[-3,0]

【解析】选 D.当 a=0 时,f(x)=-3x+1 显然成立, 当 a≠0 时,需 综上可得-3≤a≤0. 【误区警示】本题易忽视 a=0 这一情况而误选 A,失误的原因是将关于 x 的函数误认为是二次 函数. 【加固训练】设二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0] ) B.[2,+∞)
2

解得-3≤a<0,

C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2] 【解析】选 D.二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,
-22

f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 7.(2014·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为( A. C. D. B. )

【思路点拨】在同一坐标系中分别作出 f(x)与 y=m 的图象,数形结合求解. 【解析】选 C.由 g(x)=f(x)-m=0 得 f(x)=m,作出函数 y=f(x)的图象,

当 x>0 时,f(x)=x -x= - <m<0,即 .
2

2

- ≥- ,所以要使函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则

8.(2014·绍兴模拟)若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈ A.0 B.2
2

恒成立,则 a 的最小值是(

)

C.-

D.-3 在 x∈ 为增函数, 上恒成立,

【解析】选 C.由 x +ax+1≥0 得 a≥令 g(x)=所以 g(x)max=g ,则知 g(x)在 =- ,所以 a≥- .

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.已知二次函数 y=f(x)的顶点坐标为 此二次函数的解析式是 .
-3-

,且方程 f(x)=0 的两个实根之差等于 7,则

【解析】设二次函数的解析式为 f(x)=a

+49(a<0),方程 a

+49=0 的两个

根分别为 x1,x2,则|x1-x2|=2 所以 a=-4,故 f(x)=-4x -12x+40. 答案:f(x)=-4x -12x+40
2 2

=7,

10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上 有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”. 若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为
2 2

.

【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x -5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一坐标系下作 出函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,
2

结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x -5x+4∈ y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点. 答案:
2

2

,故当 m∈

时,函数 y=m 与

11.已知函数 f(x)=x -x+1,若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,则实数 m 的取值范围 为 .
2 2

2

【解析】f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,即 x -3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只 需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. 因为 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减,
2 2

-4-

所以 g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 12.(2014·杭州模拟)对任意两个实数 x1,x2,定义 max(x1,x2)= 若 f(x)=x -2,g(x)=-x,则 max(f(x),g(x))的最小值为
2

.

【思路点拨】先写出 max(f(x),g(x))的表达式,然后画出图象求解. 【解析】因为 f(x)-g(x)=x -2-(-x)=x +x-2,所以 x +x-2≥0 时,解得 x≥1 或 x≤-2.当-2<x<1 时,x +x-2<0,即 f(x)<g(x), 所以 max(f(x),g(x))= 在 A 处,所以最小值为 f(1)=-1. 作出图象,由图象可知函数的最小值
2 2 2 2

答案:-1 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·衢州模拟)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式. (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 【解析】(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax +bx+1. 因为 f(x+1)-f(x)=2x,所以 a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x.
2 2 2 2

-5-

即 2ax+a+b=2x,所以
2

所以
2

所以 f(x)=x -x+1.

2

(2)由题意得 x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立,即 x -3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 设 g(x)=x -3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x)在[-1,1]上递减. 故只需 g(1)>0,即 1 -3×1+1-m>0, 解得 m<-1. 14.(2014·中山模拟)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间. (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围. 【解析】(1)由题意有 f(-1)=a-b+1=0, 且=-1,所以 a=1,b=2.
2 2 2 2

所以 f(x)=x +2x+1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞). (2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为 x +x+1>k 在[-3,-1]上恒成立. 设 g(x)=x +x+1,x∈[-3,-1],则 g(x)在[-3,-1]上递减. 所以 g(x)min=g(-1)=1. 所以 k<1,即 k 的取值范围为(-∞,1). 15.( 能力挑战题 ) 设 a 为实数 , 记函数 f(x)=a g(a). (1)设 t= (2)求 g(a). (3)试求满足 g(a)=g 【解析】(1)因为 t= ≤1. 因为 t =2+2 所以 t 的取值范围是[
2 2 2

+

+

的最大值为

+

,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t).

的所有实数 a. + ,所以要使 t 有意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x

∈[2,4],且 t≥0,① ,2].

-6-

由①得: 所以 m(t)=a

= t -1, +t= at +t-a,t∈[
2 2

2

,2]. ,2]的最大值,

(2)由题意知 g(a)即为函数 m(t)= at +t-a,t∈[ 因为直线 t=- 是抛物线 m(t)= at +t-a 的对称轴, 所以可分以下几种情况进行讨论: ①当 a>0 时,函数 y=m(t),t∈[ 由 t=- <0 知 m(t)在 t∈[ 故 g(a)=m(2)=a+2; ②当 a=0 时,m(t)=t,t∈[ ,2],有 g(a)=2;
2

,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,

,2]上单调递增,

③当 a<0 时,函数 y=m(t),t∈[ 若 t=- ∈(0, g(a)=m( 若 t=- ∈( g(a)=m )= ]即 a≤, ,2],即 a∈ =-a, 时,

,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,

时,

若 t=- ∈(2,+∞)即 a∈ g(a)=m(2)=a+2.

时,

综上所述,有 g(a)=

(3)当- <a<0 时, ∈(-∞,-2),g(a)=a+2> > 当<a≤- 时, ∈[-2,, ),-a∈

;g ,∈

=

,显然无解. ,

所以-a≠-

-7-

g(a)=-a-

>2

=

;

g

=

,显然无解.

当 a>0 时, >0, 由 g(a)=g 当 a≤知:a+2= +2,故 a=1. 时, ∈[,0),a· =1, 或g , ≤, = ,

故 a≤-1 或 ≤-1,从而有 g(a)= 要使 g(a)=g 即≤a≤,必须有 a≤, =g .

此时,g(a)= 综上可知 a∈

或 a=1.

-8-



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