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高一上学期期末考试数学试卷及答案



南昌大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷 (2012.1.6 上午 7:30—9:30)
(总分:150 分 时间:120 分钟)

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | 2 x ? 1? ,则 M ? N =( A. ?
? ?

) D. ? x | 0 ? x ? 1? ( )

B. ? x | x ? 0 ?
? ?

C. ? x | x ? 1?

2. sin 17 sin 223 ? cos 17 sin 313 等于
1 2
2

A. ?

B.

1 2
m ?m?2
2

C. ?

3 2

D.

3 2

3.如果幂函数 y ? ? m ? 3 m ? 3 ? x A. ? 1 ? m ? 2

的图像不过原点,则 m 的取值范围是(



B. m ? ? 1 或 m ? 2 C. m ? 1 D. m ? 1 或 m ? 2 2? 2? ) 的图像, 需要将函数 y ? 2 sin ( 2 x ? ) 的图像( 4.要得到 y ? 2 sin ( 2 x ? )
3 3

A 向左平移 C. 向左平移

2? 3

个单位

B 向右平移 D 向右平移
1 4

2? 3

个单位 个单位 ) D. 2 ? ) D. -2,
3 2

?
3

个单位

?
3

5.锐角 ? 满足 sin ? ? co s ? ? A. 2 ?
3

,则 tan ? 的值是(
3

B. 2 ?

C. 3
3 2

3

6.函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

7.若 ? A B C 的内角 A 满足 sin A ? cos A ? 0, tan A ? sin A ? 0 , 则角 A 的取值范围是 ( A. ? 0,
? ?



? ?
? 4 ?

B. ?

?? ? 4

,

? ?
? 2 ?

C. ?
? ?
, 3 4

??

3? ? ? ? 2 4 ? ,

D. ?

? 3?

? ,? ? ? 4 ?

8.已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x (? ? 0) 在区间 [ ? A.
2 3

] 上的最小值是 ? 2 , ? 的最小值为 则 (



B.

3 2

C.2

D.3

1

9.动点 A ? x , y ? 在圆 x ? y ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。已知时间
2 2

t ? 0 时,点 A 的坐标是 (

1 2

,

3 2

) ,则当 0 ? t ? 1 2 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的

函数的单调递增区间是 A.

( C. ? 7 ,1 2 ? D. ? 0,1 ? 和 ? 7 ,1 2 ?
?
5



? 0,1 ?

B. ?1, 7 ?

10.设曲线 f ( x ) ? a cos x ? b sin x 的一条对称轴为 x ? 为( A. ? ?
? ?

,则曲线 y ? f (

?
10

? x ) 的一个对称点


?
? ,0 ? 5 ?

B. ?

? 3?

? ,0 ? ? 10 ?

C. ?

? 2?

? ,0 ? ? 5 ?

D. ? ?
?

?

7?

? ,0 ? 10 ?

第 II 卷(非选择题, 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.已知扇形半径为 8, 弧长为 12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 12. ? 1 ? tan 2 5
?

? ?1 ? tan 2 0 ? ?
?

13.已知函数 f ( x ) ? ?

?3x , x ? 1 ?? x, x ? 1

, ,若 f ( x ) ? 2 ,则 x ?

? 1 ? sin ?
14.化简:

? ? ? ? ? co s ? ? ? sin ? co s ? 2 2 ? ?
2 ? 2 co s ?

?0 ? ?

??

? ? _________

15.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列
? 四 个 函 数 : ① f 1 ? x? ? s i n x
f4 ? x ? ?

c o x s

, ② f 2 ? x ? ? sin x , ③ f 3 ? x? ?

2 s i nx ?

,2④

2 (sin x ? co s x ), 其中“同形”函数有

.(填序号)

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知 cos ? ?
1 7 , cos( ? ? ? ) ? ? 11 14

,且 ? , ? ? ( 0 ,

?
2

) ,求 ? 的值.

17.(本小题满分 12 分)
1? 2 cos( 2 x ? sin( x ?

?
4

)

已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) 的定义域;

?
2

.

)

(2)若角 ? 在第一象限且 cos ? ?

3 5

,求 f (? ) 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) ? x ? 1 6 x ? q ? 3 :
2

(1) 若函数的最小值是-60,求实数 q 的值; (2) 若函数在区间 ? ? 1,1 ? 上存在零点,求实数 q 的取值范围.

3

19.(本小题满分 12 分) 已知定义在区间 [ ? ? , 直线 x ? ?
?
6 2 3

? ] 上的函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图像关于

对称,当 x ? [ ?
2 3

?
6

,

2? 3

] 时, f ( x ) 的图像如图所示.

(1)求 f ( x ) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x ) ?

? ] 上的表达式;

2 2

的解.

20.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x ) ? 2 sin 2 (

?
4

? x) ?

3 co s 2 x

,x?[ , ].
4 2

? ?

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间和最值; (2)若不等式 f ( x ) ? m ? 2 在 x ? [
? ?
, 4 2 ] 上恒成立,求实数

m 的取值范围.

21.(本小题满分 14) 设函数 f ( x ) ? lo g 2
x ?1 x ?1 ? lo g 2 ? x ? 1 ? ? lo g 2 ? p ? x ? .

(1)求函数的定义域; (2)问 f ? x ? 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由.


一、选择题: DBDAD CCBDC 二、填空题:



4

11.

3 2

, 48

12. 2 14. ? cos ? 15.①③

13. lo g 3 2 三、解答题: 16. ? ?
?
3

.

17.解: (1)由 sin( x ?

?
2

) ? 0 ,得 cos x ? 0 ,? x ? k ? ?

?
2

(k ? Z ) ;

故 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? k ? ? (2)由已知条件得 sin ? ?
1?

?
2

,k ? Z}

1 ? cos

2

? ?

3 2 4 1? ( ) ? ; 5 5
2 (cos 2 ? cos

2 cos( 2 ? ? sin( ? ?

?
4

)

1?

?
4

? sin 2 ? sin

?
4

)

从而 f (? ) ?

?
2



)

cos ?
2



1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? cos ?

?

2 cos

? ? 2 sin ? cos ?
cos ?

= 2 (cos ? ? sin ? ) =

14 5

18. (Ⅰ)

f

? x ? m in

? f ?8 ? ? ?61 ? q ? ?60

? q ? 1;

2 (Ⅱ)∵二次函数 f ( x ) ? x ? 1 6 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8

∴函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上单调递减 ∴要函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上存在零点须满足 f ( ? 1) ? f (1) ? 0 即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 解得 ? 20 ? q ? 12

19.解: (1)由图知: A ? 1 , T ? 4 ?

? 2? ? 3

?

? ?

2? ? 1, ? ? 2 ? , ,则 ? ? T 6 ?

5

在 x ? ??
?

?

?

2? ? ?? ? f ? 时,将 ? 6 ,1 ? 代入 6 3 ? ? ? ,

? x ? 得,

? ?? ? ?? ? f ? ? ? sin ? ? ? ? ? 1,? 0 ? ? ? ? ,? ? ? , 3 ? 6 ? ? 6 ?
? ? 2? ? f ? 在 x ? ?? , ? 时, ? 6 3 ?
? ?

? x ? ? sin ? x ?
?

?

? ?

?. 3 ?

同理在 x ? ? ? ? , ?

? ?

时, f 6? ?

? x ? ? sin ? x ? ? ? .

? ? ? ? ? ? 2? ? , ? sin ? x ? ? , x ? ? ? , ? 3 ? ? ? ? 6 3 ? 综上, f ? x ? ? ? ? sin x ? ? , x ? ? ? ? , ? ? ? . ? ? ? ? 6? ? ? ?

(2)由 f ? x ? ?

2 2

在区间 ? ?
?

?

?

5? ? 2? ? x ? , x2 ? ? .? y ? f ? 内可得 1 1 2 12 6 3 ?
, 3? 4

? x ? 关于
?
12

x ? ?

?
6

对称,? x 3 ? ?
2

?
4

, x4 ? ?

.? f

?x? ?
?
2

2 2

得解为 ?

?
4

,?

3? 4

,

5? 12

,?

.

20.解: f ( x ) ? 2 sin (
? sin 2 x ?

?
4

? x) ?

3 co s 2 x ? 1 ? co s(

? 2 x) ?

3 co s 2 x

3 co s 2 x ? 1 ? 2 sin ( 2 x ?

?
3 2

) ?1

⑴∵ x ? [ , ] , ∴ 2 x ?
4 2 1 2 2 2? ?1 ? 2

? ?

?
3

?[

?

,

? ] , ∴ sin ( 2 x ?

?
3

)?[

1 2

,1] ,

6 3

∴ f ( x ) m in ? 2 ? 当2x ?
?
?[ , 3 6

, f ( x ) m ax ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 .
?
, 5

? ] 时,函数单调递增; 4 12 ? ? 5 ? 当 2 x ? ? [ , ] ,即 x ? [ ? , ] 时,函数单调递减; 3 2 3 12 2
] ,即 x ? [

? ?

⑵∵不等式 | f ( x ) ? m |? 2 在 x ? [ , ] 上恒成立,
4 2

? ?

∴ ? 2 ? f ( x ) ? m ? 2 在 x ? [ , ] 上恒成立,
4 2

? ?

即 f ( x ) ? 2 ? m ? f ( x ) ? 2 在 x ? [ , ] 上恒成立.
4 2

? ?

6

由⑴知 f ( x ) 在 [ , ] 上的最小值是 2,最大值是 3,
4 2

? ?

∴1 ? m ? 4 .
? x ?1 ?0 ? x ?1 ? ?x ? 1 21.解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 解得 ? ① ?x ? p ?p? x ?0 ? ?

当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ; 当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? x 1 ? x ? p ? ,? f ? x ? 的定义域为 ? 1, p ? ? p ? 1 ? . (2)原函数即 f ? x ? ? lo g 2 ? ? x ? 1 ? ? ? 当
p ?1 2 ? 1, 即 1 ? p ? 3 时,函数 f
2 ? ? p ?1? p ? x ? ? ? lo g 2 ? ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? ? ?

? p ? 1?
4

2

? ?, ? ?

? x ? 既无最大值又无最小值; ? x ? 有最大值 2 lo g 2 ? p ? 1 ? ? 2 ,但无最小值

当1 ?

p ?1 2

? p , 即 p ? 3 时,函数 f

7



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